2020-2021学年上海市长宁区高考一模数学试卷

2020-2021学年上海市长宁区高考一模数学试卷一、填空题不等式x−2x+1<0的解集为函数y=sin2x−π计算：limn→∞2n+1数组2.7，3.1，2.5，4.8，2.9，3.6的中位数为在x+1x6的二项展开式中，x若函数y=fx的反函数f−1x=logax（a>0，a≠1若直线x−1y+21k=0的法向量与直线x+y−1=0的方向向量垂直，则实数设集合M=xx2≤1，N=b，若M∪N=M设F为双曲线Γ：x2−y2b2=1b>0的右焦点，O为坐标原点，P，Q是以OF为直径的圆与双曲线在△ABC中，AB=3，AC=2，点D在边BC上，若AB⋅AD=1，AD⋅AC设O为坐标原点，从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的元素x，y，组成A，B两点的坐标x,y，y,x，则∠AOB=2arctan13设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若数列an满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a二、选择题设复数z=a+bi（a,b∈R，i为虚数单位），则“a=0”是“z为纯虚数”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是   A．a+ B．a+ C．∣a D．∣a设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列命题中假命题是   A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β． B．若m∥n，m⊥α，n∥ C．若m⊥n，m∥α，n∥ D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则设fx=x−b1+kx−b2−2x− A．3,−1,1 B．1,−2,−1 C．−1,2,2 D．1,−3,1三、解答题如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为23，底面半径为2(1)求该圆锥的侧面积；(2)设OA，OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB=90∘，M为线段AB的中点，求直线PM与直线设抛物线Γ:y2=4x的焦点为F，直线l:x−my−n=0经过F且与Γ交于A(1)若∣AB∣=8，求m的值．(2)设O为坐标原点，直线AO与Γ的准线交于点C，求证：直线BC平行于x轴．某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD沿边界围成一个封闭的留观区，经测量，边界AB与AD的长度都是20米，∠BAD=60∘，(1)若∠ADC=105∘，求(2)求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）．设fx=x(1)判断函数y=fx(2)若不等式fx>32x(3)已知：若对函数y=hx定义域内的任意x，都有hx+h2m−x=2n，则函数y=hx的图象有对称中心m,n．利用以上结论探究：对于任意的实数若对于数列an中的任意两项ai，aji>j，在an中都存在一项am，使得am=ai2aj，则称数列an为“X数列”；若对于数列an(1)若数列an为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列an是否为“(2)若数列an的前n项和Sn=2n(3)若数列an为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：a1，a2，a

答案一、填空题1.【答案】−1,2【解析】x−2x+1<0⇒x−22.【答案】π【解析】T=23.【答案】0【解析】limn→∞4.【答案】3.0【解析】从小到大排列为2.5，2.7，2.9，3.1，3.6，4.8，中间两数为2.9，3.1，平均值为3.0．5.【答案】15【解析】T2+1=C626.【答案】12【解析】由题意logalog4所以f−17.【答案】−1【解析】x−1y+21k=0⇒kx−y−k−2=0，与8.【答案】−1,1【解析】M=−1,1，M∪N=M⇒N⊆M⇒b∈M所以b∈−1,19.【答案】1【解析】因为∣PQ∣=∣OF∣，所以PQ为直径，所以AP=AO，且P，Q关于x轴对称，所以AP⊥AO，所以渐近线斜率为1，所以b=a=1．10.【答案】−3【解析】如图建系，设C2因为AB=3,0，所以设D13,y，1因为kCB所以2sinθ2因为13所以cosθ=−所以AB⋅11.【答案】19【解析】如图所示，∠AOB=2arctantan∠DOB=所以1,2，2,4，3,6，4,8符合，4C12.【答案】45【解析】由题意ar观察易知an=n明显符合题意，不妨令所以Sn=1+n由耐克函数性质，990n此时n=655∈44,45，当n=44故最小值为45．二、选择题13.【答案】B【解析】“z为纯虚数”⇔“a=0且b≠0”⇒“a=0”．14.【答案】D【解析】如图，若向量a，b不共线，由两边之差小于第三边可知，∣∣a15.【答案】C【解析】反例如图所示．16.【答案】A【解析】当x→+∞，fx所以k=1，b1三、解答题17.【答案】(1)OP⊥底面OAB，由题意得：高h=23所以母线l=4，圆锥的侧面积S=1(2)取OA的中点为N，因为M为AB的中点，所以MN∥OB，∠PMN就是直线PM与直线因为OB⊥OA，OB⊥OP，所以OB⊥平面POA，MN⊥平面在Rt△PNM中，PN=h2所以∠PMN的正切值为13，即直线PM与直线OB所成的角正切值为13．18.【答案】(1)设Ax1,F1,0，得：n=1直线l的方程x=my+1代入y2=4x得：所以y1+y∣AB∣=x所以m=±1．(2)抛物线y2=4x的准线方程为设C−1,y3，由OA的方程为y=由（1）知：y1y2所以y3=y2，19.【答案】(1)连接BD，由题意△ABD是等边三角形，∴BD=20，又∵∠ADC=105∴∠DBC=45在△BCD中，BCsin得：BC=20(2)设∠ADC=θ，则∠BDC=θ−π3，在△BCD中，CDsin∴BC=4033所需板材的长度=40+40答：当∠ADC=π2时，所需板材最长为20.【答案】(1)当a=0时，fx=x所以fx=−f−x当a≠0时，f1=a−1，因为f−1所以，fx(2)原问题可化为a>12x+函数y=12x+所以ymin所以a的取值范围是52(3)假设存在对称中心m,n，则x3得6m+2ax所以6m+2a=0,12得m=−a3，所以函数y=fx有对称中心−21.【答案】(1)数列an的通项为an=n，a因为a32a所以数列an不是“X(2)数列an的前n项和Sn=当n≥3时，取k=m−1，l=m−2，则ak所以数列an是“Y(3)记q=a因为数列an是各项均为正数的递增数列，所以q>1，且当k>l时，a若k>l，an=a因为数列an是“3>i>j≥1X数列”，所以存在i>j