广工大金属塑性成型原理课件06塑性成形问题的滑移线解法

本章重点：滑移线方法的基本原理及其应用于典型塑性成形问题分析；基本概念：最大切应力、滑移线(场)、单位流动应力；基本原理：汉基应力方程、沿线特性、跨线特性、屈服准则、边界条件；基本方法：滑移线场的建立方法、运用滑移线场的相关性质求解塑性变形区的应力分布，以及滑移线方法在典型塑性成形问题中的应用。第六章塑性成形问题的滑移线解法滑移线

—

处于塑性平面应变状态下的变形体内各质点最大切应力的迹线。滑移线场

—遍及整个塑性变形区，由两族互相正交的滑移线组成的网络。滑移线解法的应用—

计算变形力，应力分析，变形分析，确定毛坯的合理外形与尺寸，模具型腔最佳工作轮廓曲线的设计，金属流动规律的预测和塑性加工质量分析等。滑移线解法的应用范围—

理想塑性材料的平面变形，主应力互为异号的平面应力问题，轴对称问题，硬化材料变形等。§6.1滑移线的基本概念一、平面变形应力状态的特点

=±

理想刚塑性材料，K

=C，应力状态的差别只在于

m，应力莫尔圆大小形状相同，只在

轴上的位置不同。

塑性变形区内质点最大切应力K两个相互垂直的方向折线P1P2P3

Pn

，滑移线场—整个变形区域存在的两族互相正交的滑移线组成的网络

线、

线节点—

线与

线的交点二、最大切应力轨迹—

滑移线的形成三、α、β滑移线和

角的规定

α、β滑移线的确定：右手坐标系，α线两侧最大切应力顺时针转，β线两侧最大切应力逆时针转；

角是

滑移线在任意点P的切线正方向与ox轴的夹角，逆时针转为正，顺时针转为负；

滑移线的切线。四、滑移线的微分方程对α线族对β线族应力分量～

m

，K。

m沿滑移线的变化规律～整个变形区的应力分布规律汉基应力方程表达

m～

之间的关系§6.2滑移线场的应力方程

（汉基应力方程）取坐标系与a点的切线重合曲线坐标系，

沿曲线变化汉基应力方程(汉基方程)揭示沿滑移线移动时

m～

的变化规律；同一条滑移线

或

值相同，不同条滑移线

或

才有变化。★若变形区内的滑移线场已完全确定，即节点的

值已知，只要知道任一点的平均应力

m，则其余所有节点的平均应力都可求得，整个变形区内的应力状态也被确定。§6.3滑移线的基本特性一、沿线特性沿

线沿

线沿

线沿

线A、B、C三点，A点已知若滑移线的

变化越大，则

m的变化也越大；如滑移线为直线（

=0），则

m

=0；因此，滑移线为直线时，

m和

将为常数，

x、

y、

xy也不变。均匀应力场—

m和

都为常数的变形场，对应的滑移线场是正交的直线场。二、跨线特性（汉基第一定理）A、B、C、D四点A→D：D→C：A→B：B→C：汉基第一定理：同一族上的两条滑移线与另一族的任一条滑移线相交，在两交点处切线间的夹角

与平均应力的变化

m均为常数。推论：推论1同一族滑移线必需具有相同方向的曲率；推论2如果一族滑移线（如

族）中有一条线段是直线，则该族其余滑移线中的相应线段也都是直线；而与其正交的另一族滑移线（如

族）或是直线，或是直滑移线包络的渐开线，或是同心圆。简单应力场，对应的滑移线场为直线和渐开线或同心圆组成；沿直线应力状态不变，沿渐开线或同心圆则变化。§6.4应力边界条件应力边界条件：正应力

n和切应力

；

n、

m、

1、自由表面

xy=

；

1=2K，

3

=0；

1=0；

3

=-2K。正应力

n<0时3、摩擦力为K的接触表面2、无摩擦接触表面0＜

xy

＜K、

n≠0

=

xy

5、变形体的对称轴4、摩擦力为一中间值的接触表面1、均匀场（对应于均匀应力场）均匀场—由两族正交直线构成的滑移线场;

