平面向量教案

平面向量教案

平面向量教案1

目的：

通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面

向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问

题。

过程：

一、复习：

1.实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点）

2.三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）

3.向量共线的充要条件

4.平面向量的.基本定理（定理的本身及其实质）

二、例题

1.当入Z时，验证：x（+）=x+x

证：当入=0时，左边=0（+）=右边=0+0=分配律成立

当人为正整数时，令人二n,则有：

n(+)=(+)+(+)+・・・+(+)

=++…+++++…+=n+n

即人为正整数时，分配律成立

当为负整数时，令人二n(n为正整数)，有：

n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn

分配律仍成立

综上所述，当人为整数时，入(+)二人+入恒成立。

2.1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态(如图)，

已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力？

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90

l(kg)P10P=60P20P=30

/.cos60=l=0.5(kg)

cos30=l=0.87(kg)

即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kgo平面向量教

案2

[教学目标]

一、知识与能力：

理解向量、零向量、单位向量、平行向量的概念：掌握向量的

几何表示，会用守母表示向量；理解相等句量与共线向量的含义.

二、过程与方法：

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景；渗透数形结

合的数学思想方法.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现

和提出问题.

［教学重点］

向量的概念，向量的几何表示.

［教学难点］

向量的概念.

［教学要求］

向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、

速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。了解这些物理背景和

几何背景，对于学生理解向量和运用向量解决实际问题都是十分重

要的。

［教学过程］

一、创设情境，新课引入

问题1:我们已经知道位移是既有大小，又有方向的量。请再

举出一些这样的量.

学生思考讨论，举出物理学中既有大小，又有方向的量，例如

力，包括重力G、浮力F、拉力F等。

在学生讨论的基础上，抽象概括出向量的概念：

数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有

大小，没有方向的.量，称为数量（或标量）。

教师提问，学生回答，并再次强调向量的两要素。有学生总结

判断方法。

判定下列各量中哪些是向量：（1）浮力；（2）密度；（3）质

量；（4）路程；（5）面积；（6）电流强度.

二、师生互动，新课讲解：

向量的表示

1.几何表示：用有向线段表示向量，以为起点，为终点的向量

记作向量，注意起点在前，终点在后。

2.字母表示：印刷体可用黑体小写字母表示向量，手写时写成

带箭头的小写字母，如。

3.图示表示：

4.向量的模

向量的长度称为向量的模，如向量的模记作，向量的模记作。

零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作。

单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。

思考：两个向量能否比较大小？两个向量的模能否比较大小？

5.平行向量（共线向量）

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量平行，通常记

作。

规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有。

例1（课本P75例1）试根据图中的比例尺以及三地的位置，在

图中分别用向量表示地至两地的位移，并求出地至两地的实际距离

（精确到1km）o

变式训练1：

（1）某人东行100米，后转南行米，则这时他位移的方向是

.（东偏南）

（2）某人向正东方向走3千米，再向正北方向走4千米，此人

走过的路程是,其位移的长度是.（7千米、5

千米）

6.相等向量的概念

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

如图，有向线段表示的向量a与b相等，记作a二b.

任意两个相等的非零向量，都可以用司一条有向线段来表示，

并且与有向线段的是点无关。平面上，两个长度相等且指向一致的

有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定。

提出问题：怎样的向量是相等向量？教师演示，让学生归纳定

义。

7.共线向量

如图，a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的

直线1,在1上任取一点0,则可在1上分别作出a,b,c,可见任

一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共

线向量。

例2：

(1)向量和向量，这两个向量相等吗？这两个向量的模相等

吗？

(2)用有向线段表示两个相等的向量，如果它们的起点相同，

那么它们的终点是否相同？

(3)如果，四边形一定是平行四边形吗？

变式训练2：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向

量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相

同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

例3：判断下列说法是否正确，并说明理由：

（1）方向相同或相反的非零向量叫平行向量；（V）

（2）长度相等且方向相同的向量叫相等向量；（V）

（3）向量的模是一个正实数；（_）

（4）若|a|=|b|,则a=b或a=-b；（_）

（5）零向量只有大小没有方向。（v）

变式训练3：下列各种情况中向量终点各构成什么图形？

（1）把所有单位向量起点平移到同一点;

(2)把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一起点;

(3)把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点.

