全品高考备战2027年数学一轮备用题库01第60讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【答案】作业手册

第十单元计数原理、概率、随机变量及其分布第60讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.C[解析]因为每名同学均有2门外语课程可以选择,所以不同的选法有2×2×2=23(种).故选C.2.B[解析]分3类:取一本语文书有5种方法,取一本数学书有4种方法,取一本英语书有3种方法.由分类加法计数原理得,不同的取法有5+4+3=12(种),故选B.3.B[解析]由题意可知,分三步完成:第一步,从2种主食中任选一种,有2种选法;第二步,从3种素菜中任选一种,有3种选法;第三步,从6种荤菜中任选一种,有6种选法.根据分步乘法计数原理,共有2×3×6=36(种)不同的选取方法,故选B.4.D[解析]应该分步完成:第一步,因为甲不去北京,所以甲从上海、西安、长沙三个城市中任选一个,有3种选法;第二步,乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个,有4×4×4=64(种)选法.由分步乘法计数原理可得,不同的选法有3×64=192(种).故选D.5.ABD[解析]若从东面上山,则上山走法有2种,下山走法有10种,由分步乘法计数原理可得共有20种走法,故A正确;若从西面上山,则上山走法有3种,下山走法有9种,由分步乘法计数原理可得共有27种走法,故B正确;若从南面上山,则上山走法有3种,下山走法有9种,由分步乘法计数原理可得共有27种走法,故C错误;若从北面上山,则上山走法有4种,下山走法有8种,由分步乘法计数原理可得共有32种走法,故D正确.故选ABD.6.1610[解析]从1,5,9,13中任选一个数作分子,4,8,12,16中任选一个数作分母,可构造4×4=16(个)不同的分数.由真分数的定义知,①若1为分子,则分母有4种选择;②若5为分子,则分母有3种选择;③若9为分子,则分母有2种选择;④若13为分子,则分母有1种选择.所以真分数共有4+3+2+1=10(个).7.48[解析]先涂矩形A,再依次涂矩形B,C,D,根据分步乘法计数原理,共有4×3×2×2=48(种)涂色方法.8.D[解析]由数字1,2,3,4组成的可以有重复数字的三位奇数中,个位数字从两个奇数中选择,十位、百位没有限制,依据分步乘法计数原理,共有2×4×4=32(个).故选D.9.C[解析]从盒子中每次取出一个小球,共取3次,有43=64(种)取法,其中取得小球标号的最大值不是4的取法有33=27(种),所以取得小球标号的最大值是4的取法有64-27=37(种),故选C.10.D[解析]由题意,甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗,即甲单位不可预约C医院,则甲单位可预约A,B两家医院.①若甲单位预约A医院,乙单位预约A医院,则丙单位可预约B,C医院,有2种情况;②若甲单位预约A医院,乙单位预约B或C医院,则丙单位可预约A,B,C医院,有2×3=6(种)情况;③若甲单位预约B医院,乙单位预约A或C医院,则丙单位可预约A,B,C医院,有2×3=6(种)情况;④若甲单位预约B医院,乙单位预约B医院,则丙单位可预约A,C医院,有2种情况.所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为2+6+6+2=16.故选D.11.BC[解析]因为百位上的数字不能为0,所以组成的三位数的个数为4×4×3=48,故A错误;将所有三位数的偶数分为两类,①个位数为0,则有4×3=12(个),②个位数为2或4,则有2×3×3=18(个),所以在组成的三位数中,偶数的个数为12+18=30,故B正确;将组成的三位数中的“凹数”分为三类,①十位为0,则有4×3=12(个),②十位为1,则有3×2=6(个),③十位为2,则有2×1=2(个),所以在组成的三位数中,“凹数”的个数为12+6+2=20,故C正确,D错误.故选BC.12.24[解析]梯形的上、下底平行且不相等,如图.若以AB为底边,则可构成2个梯形,根据对称性可知,此类梯形有2×8=16(个);若以AC为底边,则可构成1个梯形,此类梯形共有1×8=8(个).所以梯形的个数是16+8=24.13.896[解析]集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中的完全平方数有1,4,9,令B={1,4,9},C={2,3,5,6,7,8,10},则集合B={1,4,9}的非空子集有23-1=7(个),集合C={2,3,5,6,7,8,10}的子集有27=128(个),则满足条件的集合A为集合B的非空子集与集合C的子集的并集,故共有7×128=896(个).14.1200960[解析]第一空:若C,E的涂色相同,则共有5×4×3×2×3=360(种)不同的涂色方法;若C,E的涂色不相同,则共有5×4×3×2×(1×3+2×2)=840(种)不同的涂色方法.故共有360+840=1200(种)不同的涂色方法.第二空:因为区域D不能涂甲颜色,所以区域D的涂色方法有4种.若C,E的涂色相同,则共有4×4×3×3×2=288(种)不同的涂色方法;若C,E的涂色不相同,则共有4×4×3×2×(1×3+2×2)=672(种)不同的涂色方法.故共有288+672=960(种)不同的涂色方法.15.C[解析]在三阶魔方中,随机选择一层,有9种选法,每一层有2种旋转方式,故每一次旋转魔方,有9×2=18(种)旋转方式,所以若将一个已还原的三阶魔方按5步打乱,且每一步互相独立,则共有185种打乱方式.故选C.16.80[解析]因为cos2an+1=sin2an,cos2an+1+sin2an+1=1,所以sin2an+sin2an+1=1,又sin2a1=sin2π6=14,所以sin2a2=34,sin2a3=14,sin2a4=34,所以sina2=±32,sina3=±12,sina4=±32,又因为a1=π6,a5=25π6,a1<a2<a3<a4<a5,所以a2,a4∈π3,2π3,4π3,5π3,7π3,8π3,10π3,11π3,a3∈5π6,7π6,11π6,13π6,17π6,19π6,23π6.当a3=5π6时,a2有2种选法,a4有6种选法,一共有2×6=12(种)选法;当a3=7π6时,a2有2种选法,a4有6种选法,一共有2×6=12(种)选法;当a3=11π6时,a2有4种选法,a4有