全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题54第45讲空间向量及其运算和空间位置关系_第1页
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第45讲空间向量及其运算和空间位置关系【备选理由】例1考查空间向量基本定理及其应用,考查空间向量数量积及其应用;例2考查利用向量法计算线段的长度,考查空间向量数量积的应用;例3考查利用向量数量积的运算以及线性运算解决存在性问题.例1[配例2、例3使用][2025·福建漳州龙文区模拟]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2,AA1=4,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,则BC1与CA1所成角的正弦值为

5714[解析]由题意得BC1=BC+CC1=AD+AA1,CA1=CB+BA+AA1=-AB-AD+AA1,所以BC1·CA1=(AD+AA1)·(-AB-AD+AA1)=-AD·AB-AD2+AD·AA1-AA1·AB-AD·AA1+AA12=-|AB||AD|cos60°-|AD|2-|AA1||AB|cos60°+|AA1|2=-2×2×12-4-2×4×12+16=6.因为|BC1|2=(AD+AA1)2=AD2+2AD·AA1+AA12=|AD|2+2|AD||AA1|cos60°+|AA1|2=4+2×2×4×12+16=28,所以|BC1|=27.因为|CA1|2=(-AB-AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD-2AB·AA1-2例2[配例3使用][2025·江苏泰州四校联考]如图,线段AB⊥平面α,BC在平面α内,CD⊥BC,CD与平面α成30°角,点D与点A在α的同侧,已知AB=BC=CD=2,则AD的长为22.

[解析]如图,设DF⊥平面α于F,连接CF,∵AB⊥平面α,∴AB∥DF,又CD与平面α成30°角,∴∠DCF=30°,∴AB与CD的夹角为120°.∵AB⊥平面α,BC⊂平面α,∴AB⊥BC,又CD⊥BC,∴|AD|2=(AB+BC+CD)2=AB2+BC2+CD2+2AB·BC+2AB·CD+2BC·CD=3×22+2×2×2×0-2×2×12例3[配例3使用][2026·江苏宿迁期中]如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,棱长都为2,且∠A1AD=∠A1AB=60°,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N分别是棱AA1,BC的中点,点P为棱C1D1(1)用a,b,c表示A1(2)若P为棱C1D1的中点,求|MP+NC1(3)是否存在点P,使AP⊥A1N?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由.解:(1)连接AN,则A1N=AN-AA1=AB+12AD-AA(2)若P为棱C1D1的中点,则MP=12a+12b+c,又NC1=a所以|MP+NC1|=32a+12(3)设D1P=λD1C1=λb,0≤λ≤1,则AP=a由(1)知A1N=-a+b+1由(a+λb+c)·-a得-a2+λb2+12c2+(

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