第4章 计算机控制系统分析

4.1s平面与z平面的映射分析4.2计算机控制系统稳定性分析4.3计算机控制系统稳态误差分析4.4计算机控制系统时域特性分析4.5计算机控制系统频域特性分析附：

应用实例12026/6/1第4章计算机控制系统分析稳准快4.1s平面与z平面的映射分析4.2计算机控制系统稳定性分析4.3计算机控制系统稳态误差分析4.4计算机控制系统时域特性分析4.5计算机控制系统频域特性分析附：

应用实例22026/6/1第4章计算机控制系统分析s平面与z平面的基本映射关系s平面与z平面映射关系：是周期为2

的周期函数z的模、相角与s的实部、虚部的关系：32026/6/1考虑s平面极点：s平面与z平面的基本映射关系42026/6/1s=σ+jωz=R∠θ几何位置σω几何位置R=eσTθ=ωT虚轴=0任意值单位圆周=1任意值左半平面<0任意值单位圆内<1任意值右半平面>0任意值单位圆外>1任意值s平面、虚轴的映射s平面与z平面的基本映射关系52026/6/1s=σ+jωz=R∠θ几何位置σω几何位置R=eσTθ=ωT虚轴=0任意值单位圆周=1任意值左半平面<0任意值单位圆内<1任意值右半平面>0任意值单位圆外>1任意值s平面、虚轴的映射s平面整个虚轴映射为z平面单位圆上s左半平面任一点映射在z平面单位圆内s右半平面任一点映射在z平面单位圆外角频率ω与z平面相角θ的关系ω-∞…-2ωs-ωs-ωs/20ωs/2ωs2ωs…+∞θ-∞…-4π-2π-π0π2π4π…-∞62026/6/1s平面与z平面的基本映射关系s平面上频率相差采样频率整数倍的所有点，映射到z平面上同一点当ω变化一个ωs

时，z平面相角θ变化2π，即转了1周ω在s平面虚轴上从-∞变到+∞时，z平面上相角将转无穷多圈s平面上的主带与旁带72026/6/1s平面与z平面的基本映射关系ω-∞…-3ωs/2-ωs-ωs/20ωs/2ωs3ωs/2…+∞θ-∞…-3π-2π-π0π2π3π…-∞s平面分成许多平行带，宽度为ωs主带旁带s平面主带的映射：左半平面

82026/6/1s平面与z平面的基本映射关系①～②段，σ=0，ω=0→ωs/2s平面z平面R=1，θ=0→π半径为1的上半圆②～③段，σ=0→-∞，ω=ωs/2R=1→0，θ=π沿负实轴由-1变到0③～④段，σ=-∞，ω=ωs/2→-ωs/2R=0，θ=π→-π③、④点重合，相角改变2π④～⑤段，σ=-∞→0，ω=-ωs/2R=0→1，θ=

-π沿负实轴由0变到-1⑤～⑥段，σ=0，ω=-ωs/2→0R=1，θ=-π→0半径为1的下半圆s平面主带的映射：右半平面

92026/6/1s平面与z平面的基本映射关系①～②段，σ=0，ω=0→ωs/2s平面z平面R=1，θ=0→π半径为1的上半圆②～③段，σ=0→∞，ω=ωs/2R=1→∞，θ=π沿负实轴由-1变到-∞③～④段，σ=∞，ω=ωs/2→-ωs/2R=∞，θ=π→-π③、④点重合，相角改变2π④～⑤段，σ=∞→0，ω=-ωs/2R=∞→1，θ=