解：(1)单位圆;

(2)两个点(相距两个单位长度)；

(3)构成一条直线.

例4(课本P76例2)如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，

分别写出图中与相等的向量.

解：

变式训练4：下列命题正确的是(C)

A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四

顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

课堂练习2：课本P77练习NO：1、2、3

三、课堂小结，巩固反思

1.在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动;

2.相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；

3.共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量。

四、课时必记:

1、向量2、零向量、单位向量概念:

3、平行向量：4、相等向量：

5、共线向量与平行向量关系:

五、分层作业：

A组：

1、（课本P77习题2.1A组NO：1）（直接做在课本题目旁边）

2、（课本P77习题2.1A组NO：2）（直接做在课本题目旁边）

3、（课本P77习题2.1A组NO：3）（直接做在课本题目旁边）

4、（课本P77习题2.1A组NO：4）（直接做在课本题目旁边）

5、（课本P77习题2.1A组NO：5）（直接做在课本题目旁边）

6、（课本P77习题2.1A组NO：6）（直接做在课本题目旁边）

B组:

1、（课本P77习题2.1B组NO:2）

2.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；()

②单位向量都相等；()

③任一向量与它的相反向量不相等；：、)

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=；()

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。().

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即

可，并不要求两个向量、在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是

相等的

④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却

相同.

3、下列关于零向量的说法中，错误的是(B)。

(A)零向量的长度为零(B)零向量是没有方向的

(C)零向量的方向是任意的(D)零向量与任一向量平行

4、命题中，不正确的是(D)o

(A)向量的长度与向量的长度相等。

(B)任一非零向量都可以平行移动。

(C)两个相等的向量，若它们的起点相同，则其终点也相同。

(D)长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量。

5、如图中DE//BC,则下列结论正确的是(A)o

(A)和共线(B)和共线

(C)和共线(D)和共线

6、有下列命题中，正确的是(D)。

(A)若，则(B)若，则

(C)若，则与就不是共线向量(D)若，则

C组：

1、一质点从平面内一点出发，向北前进米后，右转，再前进，

再右转，按此方法继续前进，求前进多少次，该质点第一次回到点.

解：(由平面几何知识易知，质点所经过的路线是一个边长为

的正18边形，所以前进18次后，该质点第一次回到点)平面向量

教案3

本章内容介绍

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学

中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问

题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、

勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，

从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富

的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面

向量及其运算的意义，学习这个平面向量的线性运算、平面向量的

基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内

容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.

本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了

向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念.（让学生对整

章有个初步的、全面的了解.）

第1课时

2.1平面向量的实际背景及基本概念

教学目标：

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表

示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共

线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数

量的本质区别.

3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客

观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单

位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行

向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根

据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物

区分平行向量、相等向量、共线向量等概念,教具：多媒体或实物投

影仪，尺规

授课类型：新授课

教学思路：

一、情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能

否

追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.

分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方

向、CBD

有长短的量.

引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小

没有方向？

二、新课学习：

（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

1、数量与向量有何区别？

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什

么？

4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量

吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关

系？

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点0,这是它们是不

是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

（三）探究学习

1、数量与向量的区别:

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小;

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母a、b

（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：

AB；④向量AB的大小一一长度称为向量的模，记作|AB.

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起

点、方向、长度.

向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和

方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管

大小和方向相同，也是不同的有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的

注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.aA（起点）B（终

占）

八、、/

说明：零向量、单位向量的.定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行句量；②我们规定0与任

一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量

a、b、c平行，记作a〃b〃c.

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量a与b相等，记作a=b；（2）零向量与零

向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示,

并且与有..

向线段的起点无关。

7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同

一直线上（与有向线段的。起点无关）。

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的

位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的

位置关系.

（四）理解和巩固：

例1书本86页例1.

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向

量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相

同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

例3下列命题正确的是（）

A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学

中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直

线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四

个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与

起点是否相同无关，所以D不正确；对于C,其条件以否定形式给

出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量,

即a与b至少有一个是零向量，

而由零向量与任一向量都

共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是

非零向量，所以应选C.例4如图，设。是正六边形ABCDEF的中心，

分别写出图中与向量OA、OB、0C相等的向量.

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB.DO,FE）

课堂练习:

1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量

AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB=DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即

可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是

相等的④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但

其终点却相

2.书本88页练习

三、小结：

1、描述向量的两个指标：模和方向.

