全品高考备战2027年数学一轮学生用书06第19讲导数与不等式第1课时利用导数研究恒(能)成立问题【正文】听课手册

第19讲导数与不等式第1课时利用导数研究恒(能)成立问题对于分类讨论法,常见有两种情况:(1)先利用综合法,结合导函数的零点之间的大小关系的决定条件,确定分类讨论的标准,分类后,判断不同区间上函数的单调性,得到最值,构造不等式求解;(2)直接通过导函数的式子,看出导函数值正负的分类标准,通常导函数为二次函数或者一次函数.对于双变量的恒(能)成立问题,常转化为求两个函数的最值之间的比较.提示一:求解参数范围时,一般会涉及分离参数,试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况,通常需要设出导函数的零点,难度较大.提示二:破解不等式求参问题,时常会通过不等式的同解变形,构造一个与背景函数相关的函数,利用函数最值确定参数的取值范围.在构造函数或求最值的过程中常用的放缩方法有函数放缩法、基本不等式放缩法、叠加不等式放缩法等.变更主元法是一种在解决多变量问题时常用的数学方法,其核心思想是通过灵活选择某个变量作为“主元”,将多变量问题转化为单变量的函数、方程或不等式问题,从而简化求解过程.分离参数法求参数范围例1-1当x<1时,不等式2xex-ax-ex+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.

例1-2已知函数f(x)=xlnx,若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≤-x2+mx

总结反思1.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略:(1)分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min;a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.2.分离参数法通常有两个角度:全分离参数法和半分离参数法.全分离参数是将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来,将所求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题.半分离参数一般是将不等式变形为ax+b>f(x)或ax+b<f(x)的形式,然后画出图象,由图象的上下方关系得到不等式,从而求解.变式题1已知函数f(x)=ax+xlnx在x=e(e为自然对数的底数)处取得极值.(1)求实数a的值;(2)若不等式f(x)x>k1+1x对任意

变式题2[2025·深圳二模节选]已知函数f(x)=e2x,g(x)=ax(a∈R,且a≠0).若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围.

分类讨论法求参数范围例2已知函数f(x)=(a-1)lnx-12x2+x,a∈R(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x平行,证明:f(x)≤ln4;(2)设g(x)=2x-ax-12x2,若对任意x∈(1,+∞),均有f(x)+4>g(

总结反思在给出的含参数的恒成立或能成立的不等式中,如果参数不易分离,则可以考虑用分类讨论法求参,通过讨论参数不同取值下函数的单调区间和函数的最值(或值域),进而确定参数的范围.解决此类问题的关键是对参数合理分类,在参数的每一段取值上判断是否满足题意.变式题[2025·南京、盐城一模节选]已知函数f(x)=xex+asinx.(1)当a=0时,求证:f(x)(2)若f(x)>0对任意x∈(0,π)恒成立,求a的取值范围.

变更主元法解多变量问题例3已知不等式lnx-12x2+bx+c≤0对任意x∈(0,+∞),b∈0,32

总结反思变更主元法的关键在于根据问题结构和变量关系,灵活选择主元,将复杂多变量问题转化为单变量问题求解.该方法在恒成立问题、最值问题、不等式证明、方程根的存在性等问题中均有广泛应用.变式题已知函数f(x)=cos2x-4cosx-2tx+7x∈π2,π(1)若t=6π,证明:f(x(2)证明:对任意的m∈[0,1],n∈π2,π,m(1-cosn)2+cos

双变量的恒(能)成立问题例4已知函数f(x)=sinx(1)求函数f(x)在0,(2)若g(x)=xex-x3+3x-a,且对任意x1∈0,π2,都存在x2∈[0,2],使得f(x1)≤g(x

总结反思常见的双变量不等式能成立问题(有解问题)与恒成立问题类型(其中M=[a,b],N=[c,d],f(x)在M上的最大值为f(x)max,最小值为f(x)min,g(x)在N上的最大值为g(x)max,最小值为g(x)min):(1)∀x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.(2)∀x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.(3)∃x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.(4)∃x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.变式题设函数f(x)=ax