全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题36第29讲多三角形背景下解三角形

第29讲多三角形背景下解三角形【备选理由】例1是含分点的三角形问题,考查正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形等基础知识,考查运算求解能力与化归转化思想;例2是含角平分线的三角形问题,考查了正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围等知识,考查运算求解能力与化归转化思想;例3是平面几何多边形问题,考查余弦定理、求三角形的边长、求四边形周长的最值、几何图形中的计算等知识.例1[配例1使用][2025·江苏南京二模]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA-sin(1)求A;(2)若BD=2DA,BC=CD,求cosB.解:(1)由sinA-sinBc-b=sinCa+b及正弦定理得a-bc-b=ca+b,得b2+c2-a2=bc(2)如图,因为BD=2DA,BC=DC,所以AD=13c,DC=a,在△ADC中,由余弦定理得DC2=AD2+AC2-2AD·ACcosA,即a2=c29+b2在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,即a2=c2+b2-bc①,所以c29+b2-13bc=c2+b2-bc,得23c43c-b=0,由c>0可得b=43c,代入①得a2=139c2,由a>0可得a=133c.在△ABC中例2[配例2使用][2025·湖北宜昌一中宜荆荆恩四校联考]如图所示,在△ABC中,sinC=3sinB,AD平分∠BAC,且AD=kAC.(1)若DC=2,求BC的长度;(2)求k的取值范围;(3)若S△ABC=32,求k为何值时,BC最短解:(1)因为sinC=3sinB,所以由正弦定理得c=3b.在△ABD中,由正弦定理得ABsin∠ADB=在△ACD中,由正弦定理得ACsin∠ADC=因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,又∠ADB+∠ADC=π,所以sin∠ADB=sin∠ADC,所以ABAC=BD因为c=3b,DC=2,所以BD2=3,得BD=6,所以BC=8(2)因为S△ABC=S△ABD+S△ADC,设∠BAD=∠CAD=θ,所以12AB·ACsin2θ=12AB·ADsinθ+12AC·AD又c=3b,AD=kAC,所以3AC·AC·2sinθcosθ=3AC·kACsinθ+AC·kACsinθ,所以6cosθ=4k,所以k=32cos因为θ∈0,π2,所以cosθ∈(0,1),所以k(3)由余弦定理得BC2=c2+b2-2c·bcos∠BAC=2b2(5-3cos∠BAC).因为S△ABC=32,所以12bcsin∠BAC=32,又c=3b,所以b2所以BC2=2sin∠BAC(5-3cos∠BAC)=2·方法一:令y=5-3cos∠BACsin∠BAC,则ysin∠所以y2+9sin(∠BAC+φ)=5所以当sin(∠BAC+φ)=1时,y取得最小值4,即当∠BAC+φ=π2+2kπ(k∈Z)时,y取得最小值4,此时tanφ=3所以cos∠BAC=sinφ=35因为cos∠BAC=2cos2θ-1,所以2cos2θ-1=35,所以cosθ=2由(2)知k=32cosθ,所以k=32×255=355,即当k=方法二:BC2=2·5-3cos2θsin2θ=5-3(2cos2θ-当且仅当8tanθ=2tanθ,即tanθ=12时取等号,此时cosθ=25,即k=355,故当k=例3[配例3使用][2025·湖北高中名校联盟联考]如图,在平面四边形ABCD中,AB=5,AD=4,cos∠BAD=18,∠BCD=90°(1)若AC与BD交于点O,且BD⊥AC,求BO的长;(2)求四边形ABCD周长的最大值.解:(1)在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=36,所以BD=6.因为cos∠BAD=18,∠BAD∈(0,π),所以sin∠BAD=3由BD⊥AC可知,AO=2S△ABDBD=AB·ADsin∠BADBD=(2)因