全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题40第33讲平面向量的数量积

第33讲平面向量的数量积【备选理由】例1考查数量积的运算律、已知模求数量积等知识,考查学生运算求解的核心素养;例2考查向量夹角的计算、已知数量积求模等基础知识,考查了数形结合思想以及运算求解能力;例3考查数量积的坐标运算、向量夹角的计算、平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求模;例4考查向量夹角的计算、垂直关系的向量表示,考查转化与化归思想和运算求解的核心素养,例5考查用定义求向量的数量积,考查运算求解能力.例1[配例1使用][2025·山西部分学校5月联考]已知向量a,b,c均为单位向量,且a+3b+2c=0,则a·(2b-c)= (D)A.0 B.-1C.2 D.-3[解析]由a+3b=-2c,得a2+6a·b+9b2=4c2,所以1+6a·b+9=4,可得a·b=-1.由a+2c=-3b,得a2+4a·c+4c2=9b2,所以1+4+4a·c=9,可得a·c=1.故a·(2b-c)=2a·b-a·c=-3.故选D.例2[配例2、例3使用][2025·福建福州部分学校最后一卷]已知平面向量a,b满足|a|=|b|=2,a·b=2,向量c满足|c-a-b|=12|a-b|,则|c-λb|(λ∈R)的最小值为A.2-1 B.3-1C.3 D.2[解析]∵|a|=|b|=2,a·b=|a||b|cos<a,b>=2,∴cos<a,b>=12,又<a,b>∈[0,π],∴<a,b>=π3.∵|a-b|=(a-b)2=a2-2a·b+b2=22-2×2+22=2,|a+b|=(a+b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2+22=23,∴|c-(a+b)|=12|a-b|=1.如图,设OA=a,OB=b,OE=a+b,OC=c,则BA=a-b,EC=c-(a+b),∴C在以E为圆心,1为半径的圆上,设OD=λb,则DC=c-λb,∴原问题转化为求C在圆E上的哪一点时例3[配例3使用][2025·安徽合肥二模]已知向量e1=(1,0),e2=(1,3),设a=4e1+e2,b=3e1-e2,则a与b的夹角为 (C)A.π6 B.C.π3 D.[解析]因为e1=(1,0),e2=(1,3),所以a=4e1+e2=(4,0)+(1,3)=(5,3),b=3e1-e2=(3,0)-(1,3)=(2,-3),所以a·b=5×2+3×(-3)=7,|a|=52+(3)2=27,|b|=22+(-3)2=7.设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a|·|b|=727×例4[配例3、例4使用][2025·河南豫西北教研联盟(平许济洛)三模]已知非零向量a,b满足|b|=2|a|,若a⊥(a-b),则a与b的夹角为 (B)A.π6 B.C.2π3 D.[解析]因为|b|=2|a|,且a⊥(a-b),所以a·(a-b)=a2-a·b=0,所以a·b=|a|2,所以cos<a,b>=a·b|a|·|b|=|a|22|a|·|a|=12,又<例5[配例5使用][2025·湖北汉川一中压轴]点P在边长为1的正三角形ABC的外接圆上,则AP·AB的最大值为 (A)A.33+12 BC.233 D[解析]如图,设正三角形ABC外接圆的圆心为O,连接OA,OB,OC,OP,则OA=OB=OC=OP=33,∠OAB=π6.①一方面,我们有AP·AB=(AO+OP)·AB=AO·AB+OP·AB=|AO||AB|cosπ6+OP·AB=33×1×32+OP·AB=12+OP·AB=12+|OP||AB|cos<OP,AB>≤12+|OP||AB|=12+33×1=33+12,即AP·AB≤33+12.②另一方面,当AP=AO+33AB时,有|