2026高考数学复习微专题：43.从教材到压轴：n维向量的概念与应用

45.向量的概念推广及其在新概念压轴中的应用

一．基本原理

人教A版选择性必修一教材在23页阅读材料中对向量概念进行了推广，从必修二的二维，

到空间向量（三维），再到一般的n维向量.我们看到，随着新概念压轴的出现，这个阅读材

料被多次引出，并出现了很多考题，基于此，本文对其做一下整理与介绍.

二．典例分析

★应用1.运算规则的一般化

，y

例1．设Ox，Oy是平面内相交成45角的两条数轴，e1e2分别是与x轴、轴正方向同向

(x,y)

的单位向量，若向量OPxe1ye2，则把有序数对叫做向量OP在斜坐标系xoy中的

坐标，记作OP(x,y).同时把有序数对(x,y)叫做点P在斜坐标系xoy中的坐标，记作P(x,y)，

已知在斜坐标系xoy中，ABC的三个顶点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，且A，B，C异于

点O，则下列结论错误的是（）

A．ABx2x1,y2y1

．22

BABx2x1y2y1

C．若OA//OB，则x1y2x2y10

x1x2x3y1y2y3

D．ABC的重心G的坐标为G,

33

2

解析：依题意，ee11cos45.由向量OA(x,y)，OB(x,y)，则

1221122

ABOBOAx2e1y2e2x1e1y1e2x2x1e1y2y1e2(x2x1,y2y1)，故A正

确；

22

ABxxeyye(xx)2(yy)22(xx)(yy)

211212121212122

22，故错误；

(x1x2)(y1y2)2(x1x2)(y1y2)B

x1x2

若OA//OB，则OAOB，即x1e1y1e2x2e1y2e2，即，所以x1y2x2y10，

y1y2

故C正确；

设D为BC的中点，根据三角形重心性质知2GDGA，则GAGBGC0，所以

OAOGOBOGOCOG0，所以

111xxxyyy

123123，

x1e1y1e2x2e1y2e2x3e1y3e2e1e2

33333

x1x2x3y1y2y3

所以G,，故D正确.故选：B.

33

例．定义平面斜坐标系，记，，分别为轴、轴正方向上的单位向量，

2xOyxOye1e2xy

若平面上任意一点P的坐标满足：OPxe1ye2，则记向量OP的坐标为x,y，给出下列

四个命题，正确的选项是（）

A．若OPx1,y1，OQx2,y2，则OPOQx1x2,y1y2

B．若OPx1,y1，OQx2,y2，则OPOQx1x2y1y2

．若，，则22

CPx1,y1Qx2,y2PQx2x1y2y1

D．若60，以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为x2y2xy10

解析：对于A，OPx1,y1，OQx2,y2，则OPOQx1e1y1e2x2e1y2e2，

x1x2e1y1y2e2x1x2,y1y2，A正确；

对于B，OPx1,y1，OQx2,y2，则OPOQx1e1y1e2x2e1y2e2，

x1x2y1y2x1y2x2y1e1e2，显然e1e20，则OPOQx1x2y1y2，B错误；

对于C，OPx1,y1，OQx2,y2，由选项A同理得OQOPx2x1,y2y1，

即PQx2x1,y2y1，PQx2x1e1y2y1e2，

22，错误；

PQx2x1y2y12x2x1y2y1cosC

2

对于，设以为圆心、半径为的圆上任意一点为Px,y，由OP1，得，

DO1xe1ye21

1

于是x2y22xyee10，由60，得ee，即x2y2xy10，D正确.

12122

故选：AD

★应用2.n维向量的概念与应用

例3．类比于二维空间（即平面），向量a可用二元有序数组a1,a2表示，若n维空间向量a

用n元有序数组a1,a2,,an表示，记为aa1,a2,,an，bb1,b2,,bn，且n维空间向

量满足

22222222

aa1a2a3an,bb1b2b3bn,ababcosa,ba1b1a2b2a3b3anbn

（1）当a1,2,3,b3,2,1，求cosa,b.

222222222

（2）证明：a1a2a3anb1b2b3bna1b1a2b2a3b3anbn；

222

111

（3）若a,b,c是正实数，且满足abc3，求证：abc12.

abc

解析：（1）因为a1,2,3,b3,2,1，则ab34310,a14,b14，

ab105

所以cosa,b.

ab14147

（2）因为aa1,a2,,an，bb1,b2,,bn，

22222222

则aa1a2a3an,bb1b2b3bn,aba1b1a2b2a3b3anbn，

222

且ababcosa,bab，可得abab，当且仅当a,b共线时，等号成立，

222222222

所以a1a2a3anb1b2b3bna1b1a2b2a3b3anbn.

