2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第1讲 基本立体图形、空间几何体的表面积与体积

第八章立体几何与空间向量第1讲

基本立体图形、空间几何体的表面积与体积1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合平面多边形1．多面体、旋转体的定义(1)由若干个_____________围成的几何体叫做多面体．(2)一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的____________旋转所形成的曲面叫做_________，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．一条定直线旋转面2．棱柱的概念及其分类(1)棱柱的概念有两个面__________，其余各面都是__________，并且相邻两个四边形的公共边都__________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．(2)棱柱的分类①按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……②按侧棱是否与底面垂直侧棱垂直于底面的棱柱叫做____棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做_____棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做______棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做____________．互相平行四边形互相平行直正平行六面体斜3．棱锥的概念及其分类(1)棱锥的概念有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．(2)棱锥的分类①按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做______棱锥．多边形三角形正4．棱台的概念及其分类(1)棱台的概念用一个_________________的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台．(2)棱台的分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……平行于棱锥底面定义图形及表示圆柱以____________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，如图中圆柱表示为圆柱O′O圆锥以________________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体，如图中圆锥表示为圆锥SO矩形的一边5．圆柱、圆锥、圆台、球的概念及表示直角三角形的一条直角边圆台用__________________的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，如图中圆台表示为圆台O′O球______以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球，如图中的球表示为球O平行于圆锥底面半圆6．简单组合体(1)概念由____________组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体______而成；②由简单几何体____________一部分而成．简单几何体拼接截去或挖去7．直观图(1)画法：常用______________．(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤斜二测画法45°(或135°)x′轴或y′轴的线段保持原长度不变一半圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝________S圆锥侧＝_____S圆台侧＝__________8．多面体的表面积多面体的表面积就是围成多面体________的面积的和．9．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式各个面2πrlπrlπ(r1＋r2)lS底h4πR23．与体积有关的两个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．1．下列结论正确的是(

)A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台解析：底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误．故选B.2．(人教A必修第二册习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一小部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(

)A．棱台

B．四棱柱C．五棱柱

D．简单组合体解析：由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．故选C.解析：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．核心考向突破考向一

基本立体图形角度1空间几何体的结构特征下列说法正确的是(

)A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点解析：A错误，如图1；B正确，如图2，其中PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱延长后必相交于同一点．故选B.识别空间几何体的两种方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可1.下列结论正确的是(

)A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析：由图1知，A错误；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确．故选D.2．(多选)如图，将装有半槽水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是(

)A．四棱柱

B．四棱台C．三棱柱

D．三棱锥解析：根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱．故选AC.通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：(1)求几何体的表面积或侧面积．(2)求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．108

(1)求解与截面有关的问题的关键是确定截面的形状，并从几何体中获取相关的数据进行计算．(2)作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面．考向二

平面图形与其直观图的关系(多选)(2025·黑龙江牡丹江模拟)

已知梯形ABCD，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′，如图，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，下列说法正确的是(

)A．线段AD平行于x轴B．AB＝2C．梯形ABCD是直角梯形D．梯形ABCD的面积是3考向三

空间几何体的表面积求空间几何体表面积的类型及方法注意：①组合体的表面积注意衔接部分的处理．②灵活运用直角三角形与直角梯形，如圆锥(台)中的高、母线、底面半径；棱锥(台)中的高、棱长、底面边长．多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积1.(2024·山东枣庄一模)已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为(

)A．6π B．16πC．26π D．32π2．(2025·山西太原五中模拟)

一个正六棱柱和正六棱锥的组合体如图所示，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为________．考向四

空间几何体的体积对于规则的几何体，利用相关公式直接计算．角度2等体积转化法求体积棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________．1选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换．补形法求体积就是把不规则的几何体补成规则的几何体、不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算．如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为(

)

A．90π B．63πC．42π D．36π角度4分割法求体积(2024·北京西城二模)楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中平面ABCD为正方形．若AB＝6cm，EF＝3cm，且EF与平面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为(

)A．18cm3

B．24cm3C．30cm3

D．48cm3分割法求体积就是先把不规则的几何体分割成规则的几何体，再利用相关公式直接计算．如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________．4课时作业一、单项选择题1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(

)A．一个圆台、两个圆锥

B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台

D．一个圆柱、两个圆锥解析：从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱、两个圆锥所组成的几何体，如图所示．故选D.2．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式(不可折断)不可能拼成(

)A．正三棱柱

B．正四棱锥C．正四棱柱

D．正六棱锥解析：A，B，C中的图形均可由12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式得到；对于D，因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D不可能拼成．故选D.4．(2025·河南郑州模拟)

如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶(精确到个位数)(

)A．176克 B．207克C．239克 D．270克二、多项选择题9．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(

)A．圆柱的侧面积为2πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶211．(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(

)A．V3＝2V2

B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2

D．2V3＝3V1三、填空题12．(2024·全国甲卷)已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．13．(2025·云南昆明一中模拟)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有_____个面；若被截正方体的棱长是60cm，那么该几何体的表面积是_________________cm2.1414．(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是________，圆锥MM