-π沿负实轴由-∞变到-1⑤～⑥段，σ=0，ω=-ωs/2→0R=1，θ=-π→0半径为1的下半圆s平面上等值线在z平面的映射s平面实轴平行线（等频率线）的映射从原点出发幅角为ωAT的射线102026/6/1ωA=±ωs/2负实轴ωA=±nωs正实轴s平面上等值线在z平面的映射s平面虚轴平行线（等衰减率线）的映射以原点为圆心，半径为eσAT的圆112026/6/1σA<0单位圆内的同心圆σA>0单位圆外的同心圆s平面上等值线在z平面的映射s平面上等阻尼比轨迹的映射122026/6/1的共轭复极点为s1,s2ξ：阻尼比ωn：无阻尼自然振荡频率ωd：阻尼自然频率从原点出发的射线s平面上等值线在z平面的映射s平面上等阻尼比轨迹的映射132026/6/1阻尼比为常值的轨迹，映射至z平面，模随ω增加按指数衰减，相角随ω线性增长，构成一条对数螺旋线0≤ω≤ωs/2-ωs/2≤ω≤0另一条对数螺旋线，是上述曲线相对实轴的镜像利用Matlab画对数螺旋线Matlab命令142026/6/1s平面上等自然振荡频率轨迹的映射152026/6/1s平面上等值线在z平面的映射ωn固定-ωs/2≤ω≤0圆心位于原点，半径为无阻尼自然振荡频率的同心圆与等阻尼比轨迹正交s平面上等自然振荡频率轨迹的映射162026/6/1s平面上等值线在z平面的映射与等阻尼比轨迹正交的一条曲线0≤ω≤ωs/2另一条曲线，是上述曲线相对实轴的镜像-ωs/2≤ω≤0172026/6/1利用Matlab画等自然振荡频率轨迹4.1s平面与z平面的映射分析4.2计算机控制系统稳定性分析4.3计算机控制系统稳态误差分析4.4计算机控制系统时域特性分析4.5计算机控制系统频域特性分析附：

应用实例182026/6/1第4章计算机控制系统分析稳定性概述192026/6/1重要性：是控制系统最重要的性质之一，是保证系统正常工作的前提含义：系统在扰动作用下偏离平衡状态，当扰动作用消失后，系统恢复到平衡状态的性能若扰动作用消失后，系统恢复到平衡状态，系统稳定本质：是系统的固有特性，与扰动作用形式无关，只取决于系统的结构和参数判定：连续系统-闭环传递函数极点是否都在s左半平面离散系统-闭环脉冲传递函数极点分布s平面与z平面极点位置关系、采样周期连续系统稳定稳定条件202026/6/1特征根全部位于s左半平面离散系统稳定特征根全部位于z平面单位圆内稳定性判定通过特征方程的根：求取离散系统特征方程的根，判定系统稳定性通过根与系数的关系：不求解特征方程，根据特征方程根与系数的关系，判定系统稳定性212026/6/1离散系统稳定特征根全部位于z平面单位圆内稳定性判定直接求取特征方程的根Matlab命令c=[1-1.20.070.3-0.08];r=roots(c)r=-0.50000.80000.50000.4000系统稳定例

已知222026/6/1稳定性判定例

计算机控制系统结构如下，采样周期T=1s，数字控制器D(z)=K，分析K=1,3时系统的稳定性232026/6/1稳定性判定系统稳定例

计算机控制系统结构如下，采样周期T=1s，数字控制器D(z)=K，分析K=1,3时系统的稳定性242026/6/1系统不稳定稳定性判定252026/6/1优点：不仅判断了系统的稳定性，还能知道特征根的具体特性，有利于系统分析与设计缺点：难于分析系统参数的影响直接求取特征方程的根不必求出特征根的具体数值，只需了解特征根位置稳定性判定262026/6/1思想：直接根据闭环特征方程的系数，判定根是否位于z平面的单位圆内，从而判定系统稳定性朱利判据不必求出特征根的具体数值-)272026/6/1稳定性判定朱利表构造-)-)…-)282026/6/1稳定性判定朱利表构造方法-)-)-)…-)第1行：特征方程系数从高次幂到低次幂顺序排列第2行：将上行系数倒排第3行：第1行系数-第2行系数*上2行末列系数之商，每经一次运算，表中系数少一列第4行：第3行系数倒排第5行：计算方法同第3行如此继续，直到最末行系数只有一个元素292026/6/1稳定性判定-)-)-)…-)朱利判据：计算机控制系统稳定的充要条件为，朱利表中所有奇数行第一列元素大于零如果奇数行第一列有小于零的元素，小于零元素的个数等于特征根在z平面单位圆外的个数例系统特征方程为，判断其稳定性。302026/6/1稳定性判定-)-)系统不稳定，且有2个根位于单位圆外