2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

四、课后作业：

书本88页习题2.1第3、5题

同.

第2课时

2.2.1向量的加法运算及其几何意义

教学目标：

1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的

和向量，培养数形结合解决问题的能力；

3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向

量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类

比的数学方法；

教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两

个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.

学法：

数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们,

从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于

物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章

接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四

边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合

教具：多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：新授课

教学思路：

一、设置情景：

1、复习：向量的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向

量相等.因此，我仅研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向

量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

2、情景设置：

(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,

则两次的位移加：AB?BC?AC

(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,

则两次的位移加：AB?BC?AC

(3)某车从A到B,再从B改变方向到C,

则两次的位移加：AB?BC?ACAB

C

(4)船速为A3,水速为BC,则两速度和：AB?BC?AC

二、探索研究：

1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.AB

CABC平面向量教案4

规定：零向量与任一向量的数量积为0,即二0

注意：

(1)符号"”在向量运算中既不能省略，也不能用“义”代替。

(2)是与的夹角，范围是OWOWJT,(再找两向量夹角时，若

两向量起点不同，必须通过平移，把起点移到同一点，再找夹角)。

(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量。而且这个数量

的大小与两个向量的模及其夹角有关。

(4)两非零向量与的、数量积的符号由夹角8决定：

cos0

=cos0=0

cos0

前面我们学习了向量的加法、减法及数乘运算，他们都有明确

的几何意义，那么向量的数量积的几何意义是什么呢？

二、数量积的几何意义

“投影”的概念：已知两个非零向量与，。是与的夹角I

Icos（叫做向量在方向上的投影

思考：投影是向量，还是数量？

根据投影的定义，投影当然算数量，可能为正，可能为负，还

可能为0

1（为锐角（为钝角（为直角

Icos（||cos（||cos（=0

当（为锐角时投影为正值；当（为钝角Hr投影为负值；当（为直角时

投影为0;当（二0（时投影为II;当（=180（时投影为（||

思考：在方向上的投影是什么，并作图表示

数量积的几何意义：数量积等于的长度II与在方向上投影I

Icos（的乘积，也等于的长度||与在方向上的投影|Icos（的乘积。

根据数量积的定义，可以推出一些结论，我们把它们作为数量

积的重要性质

三、数量积的重要性质

设与都是非零向量，。是与的夹角平面向量教案5

教学目标

1.了解平面向量基本定理;

2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表

示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基

底来表达.

导入新课

复习引入：

1.实数与向量的积

实数人与向量的积是一个向量，记作：X.(1)|入|二|人I”；

(2)X>0时，X与方向相同；X

2.运算定律

结合律：入(U)=(入U);分配律：(X+U)=X+H,

x(+)=人+人.

3.向量共线定理

向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数人，

使二人.

新授课阶段

一、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向

量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入1,X2

使二X11X2.

探究:

(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行

分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.XI,入2是被，唯一确定的

数量.

二、平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个

单位向量、作为基底,任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且

只有一对实数，使得

...............O1

我们把叫做向量的(直角)坐标，记作

...............02

其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，02式叫做向量

的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.

特别地_,_,_.

如图，在直角坐标平面内，以原点()为起点作，则点的位置由

唯一确定.

设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向

量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用

一对实数唯一表示.

三、平面向量的坐标运算

(1)若，则，.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相

应坐标的和与差.

设基底为，贝L即，同理可得.

(2)若,则.

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始

点的坐标.

=-=(_2,y2)~(_1,yl)=(_2-_1,y2-yl).

(3)若和实数，则.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设基底为，则,即.

例1已知例」,yl),B(_2,y2),求的坐标.

例2已知二(2,1),=(-3,4),求+,3+4的坐标.

例3已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-l,3),C(3,

4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

解：当平行四边形为ABCD时，由，得Dl=(2,2).

当平行四边形为ACDB时，得1)2=(4,6),当平行四边形为DACB

时,得D3=(-6,0).

例4已知三个力(3,4),(2,-5),y)的合力++=，求的坐

标.

解:由题设十+二，得：(3,4)+(2,-5)+解,y)=(O,0),

即：.・・・・・(—5,1).

例5已知二(2,1),二(一3,4),求+,―,3+4的坐标.