m=C1,

=C2。2、简单场（对应于简单应力场）简单场—由直线和与直线正交的曲线组成；

a、有心扇形场(同心圆和半径)，b、无心扇形场§6.5滑移线场的建立方法一、常见滑移线场奇点极限曲线3、均匀场和简单场的组合场与均匀场相邻的必定是简单场。4、正交光滑曲线场由两族相互正交的光滑曲线组成。

a、对数螺线场，b、圆摆线场，c、扩展的有心扇形场二、数值积分法滑移线是塑性平衡微分方程的特征线。复杂问题，滑移线的数学表达式。数值积分法：利用滑移线的差分方程近似地代替微分方程计算出各节点的坐标值，建立滑移线场，然后利用汉基方程计算各接点的平均应力

m和倾角

。数值积分法的三类基本边值问题第一类边值问题，第二类边值问题，第三类边值问题。平衡微分方程特征方程特征线方程1、第一类边值问题(初始特征值问题或黎曼Rieman问题)已知两条滑移线，求滑移线场。

O'A、O'B，

，求

m和

沿

线(1，0)、(2，0)、…、(m，0)；沿

线(0，1)、(0，2)、…、(0，n)；(0，0)、(0，1)、(1，0)(1，1)(m-1,n-1)、(m-1,n)、(m,n-1)

(m,n)

求各节点的坐标以弦代弧，以差分方程代替微分方程，由(1，1)

(m,n)。沿

线沿

线第一类边值问题中退化情况，如一条滑移线收缩为一奇点，形成有心扇形场时，也可根据汉基第一定理求解滑移线场。2、第二类边值问题(初始值问题或柯西Cauchy问题)已知光滑边界曲线上的

m和

，求滑移线场。AB，及

m和

，求所有

m和

。AB上(1,1)、(2,2)、…、(n,n)点(m,m)、(m-1,m-1)

(m,m-1)汉基应力方程沿

线沿

线中间点(m-1,n)、(m,n+1)

(m,n)3、第三类边值问题(混合问题)已知一条滑移线和一条与其相交的光滑边界曲线，求滑移线场。

族滑移线O'A(1，0)、(2，0)、…、(m，0)，光滑曲线O'B。(1,0)P'

P

"…(1,1)(1,1)+(1,0)、(2,0)、…、(m,0)

(2,1)、…、(m,1)(m,m-1)(m,m)(m,m)+(m,m-1)、…、(n,m-1)(m+1,m)、…、(n,m)三、近似图解法近似图解法：根据滑移线特性，用弦线代替平滑的曲线，从已知边界开始绘制出近似滑移线场的方法。§6.6用滑移线法求解塑性成形问题一、冲头压入半无限体1、平冲头压入半无限体冲头压入变形体，变形区长度远大于宽度，类似于平面应变问题。建立滑移线场对称、简单场和均匀场的组合场。

OBA、

ACD为均匀场，ABC为有心扇形场，OBCD为

线，AB、AC为

线，A点为应力奇点。希尔(Hill)首先提出。

S

m

m

线

线求平均单位压力取

线EFF点：

1=

y=0

，

3=

x=-2k

，

mF=-k

，

F=；E点：

3=

y=-p

，

1=

x=-p+2k

，

mF=-p+k

，

E=。汉基方程希尔解普朗特解总压力建立滑移线场对称、简单场和均匀场的组合场。

ABC、

ADE均匀场，ACD为中心角等于

的有心扇形场，BCDE为

线，AB、AE为

线，A点为应力奇点。

ABC中

=p，求AB面上的平均单位压力E点：B点：2、楔形冲头压入半无限体汉基方程楔面上B点正应力楔面上摩擦切应力确定

和

值

设AB=l，根据几何关系得体积不变条件(

OAB=

OAE)冲头总压力

=0

，时，；

=K，

=0

时，

ABC将消失，

角增加，；

=K

，时，问题与平冲头压入半无限体的普朗特解一致；但当时，楔形冲头下将存在金属流动的死区。对称、简单场和均匀场的组合场。刚性区FEF‘，AFED为无心扇形场，ADC为有心扇形场，