朱利判据：计算机控制系统稳定的必要条件为系统稳定性判定步骤：判断必要条件是否成立？若不成立，系统不稳定若必要条件成立，构造朱利表若必要条件成立，且前面奇数行所有首元素大于0，那么，最后一行一定大于0，构造朱利表时可不考虑312026/6/1稳定性判定系统特征方程为，判断其稳定性系统稳定例子322026/6/1满足系统稳定必要条件-)-)二阶系统稳定性条件必要条件：朱利表：二阶计算机控制系统稳定的充要条件：332026/6/1二阶系统稳定性条件稳定充要条件：342026/6/1参数稳定区域T=1，求系统稳定的k值352026/6/1二阶系统稳定性判定例T=1，求系统稳定的k值362026/6/1二阶系统稳定性判定例回忆：稳定性判定系统稳定例

计算机控制系统结构如下，采样周期T=1s，数字控制器D(z)=K，分析K=1,3时系统的稳定性372026/6/1系统不稳定382026/6/1朱利判据与劳斯判据连续系统离散系统劳斯判据朱利判据特征根在s左半平面特征根在z单位圆内系统类型判定定理特征根位置采样周期与系统稳定性稳定性是系统的固有特性，取决于系统的结构与参数连续系统：开环增益、闭环极点、传输延迟离散系统：开环增益、闭环极点、传输延迟、采样周期392026/6/1采样周期与系统稳定性例

已知单位反馈采样系统的开环传递函数为讨论采样周期对系统稳定性的影响402026/6/1采样周期与系统稳定性例

已知单位反馈采样系统的开环传递函数为讨论采样周期对系统稳定性的影响412026/6/1采样周期减小，系统稳定的k值增大随着采样周期增加，系统稳定性下降当k一定时，过大的采样周期将使系统不稳定当k=2时，采样周期小于0.10986，系统才稳定采样周期与系统稳定性422026/6/1k=2当k一定时，过大的采样周期将使系统不稳定当k=2时，采样周期小于0.10986，系统才稳定采样周期与系统稳定性432026/6/1k=2采样周期超过一定值时，稳定的计算机控制系统将变为不稳定采样周期是影响计算机控制系统稳定性的重要参数离散系统的稳定性比连续系统差体现在使系统稳定的k值：连续系统的k值范围大于离散系统采样周期是影响稳定性的重要参数一般来说，T减小，系统稳定性增强采样周期与系统稳定性442026/6/14.1s平面与z平面的映射分析4.2计算机控制系统稳定性分析4.3计算机控制系统稳态误差分析4.4计算机控制系统时域特性分析4.5计算机控制系统频域特性分析附：

应用实例452026/6/1第4章计算机控制系统分析稳态误差单位反馈系统连续系统：离散系统：稳态误差：系统到达稳态后，参考输入与输出的偏差

是衡量系统准确性的重要指标，稳态误差越小，稳态精度越高462026/6/1不稳定系统不存在稳态误差稳态误差计算由z变换终值定理直接求稳态误差两种稳态误差计算方法：由z变换终值定理直接求稳态误差由静态误差系数求稳态误差472026/6/1稳态误差计算由z变换终值定理直接求稳态误差482026/6/1如果闭环系统稳定稳态误差与系统的结构、参数、输入信号形式有关稳态误差计算例

计算机控制系统结构如下，采样周期T=1s，数字控制器D(z)=2，求系统在单位阶跃和单位速度输入下的稳态误差492026/6/1稳态误差计算502026/6/1闭环系统稳定稳态误差存在稳态误差计算512026/6/1稳态误差计算由静态误差系数求稳态误差：稳态误差与输入信号形式有关，针对三种不同的典型输入信号，引入静态误差系数，计算稳态误差前提：系统稳定522026/6/1如果输入为单位加速度信号有单位圆上的极点不能通过终值定理求系统分型连续系统——按开环传函所含积分环节的个数划分0型I型II型离散系统——按开环脉冲传函所含(z-1)-1环节的个数划分532026/6/10型I型II型单位阶跃信号作用下稳态误差542026/6/1单位阶跃信号作用下稳态误差552026/6/1静态位置误差系数0型系统：D(z)G(z)在z=1处无极点，Kp为有限值输入为单位阶跃信号，单位反馈系统无稳态误差的条件是：前向通道至少含有1个积分环节I型系统：D(z)G(z)在z=1处有一个极点，Kp=∞，ess*=0

