2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末综合复习课件

数学北师大版八年级下册通过完成导学任务，请同学展示本册的知识结构图.知识结构知识结构期末综合复习三角形的证明及其应用三角形、多边形内角和等腰、直角三角形线段的垂直平分线不等式与不等式组图形的平移与旋转因式分解分式与分式方程平行四边形角平分线不等式的基本性质一元一次不等式(组)的解法应用平移旋转、中心对称定义方法分式及其基本性质分式的运算分式方程性质定理判定定理三角形的中位线一元一次不等式与一次函数全等三角形知识要点提炼三角形内角和定理及推论三角形的证明及其应用多边形的内角和定理多边形的外角和定理性质：等边对等角、三线合一(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高).判定：等角对等边.知识要点提炼等腰三角形三角形的证明及其应用等边三角形知识要点提炼直角三角形三角形的证明及其应用定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理知识要点提炼线段的垂直平分线三角形的证明及其应用性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.角平分线性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.知识要点提炼不等式与不等式组定义：一般地，用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫作不等式.基本性质：①不等式的两边都加(或减)同一个代数式，不等号的方向不变.②不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.③不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.不等式的定义及基本性质知识要点提炼不等式与不等式组定义：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式.解一元一次不等式的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.一元一次不等式

解不等式时，去分母、系数化为1的步骤中，若两边乘(或除以)负数，需改变不等号方向.知识要点提炼不等式与不等式组一元一次不等式与一次函数不等式ax+b>c(<c)(a，b为常数，a≠0)的解集：从函数值看：一次函数y=ax+b的函数值大于c(或小于c)时x的取值范围.从函数图象看：直线y=ax+b在直线y=c上方(或下方)图象上点的横坐标的范围.知识要点提炼不等式与不等式组一元一次不等式组定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.解一元一次不等式组的一般步骤：(1)求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴，找出这些不等式解集的公共部分；(3)根据几个不等式解集的公共部分，写出这个不等式组的解集.知识要点提炼图形的平移与旋转图形的平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.性质：平移前后的图形全等，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等.作图：先确定图形的关键点平移后的位置，再按原来的方式连接，即可得到平移后的图形.

坐标平移的规律：右加左减纵不变，上加下减横不变.知识要点提炼图形的平移与旋转图形的旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.性质：旋转前后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等.作图：(1)先找出图形中的关键点；(2)分别作出这几个点旋转后的对应点；(3)按原来位置依次连接各点即可得到旋转后的图形.

任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，可根据旋转角相等求角的度数.知识要点提炼图形的平移与旋转中心对称与中心对称图形知识要点提炼因式分解定义把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解.方法提公因式法、公式法.一提：有公因式的先提公因式；二套：套用公式，两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式(不能直接套公式时，可适当变形整理)；三检查：检查乘积中的每一个多项式的因式是否分解彻底.步骤知识要点提炼分式的定义分式与分式方程分式有、无意义及值为0的条件分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.知识要点提炼分式的基本性质分式的符号法则分式与分式方程把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.分子和分母没有公因式的分式，称为最简分式.分式的约分、最简分式知识要点提炼根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.分式的通分分式与分式方程各分母的系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积，叫作最简公分母.最简公分母乘：分子乘分子、分母乘分母，结果要约分.除：把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.乘方：分子、分母分别乘方.加减：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.知识要点提炼分式的运算分式与分式方程

分式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一致.知识要点提炼一去、二解、三验、四写.解分式方程的一般步骤

(1)增根是去分母后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根；(2)若一个分式方程有增根，则此增根必使最简公分母的值为零.将分式方程变形为整式方程，若整式方程的根使得原分式方程的分母为零，则这个根称为原方程的增根.增根分式与分式方程定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线.性质：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；对边相等，对角相等，对角线互相平分.知识要点提炼平行四边形的定义及性质平行四边形ADCBO定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.与边有关的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.与对角线有关的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形.知识要点提炼平行四边形的判定定理

“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形.ADCBO平行四边形定义：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.性质：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.知识要点提炼平行线之间的距离平行四边形AabCBD定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.知识要点提炼三角形的中位线ABCED平行四边形题型1

等腰三角形性质的应用题型2

直角三角形的判定题型3

线段的垂直平分线

题型4

角平分线的性质与判定

题型5解不等式组题型6

不等式组解集的应用题型7

一元一次不等式(组)的实际应用题型9

因式分解

题型8

点坐标的平移规律题型11

分式的化简求值题型10

分式值为0的条件

题型13

分式方程的应用题型12

解分式方程

题型14

平行四边形的性质与判定题型归纳·内容归纳重点知识巩固重点知识巩固D题型1：等腰三角形性质的应用BACED由三角形内角和定理易得：∠1+∠2=∠3+∠4.重点知识巩固利用等腰三角形的性质求角度：以三角形为背景，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行角度计算，核心思路是整体代换，不单独求解每个未知角，而是利用等腰三角形底角与顶角的关系，将相关角的和差用已知条件整体表示，再结合三角形内角和推导出目标角度，避免复杂的分步计算，简化运算过程.方法总结重点知识巩固

满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(

)A.∠B=∠A+∠C B.∠A∶∠B∶∠C=5∶12∶13C.BC²=AC²−AB² D.BC∶AC∶AB=5∶12∶13题型2：直角三角形的判定重点知识巩固

满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(

)A.∠B=∠A+∠C B.∠A∶∠B∶∠C=5∶12∶13C.BC²=AC²−AB² D.BC∶AC∶AB=5∶12∶13

C.由勾股定理可得△ABC是直角三角形.D.由已知条件可知，设BC=5k，AC=12k，AB=13k.BC²+AC²=(5k)²+(12k)²=169k²=(13k)²=AB².∴△ABC是直角三角形.故选B.B题型2：直角三角形的判定重点知识巩固

由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，∴BD=CD，∵AC=6，AD=2，∴BD=CD=4，故选：C.C题型3：线段的垂直平分线线段的垂直平分线性质应用：若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问题.同时，在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地运用线段垂直平分线的性质，可以大大简化解题过程.重点知识巩固方法总结重点知识巩固

已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.

