全品高考备战2027年数学一轮备用题库02第50讲两直线的位置关系【答案】作业手册

第50讲两直线的位置关系1.C[解析]由x-y即交点坐标为(1,0).故选C.2.B[解析]因为直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,且l1⊥l2,所以1·a+1·b=0,所以a+b=0.故选B.3.B[解析]方法一:设所求直线上任意一点为(x,y),则其关于点13,0对称的点为23-x,-y,因为点23-x,-y在直线3x-2y=0上,所以323-x-2(-y)=0,化简得方法二:在直线3x-2y=0上任取两点O(0,0),M(2,3),设点O,M关于点13,0的对称点分别为O',M',则O'23,0,M'-43,-3,所以所求直线方程为y-(-34.C[解析]方法一:由x-y=0,x+y=2,得x=1,y=1,所以交点坐标为(1,1),又因为直线平行于向量v=(3,2),所以所求直线的方程为y-1=23方法二:根据题意可设所求的直线方程为x+y-2+λ(x-y)=0,即(1+λ)x+(1-λ)y-2=0,因为此直线平行于向量v=(3,2),所以23=λ+1λ-1,解得λ=-5,所以所求直线的方程为-4x+6y-2=0,即2x-35.AB[解析]若l1∥l2,则21=m-1≠-1m,得m=-2,选项A正确;若l1⊥l2,则1×2-m=0,得m=2,选项B正确;若l1,l2在x轴上的截距相等,则-m=12,解得m=-12,选项C错误;当m=0时,l2的倾斜角为π2,恰好是l1的倾斜角π4的26.x=2或x+2y-4=0[解析]方法一:由2x-y-3=0,x+y-3=0,解得x=2,y=1,即交点为P(2,1),由点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,得直线l过AB的中点或l∥AB.当直线l过AB的中点时,AB的中点为2,52,则直线l:x=2;当直线l∥AB时,由AB的斜率k=3-21-3=-12,得l的方程为y-1方法二:设过点P的直线l的方程为2x-y-3+λ(x+y-3)=0,即(2+λ)x+(λ-1)y-3λ-3=0,因为点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,所以|(2+λ)×1+(λ-1)×3-3λ-3|(2+λ)2+(λ-1)2=|(2+7.75,175[解析]由点到直线的距离公式得,点P到直线的距离d=|3cosθ+4sinθ-12|32+42=|5sin(θ+φ)-12|5,8.C[解析]设直线3x+4y+1=0的一个方向向量为b=1,-34,因为a=(3,4),所以a·b=3-3=0,即a=(3,4)与直线3x+4y+1=0的方向向量垂直,又点O到直线3x+4y+1=0的距离d=|1|32+42=15,故OP在a9.D[解析]由题意得,直线MN经过点P(2,0)关于y轴的对称点(-2,0),直线MN也经过点P(2,0)关于直线AB的对称点,设为(a,b),因为直线AB的斜率为11-00-22=-12,所以直线AB的方程为解得a=10,b=16,所以点P(2,0)关于直线AB的对称点为(10,16),所以直线MN过点(-2,0),(10,16),所以直线MN的斜率为16-010-(-2)=43,所以直线MN的方程为y=43(x+10.D[解析]如图,设l1与x轴交于点A,l2与y轴交于点D,l1与l2交于点C,则A(-3,0),D(0,1),直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形为四边形AODC.因为四边形AODC有外接圆,且∠AOD=90°,所以∠ACD=90°,即l1⊥l2,又l1的斜率为2,l2的斜率为k,所以2k=-1,即k=-12.故选D11.D[解析]集合A={(x,y)|kx-y+k=0}是直线l1:kx-y+k=0上的点组成的集合,将kx-y+k=0变形,可得y=k(x+1),所以直线l1:kx-y+k=0过定点E(-1,0).集合B={(x,y)|y=kx-1}是直线l2:y=kx-1上的点组成的集合,直线l2:y=kx-1过定点F(0,-1).因为直线l1∥l2,所以线段MN长度的最小值d是平行线l1,l2间的距离,所以d的最大值为|EF|=(0+1)2+(-112.ABD[解析]设点M到直线l的距离为d.