单位斜坡信号作用下稳态误差562026/6/1单位斜坡信号作用下稳态误差572026/6/1静态速度误差系数0型系统：D(z)G(z)在z=1处无极点，Kv=0，ess*=∞

输入为单位斜坡信号，单位反馈系统无稳态误差的条件是：前向通道至少含有2个积分环节I型系统：D(z)G(z)在z=1处有一个极点，Kv=常值，ess*=1/Kv

II型系统：D(z)G(z)在z=1处有两个极点，Kv=∞，ess*=0单位加速度信号作用下稳态误差582026/6/1单位加速度信号作用下稳态误差592026/6/1静态加速度误差系数0型系统：D(z)G(z)在z=1处无极点，Ka=0，ess*=∞

I型系统：D(z)G(z)在z=1处有一个极点，Ka=0，ess*=∞II型系统：D(z)G(z)在z=1处有两个极点，Ka=常值，ess*=1/ka误差系数连续系统离散系统0型系统I型系统0II型系统00离散系统稳态误差连续/离散系统静态误差系数602026/6/1稳态误差一览关于稳态误差的说明稳态误差是系统稳态时采样时刻的误差计算稳态误差的前提是系统稳定稳态误差为无限大并不等于系统不稳定，只表明系统不能跟踪输入信号稳态误差是系统的原理性误差，只与系统结构、参数和外部输入有关，与元器件精度无关元器件精度也产生稳态误差，量化还带来附加稳态误差稳态误差针对单位反馈，对于非单位反馈，定义与计算方法与单位反馈类似612026/6/1干扰作用下离散系统稳态误差令给定输入信号为零，系统此时的输出由扰动产生，误差为622026/6/1必要性：计算机控制系统可能存在一定形式的干扰信号，会对系统稳态误差产生影响，需要计算干扰信号作用下稳态误差给定输入和干扰并存时离散系统稳态误差并存作用下系统稳态误差632026/6/1系统在给定输入作用下的稳态误差系统在干扰作用下的稳态误差采样周期对稳态误差的影响系统类型=积分环节数目v采样周期对稳定性和动态特性有影响，对稳态误差呢？分母无积分环节的各因式642026/6/1分母无（z-1）因子项与T无关652026/6/1采样周期对稳态误差的影响分母无积分环节项ν=0分母无（z-1）因子项与T无关662026/6/1采样周期对稳态误差的影响分母无积分环节项ν=1与T无关672026/6/1采样周期对稳态误差的影响ν=2只对具有零阶保持器的采样系统成立仅考虑被控对象，没有提及控制器、反馈环节及多速率，相当于D(z)=1若D(z)分母含(1-z-1)，结论不成立计算机控制系统稳态误差系数计算公式中包含采样周期公式的T正好与开环传递函数的T对消4.1s平面与z平面的映射分析4.2计算机控制系统稳定性分析4.3计算机控制系统稳态误差分析4.4计算机控制系统时域特性分析4.5计算机控制系统频域特性分析附：

应用实例682026/6/1第4章计算机控制系统分析连续控制系统动态特性指标描述方式：单位阶跃输入下系统的响应特性692026/6/1超调量上升时间调节时间峰值时间计算机控制系统动态特性指标描述方式：单位阶跃输入下系统的响应特性

超调量、上升时间、峰值时间、调节时间702026/6/1利用采样信号描述不精确采样周期较小时，离散系统的动态特性指标值才与连续系统接近闭环极点位置与时间响应关系极点位于实轴712026/6/1闭环极点位置与时间响应关系极点位于实轴722026/6/1pi>1，脉冲响应单调发散闭环极点位置与时间响应关系极点位于实轴732026/6/1pi=1，脉冲响应常值闭环极点位置与时间响应关系极点位于实轴742026/6/10<pi<1，脉冲响应单调衰减闭环极点位置与时间响应关系极点位于实轴752026/6/1-1<pi<0，脉冲响应振荡收敛，周期2T闭环极点位置与时间响应关系极点位于实轴762026/6/1pi=-1，脉冲响应正负交替等幅脉冲，周期2T闭环极点位置与时间响应关系极点位于实轴772026/6/1pi<-1，脉冲响应正负交替发散脉冲，周期2T闭环极点位置与时间响应关系极点位于实轴782026/6/1pi=0，脉冲响应单个脉冲例

