2020年上海市普陀区高三数学第一学期期末质量抽查试卷

2020年上海市普陀区高三数学第一学期期末质量抽查试卷（2020·上海普陀区·模拟）若抛物线y2=mx的焦点坐标为12,0，则实数（2020·上海普陀区·模拟）limn→∞3n+1（2020·上海普陀区·模拟）不等式1x>1的解集为（2020·上海普陀区·模拟）已知i为虚数单位，若复数z=11+i+mi（2020·上海普陀区·模拟）设函数fx=logax+4（a>0且a≠1），若其反函数的零点为2（2020·上海普陀区·模拟）1+1x31−x6（2020·上海普陀区·模拟）各项都不为零的等差数列ann∈N∗满足a2−2a82（2020·上海普陀区·模拟）设椭圆Γ：x2a2+y2=1a>1，直线l过Γ的左顶点A交y轴于点P，交Γ于点Q，若△AOP是等腰三角形（（2020·上海普陀区·模拟）记a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则a+bc+de+f为偶数的排列的个数共有（2020·上海普陀区·模拟）已知函数fx=x2+8x+15ax2+bx+c（2020·上海普陀区·模拟）设P是边长为22的正六边形A1A2A3A4A（2020·上海普陀区·模拟）若M，N两点分别在函数y=fx与y=gx的图象上，且关于直线x=1对称，则称M，N是y=fx与y=gx的一对“伴点”（M，N与N，M视为相同的一对）．已知fx=−2−x,x<24−（2020·上海普陀区·模拟）“m∈1,2“是“lnm<1”成立的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件（2020·上海普陀区·模拟）设集合A=xx−a=1，B=1,−3,b A．1对 B．2对 C．3对 D．4对（2020·上海普陀区·模拟）已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题中正确的是   A．若a∥α，α∩β=b，则 B．若a，b在平面α内，且c⊥a，c⊥b，则c⊥α C．若a，b，c是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a，b，c都相交 D．若α，β分别经过两异面直线a，b，且α∩β=c，则c必与a或b相交（2020·上海普陀区·模拟）若直线l:2x2b+a+ya+b=1经过第一象限内的点 A．76 B．4−22 C．5−23 （2020·上海普陀区·模拟）如图所示的三棱锥P−ABC的三条棱PA，AB，AC两两互相垂直，AB=AC=2PA=2，点D在棱AC上，且AD=λ(1)当λ=12时，求异面直线PD与(2)当三棱锥D−PBC的体积为29时，求λ（2020·上海普陀区·模拟）设函数fx(1)当a=−4时，解不等式fx(2)若函数fx在区间2,+∞上是增函数，求实数a（2020·上海普陀区·模拟）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，∠AOB=60∘，设(1)求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）．（2020·上海普陀区·模拟）已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦距为4，直线l:x−my−4=0m∈R(1)求双曲线Γ的方程；(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；(3)设A，B分别是Γ的左、右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值．（2020·上海普陀区·模拟）数列an与bn满足a1=a，bn=an+1−(1)设数列bn是首项和公比都为−13的等比数列，且数列a(2)设bn+1−bn=2n−1，若(3)设a=4，bn=2，Cn=Sn+2λ2nn∈N

答案1.【答案】2【知识点】抛物线的基本量与方程2.【答案】3【知识点】数列极限（沪教版）3.【答案】(0,1)【知识点】分式不等式的解法4.【答案】12【知识点】复数的乘除运算5.【答案】2【知识点】反函数6.【答案】9【知识点】二项式定理的通项7.【答案】8【知识点】等比数列的基本概念与性质、等差数列的基本概念与性质8.【答案】25【知识点】椭圆中的弦长与面积9.【答案】432【知识点】条件排列模型10.【答案】[1【知识点】函数的零点分布11.【答案】[6−46【知识点】平面向量的数量积与垂直12.【答案】(3−22【知识点】分段函数、函数的对称性13.【答案】A【知识点】充分条件与必要条件14.【答案】D【知识点】包含关系、子集与真子集15.【答案】D【知识点】空间的垂直关系、空间的平行关系16.【答案】B【知识点】均值不等式的应用17.【答案】(1)当λ=12时，AD=DC，取棱AB的中点E，连接ED，则ED∥BC，即∠PDE是异面直线PD与又PA，AB，AC两两互相垂直，则PD=DE=EP=1，即△PDE是正三角形，则∠PDE=π则异面直线PD与BC所成角的大小为π3(2)因为PA，AB，AC两两互相垂直，所以AB⊥平面VD−PBC即DC=23，又AD=λACλ>0【知识点】异面直线所成的角、棱锥的表面积与体积18.【答案】(1)当a=−4时，由2x2−x令t=2x，则t2即0<x<2，则所求的不等式的解为0,2．(2)任取2≤x因为函数fx=2所以fx1−f则2x即2x1−又x1<x即a>−2x1又2x1+则所求的实数a的取值范围为−16,+∞．【知识点】函数的单调性、二阶行列式19.【答案】(1)由平行四边形OMPN得，在△OPN中，∠ONP=120∘，则ONsin即ONsin即ON=403sin60则停车场面积S=ON⋅PN⋅sin即S=24003sinθ(2)由（1）得S=24003即S=3600sin则S=12003因为0∘所以30∘则2θ+30∘=故当θ=30∘时，停车场最大面积为【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数模型的应用、解三角形的实际应用问题、正弦定理20.【答案】(1)当m=0，直线l:x=4与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，b2又焦距为4，则a2+b2=4则所求双曲线Γ的方程为x2(2)设Dx1,y1，E则y1+y2=又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内，则OD⋅OE<0即my1+4则13m即3m2−5m2即实数m的取值范围−3(3)线段PQ在x轴上的射影长是xp设Dx0,y0又点P是线段BD的中点，则点Px直线BD的斜率为y0x0−3又BD⊥PQ，则直线PQ的方程为y−y即y=3又直线AD的方程为y=y联立方程y=3消去y化简整理，得3−又y0代入消去y02，得即−x+2x0即点Q的横坐标为2x则xp故线段PQ在x轴上的射影长为定值．【知识点】双曲线中的动态性质证明、双曲线中的动态参数问题、双曲线的概念与方程21.【答案】(1)由条件得bn=−13则a2−a1=−13则q=a3−a2当a=14，q=−13时，an+1满足题意，故所求的a的值为14(2)当n≥2时，bn−bn−1=2n−1以上n−1个式子相加得，bn又b1=a即bn=2n−n+又bn=an+1−则只需b3=a4−(3)由条件得数列an是以4为首项，2则an=4+2n−1则CnCn+1当n≥3时，−n即n≥3时，Cn