解：+=(2,1)+(一3,4)=(—1,5),

—=(2,1)一(-3,4)=(5,—3),

3+4=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(一6,19).

点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解.

例6已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为

(-2,1)、(-1,3)(3,4),求顶点D的坐标.

解：设点D的.坐标为(_,y),

即3-_=l,4-y=2.

解得_=2,y=2.

所以顶点D的坐标为（2,2）.

另解：由平行四边形法则可得

例7经过点的直线分别交轴、轴于点，且，求点的坐标.

解：由题设知，三点共线，且，设，

①点在之间，则有—，.二

解之得：—，点的坐标分别为—.

②点不在之间，则有，同理，可求得点的坐标分别为

*

综上，点的坐标分别为或，.

例8.已知三点，若，试求实数的取值范围，使落在第四象限.

解：设点，由题设得

・・・，要使落在第四象限，则

解之得.

例8已知向量，问是否存在实数同时满足两个条件：？如果存

在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

解：假设满足条件的实数存在，则有解之得:

・,.满足条件的实数.

课堂小结

(1)理解平面向量的坐标的概念；

(2)掌握平面向量的坐标运算；

(3)会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

作业

见同步练习

拓展提升

1.设是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作

为基底的是()

A.,B.+,C.,2D.,+

2.设是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，

不能作为基底的是()

A.+和-B.3-2和4-6

C.+2和2+D.+和

3.已知不共线，=+,=4+2,并且，共线，则下列各式正确的是

()

A.=1,B.=2,C.=3,D.=4

4.设=+5,=-2+8,=3-3,那么下列各组的点中三点一定共线的

是()

A.A,B,CB.A,C,DC.A,B,DD.B,C,D

5.下列说法中，正确的是()

①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有

向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该

平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量.

A.①②B.①③C.②③D①②③

6.已知是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论

中正确的是()

①+(,为实数)可以表示该平面内用有向量；②若有实数，使

+=,则==0.

A.①B.②C.①②D.以上都不对

7.已知AM=4ABC的BC边上的中线，若=,=,则=

()

A.(-)B.-(-)

C.—(+)D.(+)

8.已知ABCDEF是正六边形，=,=,则=()

A.(-)B.-(-)

C.+D.(+)

9.如果3+4=,2+3=,其中，为已知向量，则=,=.

10.已知是同一平面内两个不共线的向量，且=2+k,=+

3,=2如果A,B,D三点共线，则k的值为.

11.当k为何值时，向量=4+2,=k+共线，其中、是同

一平面内两个不共线的向量.

12.已知：、是不共线的向量，当k为何值时，向量=k+与

=+k共线？平面向量教案6

向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象

出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长

度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易

操作的特点。

一、总体设想：

本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数

量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生

出新知识一一垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可

从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律;三

是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：

知识和技能：

使学生了解向量的数量积的抽象根源。

使学生理解向是的数量积的概念：

两个非零向量的夹角；定义；本质；几何意义。

使学生了解向量的数量积的运算律

掌握向量数量积的主要变化式：；

过程与方法：

从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，

然后给出两个非零向量的夹角和数量积的一般概念，并强调它的.本

质；接着给出两个向量的数量积的几何意义，提出一个向量在另一个

向量方向上的投影的概念。

给出向量的数量积的运算律，并通过例题具体地显示出来。

由数量积的定义式，变化出一些特例。

情感、态度和价值观：

使学生学会有效学习：抓住知识之间的逻辑关系。

三、重、难点：

重点数量积的定义，向量模和夹角的计算方法

难点向量的数量积的几何意义

四、教学方案及其设计意图：

平面向量的数量积，是解决垂直、求夹角和线段长度问题的关

键知识，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。

于是在引导学生学平面向量数量积的概念时，要围绕物理方面已有

的知识展开，这是使学生把所学的新知识附着在旧知识上的绝好的

机会。（如图）首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平

方向上的位移是s,此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向

量，这时物体力F的所做的功为W,这里的（是矢量F和s的夹角，

也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使

学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向

量夹角的范围。以比为基础引出了两非零句量a,b的数量积的概

念：，是记法，是定义的实质一一它是一个实数。按照推理，当时,

数量积为正数；当时，数量积为零；当时，数量积为负。

向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。

其几何意义实质上是将乘积拆成两部分：。此概念也以物体做功为

基础给出。是向量b在a的方向上的投影。平面向量教案7

下学期5.4平面向量的坐标运算2

（第二课时）

一.教学目标

1.熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有

关问题.