已知数字滤波器稳态值为A振幅为±B的等幅振荡脉冲单调收敛，很快衰减为0792026/6/1闭环极点位置与时间响应关系例极点为复根802026/6/1闭环极点位置与时间响应关系极点为复根812026/6/1闭环极点位置与时间响应关系脉冲响应以余弦规律振荡振荡频率为θi/T，与共轭极点的幅角有关：幅角越大，振荡频率越高幅值为2|ci||pi|k，与|pi|k成正比极点为复根822026/6/1闭环极点位置与时间响应关系极点为复根832026/6/1闭环极点位置与时间响应关系|pi|>1，脉冲响应振荡发散，|pi|越大，发散越快极点为复根842026/6/1闭环极点位置与时间响应关系|pi|=1，脉冲响应等幅振荡极点为复根852026/6/1闭环极点位置与时间响应关系|pi|<1，脉冲响应振荡收敛，|pi|越小，收敛越快862026/6/1闭环极点位置与时间响应关系闭环脉冲传递函数含有多重极点时，除单位圆上的多重极点导致发散脉冲响应外，其他分布情况的响应特性与上述对应位置的实数或共轭复数极点基本类似设计计算机控制系统时，尽量选择极点位于z平面右半单位圆内，靠近原点，并与正实轴夹角小例

试分析z平面上4对共轭复数极点对应的脉冲响应872026/6/1闭环极点位置与时间响应关系例|p1|>1脉冲响应振荡发散|p2|<1脉冲响应振荡收敛例

试分析z平面上4对共轭复数极点对应的脉冲响应882026/6/1闭环极点位置与时间响应关系例|p3|>1脉冲响应振荡发散|p4|<1脉冲响应振荡收敛4.1s平面与z平面的映射分析4.2计算机控制系统稳定性分析4.3计算机控制系统稳态误差分析4.4计算机控制系统时域特性分析4.5计算机控制系统频域特性分析附：

应用实例892026/6/1第4章计算机控制系统分析回忆：离散系统频率特性定义在离散系统中，一个系统或环节的频率特性是指，在正弦信号作用下，系统或环节稳态输出与输入的复数比随输入正弦信号频率变化的特性902026/6/1离散系统频率特性G(ejωT)，相当于考察G(z)随z沿单位圆变化的特性离散系统频域稳定性分析确定系统开环脉冲传递函数的不稳定极点数p在0≤ωT≤2π范围内，画开环频率特性KD(ejωT)G(ejωT)计算该曲线顺时针方向包围z=-1的数目n和z=p–n912026/6/1乃奎斯特稳定判据：当且仅当z=0时，闭环系统稳定例

某单位反馈离散系统开环传递函数采样周期T=0.1s，绘制幅相特性曲线，分析闭环系统稳定性不稳定极点数p=0922026/6/1离散系统频域稳定性分析例p=0当k=0.198时，频率特性不包围z=-1点，n=0，z=0，闭环系统稳定当k=1时，频率特性包围z=-1点一次，n=1，z=–1，闭环系统不稳定当k=0.7584，频率特性穿越z=-1点，闭环系统临界稳定932026/6/1离散系统频域稳定性分析例离散系统相对稳定性检验检验系统达到不稳定之前，允许提高多少增益和增加多少相位滞后，离散系统引进幅值裕度和相位裕度——两个相对稳定性概念利用相对稳定性指标，可检测闭环系统的动态特性：快速性、振荡性942026/6/1离散系统相对稳定性检验例Matlab命令w=logspace(0,2);zG=[0.1980.198];pG=[1-1.2420.242];dbode(zG,pG,0.1,w)grid截止频率（幅值为0时的频率）：ωc=4.88rad/s；相位裕度（180o+幅值为0时的相位）：ϒm=54o