全品高考备战2027年数学一轮学生用书05重点强化练(五)导数的综合应用【答案】

重点强化练(五)导数的综合应用1.解:(1)由函数f(x)=ax2+2cosx,得f'(x)=2ax-2sinx,则f'(0)=0,又f(0)=2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2.(2)由f(x)在0,π2上单调递减,得f'(x)=2ax-2sinx≤0对x则a≤sinxx对x∈0设g(x)=sinxx,x∈则g'(x)=xcos令h(x)=xcosx-sinx,x∈0,π2,则h'(x)=-xsinx<0,所以函数h(x)在0,π2上单调递减,所以即g'(x)<0,所以函数g(x)在0,π2上单调递减,所以g(x)>gπ2=2π故实数a的取值范围是-∞,22.解:(1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,所以f(1)=e-2,f'(1)=e-1,所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-1.(2)f'(x)=ex-a.①当a≤0时,f'(x)恒大于0,即f(x)在R上单调递增,f(x)无极小值,舍去.②当a>0时,f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=lna处取得极小值,依题有f(lna)=a-alna-a3<0,所以a2+lna-1>0.令g(x)=x2+lnx-1,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,所以a>1,故a的取值范围是(1,+∞).3.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2ax+(a-2)-1x=(①当a≤0时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=1a当x∈0,1a时,f'(x)<0,函数f当x∈1a,+∞时,f'(x)>0,函数f综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,函数f(x)在0,1a上单调递减,在(2)(i)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点,不符合题意;若a>0,由(1)知,当x=1a时,f(x)取得最小值,最小值为f1a=1-1因为当x∈1a,+∞时,f(x)∈1-1a+lna,+∞所以函数f(x)有两个零点当且仅当f1a<0设g(a)=lna-1a+1,易知函数g(a)在(0,+∞)上单调递增因为g(1)=0,所以g(a)<0的解集为(0,1).综上所述,a的取值范围是(0,1).(ii)证明:因为f(x)=(x2+x)a-2x-lnx,由f(1)=2a-2<0,结合(i)知0<x0<1.要证x0f'(x0)>-2,即证(2x0+1)(ax0-1)>-2,即证ax0(2x0+1)>2x0-1.当0<x0≤12时,ax0(2x0+1)>0,2x0当12<x0<1时,由f(x0)=0得ax0(x0+1)=lnx0+2x0即证(2x0+1)(lnx0+2x0)>(2x0-1)(x0+1),即证lnx0>(2x0-1)(x0+1)2即证lnx0+x0+12x设p(x)=lnx+x+12x+1,x∈12,1,因为p'(x)=1x所以p(x)在12,1上单调递增,所以p(x)>所以x0f'(x0)>-2.4.解:(1)当a=1时,f(x)=xex-ex=(x-1)ex,f'(x)=xex.当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1,则g(0)=0,由题意知g(x)<0对任意的x>0恒成立.g'(x)=eax+axeax-ex,则g'(0)=0.令h(x)=g'(x),则h'(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex=a(2eax+axeax)-ex,故h'(0)=2a-1.若h'(0)=2a-1>0,即a>12则h'(0)=limxlimx所以∃x0>0,使得当x∈(0,x0)时,有g'(x)x>0,则g'(x)>0,故g(x则g(x0)>g(0)=0,不合题意.若h'(0)=2a-1≤0,即a≤12则当a≤0时,g'(x)=eax+axeax-ex<0在(0,+∞)上恒成立,故g(x)在(0,+∞)上单调递减,则当x>0时,g(x)<g(0)=0,符合题意.当0<a≤12时,g'(x)=eax+axeax-ex=eax+ln(1+ax)-ex≤e12x+ln1+12x-ex<e12x+12x故实数a的取值范围是a≤12(3)证明:ln(n+1)=ln21×32×43×…×n+1n=ln2+ln3只需证1n2+即证1n1+1即证1n1+1设t=1+1n,则1n=t2-1,t>1,即证t2-1t>2lnt(t>1),即证t-设m(x)=x-1x-2lnx,则m'(x)=(故m(x)在(0,+∞)上单调递增,则当x>1时,m(x)>m(1)=0,故t-1t>2lnt(t>1).所以112+1+1225.解:(1)(i)当a=1,b=0时,f(x)=xsinx,其定义域为R,∵f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),∴f(x)是偶函数.对f(x)求导可得f'(x)=sinx+xcosx,x∈-π当x∈-π2,0时,当x∈0,π2时,f'∴f(x)在-π2,故f(x)在-π2,π(ii)证明:由(i)得f'(x)=sinx+xcosx,令f'(x)=sinx+xcosx=0,则有cosx≠0,∴x=-tanx,作出y=x与y=-tanx的图象,如图,设x0是f'(x)=0的任意正实根,则x0=-tanx0,则存在一个非负整数k,使x0∈π2+kπ,∵f'(x)=sinx+xcosx=cosx(tanx+x),∴当x变化时,f'(x)的变化情况如下表,xπx0(x0,π+kπ)f'(x)(k为正奇数)-0+f'(x)(k≥0且k为偶数)+0-∴满足f'(x)=0的正根x0都为函数f(x)的极值点.由题可知a1,a2,…,an,…为方程x=-tanx的全部正实根,且满足a1<a2<…<an<…(n=1,2,…),∴an+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an)>0.∵π2+(n-1)π<an<π+(n-1)π,π2+nπ<an+1<π+nπ(∴π2<an+1-an<3π由tanan+1tanan>0,可得tan(an+1-an)<0,∴π2<an+1-an<π(2)证明:当a=0,b=1时,f(x)=cosx,设k1对应的切点坐标为(x1,cosx1),(x1',cosx1'),x1<x1',k2对应的切点坐标为(x2,cosx2),(x2',cosx2'),x2<x2',∵f'(x)=-sinx,∴k1=-sinx1=-sinx1',k2=-sinx2=-sinx2'.由余弦函数的周期性,只需考虑-π<x2<x1<-π2结合余弦函数的图象,只需考虑x1+x1'=π,x2+x2'=3π的情形,则k1=cosx1'-cosk2=cosx2'-cos其中-π<x2<x1<-π2∴k1k2=cosk1=-2cosx1π-2x1=-sinx1∴cosx1=π2-x1sinx