2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；

二.教学重点向量共线充要条件的坐标表示及应用.

教学难点向量与坐标之间的’转化.

三.教学具准备

直尺、投影仪

四.教学过程

1.设置情境

引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示.那么，怎样用坐标

反映两个向量的平行？如何用坐标反映几何图像的结合关系？本节

课就这些问题作讨论.

2.探索研究

(1)师：板书或投影以下4个习题：

①设，则

②向量a与非零向量b平行(共线)的充要条件是.

③若M(3,-2),N(-5,-1)且，贝ij点P的坐标为.

A.(-8,-1)B.C.D.(8,-1)

④已知A(0,1),B(1,2),C(3,4),则

参考答案：

(2)有且只有一个实数，使得(3)B(4)(-3,-3)

师：如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件？会得到什

么重要结论？(引导学生)

生：设

师：很好！这就是说的充要条件是(板书或投影).向量平行

(共线)充要条件的两种表示形式.

(2)例题分析

例1已知，且，求y.

解：「

••

••

例2已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),求

证A、B、C三点共线.

证：

又,

又・・,直线AB加直线AC有公共点A

，A、B、C三点共线

例3若向量与共线且方向相同，求_.

解：•・•共线，

•♦

•••

二a与b方向相同，

•*•

师：若，不合条件吗？

生：•・.若，则

••

/.a与b反向与已知符.

例4已知点A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),

D(2,7),向量与平行吗？直线AB与CD平行吗？

师：判断两向量是否平行，需要哪个知识点.

生：用两向量平行的充要条件是

解:

又2X2—4X1=0,

又

且2X2-2X6工0,

・•・与不平行.

，A、B、C三点不共线，AB与CD不重合.

・•・直线AB与CD平行.

3.演练反馈(投影)

(1)A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)

求证：.

(2)已知向量且，则等于()

A.3?B.C.D.-3

参考答案：(1)先证，再证A、B、C、D四点不

共线；(2)C

4.总结提炼

本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示，要掌握平面

向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的

坐标形式证明三点共线和两直线平行(重合).

五.板书设计

课题

1.向量平行的坐标表示

（充要条件）

2.举例.

演练反馈

总结提炼平面向量教案8

第一教时

教材：

向量

目的：

要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一

个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：

一、开场白：本P93（略）

实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，

问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

二、提出题：平面向量

1.意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速

度、冲量等

注意：1数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小;

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学

体系，用以研究空间性质。

2.向量的表示方法：

1几何表示法：点一射线

有向线段一一具有一定方向的线段

有向线段的三要素：起点、方向、长度

记作（注意起讫）

2字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）

P95例用1cm表示5nmail（海里）

3.模的概念：向量的大小一一长度称为向量的模。

记作：模是可以比较大小的

4.两个特殊的向量：

1零向量一一长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。

注意与0的区别

2单位向量一一长度（模）为1个单位长度的'向量叫做单位向

量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

例：与是否同一向量？

答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是

否都相等？

答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定

相等。

三、向量间的关系：

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：〃〃

规定：与任一向量平行

2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：=

规定：=

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3.共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，

所以平行向量也叫共线向量。

例：(P95)略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？(11个)

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？(存在)

变式三：与向量共线的向量有哪些？()

四、小结：

五、作业：

P96练习习题5.1平面向量教案9

一.复习目标：

1.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐

标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的

平行的条；

2.学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题。

二.主要知识：

1.平面向量坐标的概念；

2.用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行等等；

3.会利用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨

迹问题.