根据题意,当d≤2时,该直线上存在点P,使|PM|=2,此时直线为点M(3,4)的“2域直线”.对于A,点M到直线4x-3y=0的距离为|3×4-4×3|16+9=0≤2,所以该直线是点M的“2域直线”;对于B,点M到直线y=2的距离为4-2=2,所以该直线是点M的“2域直线”;对于C,点M到直线x-4y=0的距离为|3-16|1+16=131717>2,所以该直线不是点M的“2域直线”;对于D,点M到直线x=5的距离为5-313.25255[解析]x-my+m-2=0可以化为m(1-y)+x-2=0,故直线l1恒过定点A(2,1),mx+y+2m-4=0可以化为y-4=-m(x+2),故直线l2恒过定点B(-2,4).因为1×m+(-m)×1=0,所以l1⊥l2,可得PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=(2+2)2+(1-4)2=25,又|PA|2+|PB|2=25≥2|PA|·|PB|,故|PA|·|PB|≤252,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立.因为PA⊥PB,设∠PAB=θ,则θ为锐角,所以|PA|=5cosθ,|PB|=5sinθ,所以2|PA|+|PB|=5(2cosθ+sinθ)=55sin(θ+φ),其中tanφ=2,所以当sin(θ+φ)=1时,2|PA|+|PB|取得最大值514.10-1[解析]设点A关于直线x+y=3的对称点为A'(a,b),则线段AA'的中点坐标为a+22,b2,kAA'=b所求最短总路程即为点A'到军营的最短距离,故所求最短总路程为32+12-1=15.B[解析]由两点间的距离公式得,F(x,y)=(x(xx2+(y-2)2是点P(x,y)到点B(23,0),A(-1+3,1-3),C(0,2)的距离之和,F(x,y)的最小值即为点P(x,y)到点B(23,0),A(-1+3,1-3),C(0,2)的距离之和的最小值,取最小值时点P为△ABC的费马点,如图所示.|AB|=|AC|=22,|BC|=4,所以△ABC为等腰直角三角形,∠APB=∠APC=∠BPC=120°,延长AP交BC于M,则∠BPM=∠CPM=60°.在△APC与△APB中,|AC|sin120°=|AP|sin∠ACP,|AB|sin120°=|AP|sin∠ABP,又∠ACP,∠ABP均为锐角,|AC|=|AB|,所以∠ACP=∠ABP,则∠PAC=∠PAB=45°,所以∠ACP=∠ABP=180°-120°-45°=15°,则∠PCM=∠PBM=45°-15°=30°,所以∠CMP=∠BMP=90°,所以AM⊥BC,则|BP|=|CP|=BMsin60°=232=433,|PM|=|BP|sin30°=2316.ACD[解析]如图①,设过点O(0,0)的直线l与直线OB垂直,因为kOB=-1,所以直线l:y=x,易知64个点中有8个落在直线l:y=x上,剩余56个点中一半在直线l:y=x上方,一半在直线l:y=x下方,要使∠AOB为锐角,则点A应在直线l:y=x下方,其中满足要求的点有28个,故∠AOB是锐角的概率为2864=716,A正确;如图②,过点B作直线m⊥OB,则点A落在直线m上时满足∠ABO为直角,因为kOB=-1,所以直线m的斜率为1,则直线m的方程为y+1=x-1,即y=x-2,落在直线y=x-2上的点有(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6),共6个,故∠ABO是直角的概率为664=332,B错误;如图③,要使△AOB为锐角三角形,则点A落在直线l:y=x与直线m:y=x-2之间,根据点的坐标特征知,点A应落在直线y=x-1上,满足要求的点A有(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),共7个,故△AOB是锐角三角形的概率为764,C正确;如图④,直线OB的方程为x+y=0,|OB|=1+1=2,设直线n:x+y+c=0,直线n与直线OB之间的距离为d,则d=|c|1+1=|c|2,令12|OB|·d=12×2·|c|2≤5,解得-10≤c≤10,故要使△AOB的面积不大于5,则点A在直线x+y-10=0上或在直线x+y-10=0的下方,故满足要求的点A有(1,1),(1,2)