ABC均匀场，ECDB为

线，AC、AD为

线，A点为应力奇点。AF面上

=p，滑移线与表面交角为

；3、圆弧冲头压入半无限体建立滑移线场E点滑移线与轴线交角为；OF与轴线交角为。求AB面上的平均单位压力沿

滑移线MN，M点中心角为

。汉基方程冲头表面单位流动压力冲头表面正应力冲头总压力二、平砧压缩有限高坯料

塑性变形由冲头四个角向坯料中心发展，1≤h/b≤8.6时，变形区相连，塑性变形至整个高度，两侧金属左右分开，不再向上凸起。对称、均匀场和有心扇形场及其扩展场的组合场。

OAC均匀场，ACD为有心扇形场，CDM为扩展场，AC为

线，DC为

线，A点为应力奇点。

建立滑移线场与数值积分法求解有心扇形场ACD，以

(=

)角等分成小扇形区，扩展场CDM区弦线代弧线构建四边形滑移线网格，四边形的内角分别为、、和。

族滑移线n=0，1，2，…；

族滑移线m=0，1，2，…；节点的编号（m

，n）。（0，0）点屈服准则沿

0线从（0，0）点到（0，n）点，每转一点

增加-

角

；沿

n

线从（0，n

）点到（m，n）点，每转一点

减少

-

；m+n=C，

m不变等压线（红色线）m-n=C，

不变等倾线（蓝色线）任意一点对称轴OM线上点m=n、

=。x方向力的平衡近似函数代替数值计算，参数，中心角∠CAF=

；近似函数法求解滑移线场中，

和

的近似函数关系

A0C为均匀场，C点沿

线至F点沿

线至E点x方向力的平衡变形区中心M点

0＞1时，

x＞0当

0>>1（h>>b）时，类似于冲头压入半无限体问题，p取极大值。

0＞6时，

y＞0当

0=8.6,

0=77°时双向拉应力状态，可能产生裂纹。出现在拔长、锻轴、横轧等工艺中三、粗糙平板间压缩长坯料

平板完全粗糙，

=K。取b/h=3.64时，变形区由均匀应力区、刚性区、塑性变形区组成。对称、均匀场和有心扇形场及其扩展场的组合场。

ABC均匀场，ACE为有心扇形场，CFE为扩展场，AEF为

线，CE为

线，A点为应力奇点。

建立滑移线场与数值积分法求解有心扇形场ACE，以

(=

)角等分成小扇形区，扩展场CEF区弦线代弧线构建四边形滑移线网格，四边形的内角分别为、、和。

族滑移线n=0，1，2，…；

族滑移线m=0，1，2，…；节点的编号（m

，n）。（0，0）点屈服准则沿

0线从（0，0）点到（0，n）点，每转一点

减少

-

角；沿

n

线从（0，n

）点到（m，n）点，每转一点

增加

-

角；任意一点m+n=C，

m不变等压线（红色线）m-n=C，

不变等倾线（蓝色线）总压力F

（坯料长度L），沿AEF计算。总压力F

，沿BF计算。近似函数法求解近似函数代替数值计算，参数，中心角∠CAE=

；类似平砧压缩有限高坯料取

总压力F

，沿BF计算平均压力四、平面变形挤压挤压—

正挤压、反挤压和复合挤压。平面挤压的变形程度挤压比截面缩减率1、平底模无摩擦正挤压a、挤压比为2时对称、有心扇形场。

ABC、

A'B'C'为刚性区；OAB、OA'B'为塑性区，是有心扇形场，OAA'外为已变形区，OBB'外为未变形区

；OB为

线，AB为

线，A点为应力奇点。

O点B点挤压力单位流动压力b、挤压比不等于2时对称、由有心扇形场和其扩展场组成，其它与挤压比等于2时类似。不同挤压比，滑移线场不同。挤压比为1.45时。O点B点E点单位流动压力E点的水平应力挤压比小，单位流动压力减小，有比例关系。2、锥形凹模正挤压光滑无摩擦锥形凹模正挤压，不同锥角滑移线场不同。对于图b所示情况下，，截面缩减率R与锥角

的关系为R=1/2时，=/6