三.前预习：

1.若向量，则（）

2.设四点坐标依次是，则四边形为（）

正方形矩形菱形平行四边形

3.下列各组向量，共线的是（）

4.已知点，且有，则。

5.已知点和向量二，若=3，则点B的坐标为。

6.设，且有，则锐角。

四.例题分析：

例1.已知向量，，且，求实数的值。

小结：

例2.已知，

（1）求；（2）当为何实数时，与平行，平行时它们是同

向还是反向？

小结：

例3.已知点，试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点

的坐标。

小结:

例4.已知点及，试问：

（1）当为何值时，在轴上？在轴上？在第三象限？

（2）四边形是否能成为平行四边形?若能，则求出的值.若不

能，说明理由。

小结：

五.后作业：

1.且，则锐角为（）

2.已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是

和，则，其中（）

3.已知向量且，贝U=（）

4.在三角形中，已知，点在中线上，且，则点的坐标是

)

5.平面内有三点，且〃，贝I」的值是（）

6.三点共线的'充要条是（）

7.如果，是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正

确的是（）

若实数使，则

空间任一向量可以表示为，这里是实数

对实数，向量不一定在平面内

对平面内任一向量，使的实数有无数对

8.已知向量，与方向相反，且，那么向量的坐标是—

*

9.已知，则与平行的单位向量的坐标为。

10.已知，求，并以为基底表示。

11.向量，当为何值时，三点共线？

12.已知平行四边形中，点的坐标分别是，点在椭圆上移

动，求点的轨迹方程.平面向量教案10

、教学内容分析

1、教学主要内容

(1)平面向量数量积及其几何意义

(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题

2、教材编写特点

本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的

作用。

3、教学内容的核心教学思想

用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化

归思想以及数形结合思想。

4、我的思考

本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用

平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。因此，让

学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成

相关的'数学问题尤其重要。

二、学生分析

1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹

角，及用坐标表示向量的知识。因此，对于a・b=|b||a|

cos0(0=),容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存

在一定的问题，因比，需把a・b=|a|IbIcos。转化到图形

a•b=IOM|•|OB|=|b|cos0IaI

即a•b=IaIIb|cos0理解并记忆。

对于cos。=，等的变形应用，同学们甚感兴趣。

2、我的思考

对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习

上，计算量不易过大。

三、学习目标

1、知识与技能

(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。

(2)平面向量数量积的应用。

2、过程与方法

通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。

3、情感态度与价值观

培养学生运算推理的能力。

四、教学活动

内容师生互动设计意图时间1、课题引入师：请同学请回忆我

们所学过的相关同里的运算。

生：加法、减法，数乘

师：这些运算所得的结果是数还是向量。

生：向量。

师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里枳（板书课

题）由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止

境，从而把学生引入到新的课程学习中来。3min2、平面向里的数

量积定义师：平面向星数量积（内积或点积）的定义：

已知两个非零向星a-b,它们的夹角是0,则数量

Ia|,Ib|cos。叫a与b的数量积，记作a•b,即

a,b=|a|IbIcos。，注：①a•bWaXbWab

②。与任何向量的数里积为0。直接给出定义，可以让学习对新

知识的求知数得到满足，并对新知识的探究有一个方向性。5min3、

几何意义师：同学们猜想

a,b=|aI|bIcosQ

用图怎么表示

生：a,b=IaI•IbIcos0

=I0MI-IOB|

师：数里积a・b等于a的长度与b在a方向上的投影

bIcos0的面积c

师：请同学们讨论数量积且有哪些性质

通过自己画图培养学生把问题转化到图形上，到图形上解决问

题的能力。

5min性质师：同学们a•b为非零向杲，

a•b=Ia|•IbIcos。。当。=0°,90°,180°时，a•b有什

么性质呢。

生：①当0=90°时

a•b=a•b=|a|•Ib|cos0

②当a与b同向时

即8=0。,则a•b二IaI•IbI

当a与b反向时，

即。=180°,则a•b=IaI•IbI

特别a•a=|a|2成|aI=a•a

③•1b|WIa||b|

学生自己的探究性质，体会并深入理解向里数量的运算性质。

8min生：①a•b=b•a（交换）

②（入a）•b=X（a•b）平面向量教案11

教材分析:

前面已学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新

的向量运算一一向量的数量积。教科书以物体受力做功为背景引入

向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联

系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与

前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量夹角对数量

积符号的影响；然后由投影的概念得出了数量积的几何意义;并由数

量积的定义推导出一些数量积的重要性质；最后“探究”研究了运算

律。

教学目标：

（一）知识与技能

掌握数量积的定义、重要性质及运算律；

能应用数量积的重要性质及运算律解决问题；

了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题,

为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。

（二）过程与方法

以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方

面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过例题分析，使学生明

确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

（三）情感、态度与价值观

创设适当的问题情境，从物理学中“功”这个概念引入课题，

开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数

学的.意识，加强数学与其它学科及生活实践的联系。

教学重点：

平面向量的数量积的定义；

用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应

用。

教学方法：

启发引导式

教学过程：

（一）提出问题，引入新课

前面我们学习了平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、

以及数乘运算，它们的运算结果都是向量，既然两个向量可以进行

加法、减法运算，我们自然会提出：两个向量是否能进行“乘法”