如图，作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G.∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，∴FM=FN，同理，FG=FN，∴FM=FG，又FM⊥AB，FG⊥AC，∴点F在∠DAE的平分线上.题型4：角平分线的性质与判定MNG∟∟∟重点知识巩固题型5：解不等式组①②重点知识巩固题型6：不等式组解集的应用含参数不等式组整数解问题：①分别解出不等式组中每个不等式的解集，确定公共解集的形式；②根据题目给出的整数解个数，列出所有符合条件的整数解；③利用数轴确定参数对应的边界位置，验证边界点是否可取；④写出参数的取值范围.重点知识巩固方法总结

一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的.某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同.(1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元；重点知识巩固题型7：一元一次不等式(组)的实际应用

(2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2

550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1

540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.重点知识巩固题型7：一元一次不等式(组)的实际应用

(2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2

550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1

540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.重点知识巩固题型7：一元一次不等式(组)的实际应用∴该公司能实现利润不少于1

540元的目标，共有3种采购方案：

方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；

方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；

方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支.

点A(3,−5)向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为(

)A.(1,−8) B.(1,−2) C.(−7,−1) D.(0,−1)重点知识巩固D

根据题意，∵点A(3,−5)向上平移4个单位，再向左平移3个单位，∴−5+4=−1，3−3=0，∴点B的坐标为(0,−1).故选：D.题型8：点坐标的平移规律重点知识巩固题型9：因式分解因式分解三步走：一提；二套；三检验.重点知识巩固

由题意，得x²−4=0，且x+2≠0，解得x=2.故选：C.题型10：分式值为0的条件C

必须同时满足分子为0且分母不为0.重点知识巩固题型11：分式的化简求值重点知识巩固题型12：解分式方程必须要检验重点知识巩固题型12：解分式方程

某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3

000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高25%，结果提前15天完成铺设任务.(1)问原计划与实际每天铺设管道各多少米？重点知识巩固题型13：分式方程的应用

某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3

000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高25%，结果提前15天完成铺设任务.(1)问原计划与实际每天铺设管道各多少米？重点知识巩固题型13：分式方程的应用

经检验，x=40是分式方程的解，且符合题意，∵1.25×40=50，∴实际每天铺设管道50米.答：原计划与实际每天铺设管道分别为40米，50米.

某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3

000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高25%，结果提前15天完成铺设任务.(2)负责该工程的施工单位按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元.该施工单位原计划最多应安排多少名工人施工？重点知识巩固题型13：分式方程的应用

某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3

000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高25%，结果提前15天完成铺设任务.(2)负责该工程的施工单位按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元.该施工单位原计划最多应安排多少名工人施工？重点知识巩固题型13：分式方程的应用∵y是整数，∴y的最大值是8.答：该施工单位原计划最多应安排8名工人施工.

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；重点知识巩固题型14：平行四边形的性质与判定

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点.(2)若四边形EFGH的周长为2，则▱ABCD的周长是多少.重点知识巩固题型14：平行四边形的性质与判定综合能力提升分式方程无解的解题步骤：①去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程；②找出增根：令最简公分母为0，求出所有增根；③分类讨论：情况一：整式方程无解，合并后令未知数的系数为0；情况二：有增根，将增根代入整式方程.综合能力提升方法总结新定义

【阅读材料】将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方式，若可以构成完全平方式，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组.例如：am+bm+an+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)；x²+2x+1−4=(x²+2x+1)−4=(x+1)²−2²=(x+1−2)(x+1+2)=(x−1)(x+3).分组分解法关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解.综合能力提升新定义

(1)【应用知识】因式分解：①mp−mq−np+nq=___________；②64−a²−6ab−9b²=___________________；(2)【知识拓展】可将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试.已知a，b，c为等腰△ABC的三边长，且满足a²+b²=6a+12b−45.求△ABC的周长；综合能力提升新定义

(1)【应用知识】因式分解：①mp−mq−np+nq=___________；②64−a²−6ab−9b²=___________________；(2)【知识拓展】可将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试.已知a，b，c为等腰△ABC的三边长，且满足a²+b²=6a+12b−45.求△ABC的周长；综合能力提升

当c=3时，3+3=6，不能构成三角形，舍去.当c=6时，3+6>6，能构成三角形，∴△ABC的周长为3+6+6=15.新定义

(3)【知识应用】已知a²+b²=81，m²+n²=25，求(am+bn)²+(an−bm)²的值.综合能力提升

某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠，各商场的优惠条件如下表所示：(1)什么情况下到甲商场购买更优惠？(2)什么情况下到乙商场购买更优惠？(3)什么情况下两家商场的收费相同？综合能力提升商场优惠条件甲商场第一台按原报价收费，其余每台优惠25%乙商场每台优惠20%

(1)什么情况下到甲商场购买更优惠？综合能力提升(1)设学校计划购买电脑x台，甲商场的收费为y1元，乙商场的收费为y2元，则y1=6000+6000(1-