111

（3）因为a,b,c是正实数，则a2a2，当且仅当a，即a1时，等号成立，

aaa

22

11

即a4，当且仅当a1时，等号成立，同理可得：b4，当且仅当b1时，

ab

2222

1111

等号成立，c4，当且仅当c1时，等号成立，可得abc12，

cabc

当且仅当abc1时，等号成立，此时abc1满足abc3，即等号成立，

222

111

所以abc12.

abc

例4．n元向量（ntuplevector）也叫n维向量，是平面向量的推广，设n为正整数，数集

P中的n个元素构成的有序组a1,a2,,an称为P上的n元向量，其中aii1,2,,n为该向

量的第i个分量．n元向量通常用希腊字母,,等表示，如a1,a2,,an,P上全体n元

nn*

向量构成的集合记为P．对于,P,nN，记a1,a2,,an,b1,b2,,bn，定

义如下运算：加法法则a1b1,a2b2,,anbn，模公式

nn

2222，内积，设的夹角为，

aia1a2anaibia1b1+a2b2++anbn,

i1i1

则cos．

n*

（1）设,P,n3,nN,1,1,1,1,,1,1,1,1,,1，解决下面问题：

①求；

②设与的夹角为，求cos；

（2）对于一个n元向量a1,a2,,an，若ai1i1,2,,n，称为n维信号向量．规

定0，已知k个两两垂直的120维信号向量1,2,,k满足它们的前m个

分量都相同，证明：km11．

n*

解析：（1）因为,P,n3,nN,1,1,1,1,,1,1,1,1,,1，所以

(0,0,2,2,,2)，

222

①2222n2，

2(n2)n(n2)

②因为()2(n2)，n，所以cos.

n2n2n

120,ij

（2）任取ai,aj，i,j1,2,k，计算内积aiaj，设这些内积之和为S，

0,ij

222

则，设的第个分量之和为，

Sa1a2ak120ka1,a2,akici

222

又因为，故2，所以222

aiaj(ij)(a1a2ak)a1a2akc1c2c120120k

22222222

又Sc1c2c120c1c2cmkm，所以120kkm，即km120121，所以

km11.

例5．我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用

二元有序实数对a1,a2表示．平面向量又称为二维向量．一般地，n元有序实数组

a1,a2,,an称为n维向量，它是二维向量的推广．类似二维向量，对于n维向量，也

可定义两个向量的数量积、向量的长度（模）等：设aa1,a2,,an，bb1,b2,,bn，

222

则aba1,a2,,anb1,b2,,bna1b1a2b2anbn；aa1a2+an．已知

n

向量aa1,a2,,an满足an=n，向量bb1,b2,,bn满足bn=2．

（1）求ab的值；

a

c=lnn+1n

（2）若cc1,c2,,cn，其中n，当n2且nN时，证明：c．

an2n4

23n1n

解析：（1）依题，a1,2,,nab122232n12n2，

2n234nn1

b2,2,,2，则①，2ab122232n12n2②

①－②，得ab222232nn2n1，即

n

212

n1n1n1

abn2n122，所以abn122.

12

n11

（2）因为cc1,c2,,cn，cnlnln1，所以

nn

21212111

cln1ln1ln1，先证：ln1，nN*，设

12nnn1

11x

x

fxlnx1，x0，则fx220，所以fx在0,

x1x1x1x1

1

*11n11

上单调递增，即当nN时，ff00，即ln1ln10，

1

nn1nn1

n

1111

11*

故ln1，nN.因为2，

nn1n1n1n2n1n2

212121111

所以ln1ln1ln1222

12n23n1

11111111nn

，c.综上可得，当

2334n1n22n22n42n4

n

n2且nN*时，c.

2n4

例6．一般地，n个有序实数a1，a2，，an组成的数组，称为n维向量，记为aa1,a2,,an.

类似二维向量，对于n维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积

222

运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如aa1,a2,,an，则aa1a2an；

若存在不全为零的个实数，，，使得，则向量组，，

rk1k2krk1a1k2a2krar0a1a2

，是线性相关的向量组，否则，说向量组，，，是线性无关的

ara1a2ar.

（1）判断向量组a11,3,1，a21,1,3，a35,7,3是否线性相关？

1*

（2）若aa1,a2,,an，akln1，k1,2,3,,n，当n2且nN时，证明：

k

n15

a.

2n43

解析：（1）设存在不全为零的3个实数k1，k2，k3使得k1a1k2a2k3a30

kk5k0①

123

②

则k1(1,3,1)k2(1,1,3)k3(5,7,3)0，即3k1k27k30，由①②消去k2得:k13k3，

③

k13k23k30

由①③消去k1得:k22k3，则该方程有无数组解，所以不妨取k31，则k13，k22，

，即向量组，，是线性相关的

3a12a2a30a1a2a3.

1

（2）证明：aa1,a2,,an，akln1，k1,2,3,,n，

k

21212111

aln1ln1ln1，先证：ln1，nN*，

12nnn1

11