运算呢？如果能，运算结果又是什么呢？

这让我们联想到物理中“功”的概念，即如果一个物体在力F

的作用下产生位移s,F与s的夹角是0,那么力F所做的功如何计

算呢？平面向量教案12

课时5平面向量基本定理

学习目标

1.掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向

量；或一个向量分解为两个向量。

2.能应用平面向量基本定理解决一些几何问题。

知识梳理

若，是不共线向量，是平面内任一向量

在平面内取一点0,作二，二，二，使二人1二人2

=二+=X1+入2

得平面向量基本定理：

注意：1?、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组

基底

2?这个定理也叫共面向量定理

3?M,入2是被，，唯一确定的实数。

例题选讲

1.如图，ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于M,,,

试用基底、表示。

2.设、是平面内一组基底，如果二3-2,=4+,=8-9,

求证：A,B,D三点共线。

3.设、是平面内一组基底，如果二2+k,=--3,-2-,

若A,B,D三点共线，求实数k的值。

4.中，，DE//BC,与边AC相交于点E,中线AM与DE交于

点N,如图，，，试用、表示。

归纳反思

1.平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一

平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的'线性组合。

2.在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来

表示，选择了两个不共线地向量，平面内的任何一个向量都可以用

唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题，转化为只含的代

数运算。

课内练习

1.下面三种说法，正确的是

（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有

向量的基底;

(2)一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面所有

向量的基底；

(3)零向量不可为基底中的向量；

2.如果、是平面内一组基底，那么下列命题中正确的是

(1)若实数m,n,使m+n=，则m=n=O；

(2)空间任一向量可以表示为二m+n,这里m,n是实数；

(3)对实数m,n,向量ni+n不一定在平面；

(4)对平面内的任一向量,使=m+n的实数m,n有无数组。

3.若G是的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则=

4.如图，在中，AM：AB=1：3,AN：AC=1：4,BN与CM交于

点P,设，试用，表示。

5.设，，，求证：A、B、D三点共线。

巩固提高

1.设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组中不能作为

基底的是

A+和一B3-2和-6+4

C+2和+2D和+

2.若，，贝U=

A+B+C+D+

3.平面直角坐标系中，0为原点，A(3,1),B(-1,3),

点C满足，其中，且=1,则点C的轨迹方程为

4.。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动

点P满足

,则P的轨迹一定通过的心

5.若点D在的边BC上，且=，则3m+n的值为

6.设=+5,=-2+8,=3(一),求证：A、B、D三点

共线。

7.在图中，对于平行四边形ABCD,点M是AB的中点，点N在

BD上，且BN二BD,求证：M,N,C三点共线。

8.已知=5+2,=6+y,,,是一组基底，求y的值。

9.如图，在中，D、E分别是线段AC的两个四等份点，点F

是线段BC的中点，设，，试用，为基底表示向量。平面向量

教案13

一、教学目标：

1.知识与技能:

了解平面向量基本定理及其意义，理解平面里的任何一个向量

都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取

基底,使其他向量都能够用基底来表示。

2.过程与方法：

让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程，体会由

特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定

理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观

通过对平面向量基本定理的学习，激发学生的学习兴趣,调动学

习积极性，增强学生向量的应用意识，并培养学生合作交流的意识及

积极探索勇于发现的学习品质.

二、教学重点：平面向量基本定理.

三、教学难点：平面向量基本定理的‘理解与应用.

四、教学方法：探究发现、讲练结合

五、授课类型：新授课

六、教具：电子白板、黑板和课件

七、教学过程：

（一）情境引课，板书课题

由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数

学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？

（二）复习铺路，渐进新课

在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基

本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、

分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。

（三）归纳总结，形成定理

让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并

给出基底的定义。

（四）反思定理，解读要点

反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、

不惟一和非零性及实数对

的存在性和唯一性。

（五）跟踪练习，反馈测试

及时跟踪练习，反馈测试定理的理解