2020年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷

2020年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷（2020·上海闵行区·自主招生）若集合A=1,3，B=1,2,a，若A⊆B，则a=（2020·上海闵行区·自主招生）不等式1x>3的解集是（2020·上海闵行区·自主招生）函数y=tan2x的最小正周期为（2020·上海闵行区·自主招生）已知复数z+2z=6+i，则z（2020·上海闵行区·自主招生）已知3sin2x=sinx，x∈0,（2020·上海闵行区·自主招生）函数y=a⋅3x+13（2020·上海闵行区·自主招生）两条直线l1:x+ay=1，l2:ax+y=1，若l1∥l（2020·上海闵行区·自主招生）二项式2x+x5，则x3（2020·上海闵行区·自主招生）在△ABC中，D是BC的中点，AB=2，BC=3，AC=4，则AD⋅AB=（2020·上海闵行区·自主招生）已知A=−3,−2,−1,0,1,2,3，a,b∈A，则满足∣a∣<∣b∣的情况有（2020·上海闵行区·自主招生）已知A1，A2，A3，A4，A5五个点，满足AnAn+1⋅（2020·上海闵行区·自主招生）已知函数fx=x−1，记fx的反函数为f−1x，若方程（2020·上海闵行区·自主招生）limn→∞3n A．3 B．53 C．35 D．（2020·上海闵行区·自主招生）“α=β”是sin2α+cos A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件（2020·上海闵行区·自主招生）已知椭圆x22+y2=1，垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，垂直于y轴的直线交椭圆于C，D两点，且 A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线（2020·上海闵行区·自主招生）对于数列an有an+3=an A．a1=1，c=1 B．a1 C．a1=−1，c=4 D．a1（2020·上海闵行区·自主招生）已知底面ABCD为正方形的四棱锥P−ABCD，底面边长为3，PD⊥面ABCD，若AD与BP夹角为(1)求PD的长度；(2)求四棱锥P−ABCD的体积．（2020·上海闵行区·自主招生）已知数列an的前n项和为Sn，首项(1)若已知S10=70，an(2)若a4=18，an（2020·上海闵行区·自主招生）有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点ω1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设点Bx,0，现要建设另一座垃圾投放点ω2t,0，函数(1)若t=60，求f6010，f6080，(2)定义：将ftx与坐标轴围成的面积估计为扔垃圾的便利程度，问：垃圾投放点（2020·上海闵行区·自主招生）已知抛物线y2=x上动点Mx0,y0过M分别作两条直线交抛物线于P，Q(1)若点M纵坐标为2，求点M到抛物线焦点的距离；(2)若t=−1，P1,1，Q1,−1，求证：(3)是否存在t，使得yA⋅yB=1（2020·上海闵行区·自主招生）已知A⊆R，对于定义域为D的函数，任意t∈A，x∈D，恒有fx+t≥fx，则称函数(1)若A=−1，判断fx=−x，g(2)已知A=0,1，fx=x+1x，x∈a,+∞，若(3)A=−2,m，m为整数，fx是定义在整数集上的函数，若仅当fx为常值函数时，fx具有性质

答案1.【答案】3【知识点】包含关系、子集与真子集2.【答案】x【知识点】分式不等式的解法3.【答案】π2【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4.【答案】2【知识点】复数的加减运算、共轭复数5.【答案】arccos1【知识点】反三角函数、二倍角公式6.【答案】1【知识点】函数的奇偶性7.【答案】2【知识点】直线与直线的位置关系8.【答案】10【知识点】二项式定理的通项9.【答案】194【解析】法一：因为AB=2，BC=3，AC=4，所以cosA=在△ABC中，D是BC的中点，所以AD=因此，AD⋅法二：因为AB=2，BC=3，AC=4，所以cosB=在△ABC中，D是BC的中点，所以AD=因此，AD⋅法三：在△ABC中，D是BC的中点，所以AD=平方后，AD2在△ABD中，AB=2，BD=32，所以cos∠BAD=因此，AD⋅【知识点】平面向量的数量积与垂直10.【答案】18【解析】枚举法：a【知识点】元素和集合的关系11.【答案】63【解析】设∣A因为A1A2所以∣A2A同理，∣A3A4∣=3a2要使得∣A1A此时，A5a−3a因此∣A1A【知识点】均值不等式的应用12.【答案】[3【解析】因为y=f−1x所以“方程f−1x−a=fx+a有实数根”意味着“函数互为反函数的图象关于直线y=x对称，问题转化为：函数y=fx+a的图象与直线y=x有公共点，求a即方程fx+a也就是x+a−1=x等价于方程a=x2当a>12时，1−a<12，当a≤12时，a≥1−a综上，a≥3【知识点】反函数13.【答案】D【知识点】数列极限（沪教版）14.【答案】A【知识点】充分条件与必要条件15.【答案】B【解析】方法一：依据图形对称性，选项D不选．设As,t，Cm,n，则因为∣AB∣=∣CD∣，所以∣t∣=∣m∣，又s2将①−②×2得2n因此动点P的轨迹方程为2y方法二：设A2cosα,sinα因为∣AB∣=∣CD∣，所以∣sinα∣=∣2即1−cos设Px,y，则x=所以x2因此动点P的轨迹方程为2y【知识点】直线与椭圆的位置关系、轨迹与轨迹方程16.【答案】B【解析】因为an所以an又an+3所以an同理an+12−②−①，an+1因此，an+1−a当an+1−a当an+an+1+于是an+1，an+2是方程由Δ≥0，得3a【知识点】数列创新题17.【答案】(1)因为AD∥所以∠PBC为异面直线AD与BP所成角（或其补角）．由AD与BP夹角为60∘，所以∠PBC=PD⊥面在直角△PDC中，∠PBC=60∘，BC=3，所以在直角△PDB中，BP=6，BD=32，所以PD=3(2)四棱锥P−ABCD的体积为VP−ABCD【知识点】空间线段的长度18.【答案】(1)已知an所以S10因为a1所以a10=13，公差因此，an的通项公式为a(2)若an成等比数列，首项a1=1所以公比q=1因此，an=1代入Sn>100a因此26=64，所以满足Sn>100an时【知识点】等比数列的前n项和、等差数列的前n项和19.【答案】(1)f60f60f60f60f60(2)由（1）可知，f60S0而ftx的函数解析式为ftS=据题意，当S<S0时，垃圾投放点34解得20<t<60．因此，垃圾投放点ω2要建立在20,0和60,0【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用20.【答案】(1)若点M纵坐标为2，则点M的横坐标为2，依据抛物线的定义，点M到抛物线焦点的距离等于到准线的距离，因为抛物线y2=x的准线方程为所以点M到抛物线焦点的距离为2+1(2)设Ma直线MP方程为：y−1=1a+1x−1，令x=−1直线MQ方程为：y+1=1a−1x−1，令x=−1因此yA(3)设Ma2,a，A直线MA方程为：y−s=a−s因为y2=x，代入上式整理得所以yP⋅y同理yQ因此yP假设存在t，使得yA⋅yB=1则sa整理得，sk−1a2当且仅当sk−1=0,s因此假设存在t=1，使得yA⋅yB=1【知识点】抛物线中的动态性质证明、抛物线中的动态参数问题、抛物线的简单几何性质21.【答案】(1)当A=−1，即t=−1若fx=−x，则fx−1=−x+1≥−x，恒有f