函数与导数：含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题、能成立求参数问题专项训练（解析版）

由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，得f,=ax=axlnx+lnx-ex的定义域为(0,+∞)，函数y=a,yy=-ex在(0,+∞)上都递减，,,,(1)讨论f(x(的单调性；,(因此f(①(在(0,+∞(上单调递增；,(,(极大值为flnln2ln=-①2+22=-1(舍)，f,(f,(又因为f(1(=1，f(e(=-e2+2e+4，f(2(=4ln2，且f(e(-f(1(=-e2+2e+3=-(e+1((e-3(>0，其中2<e<3，令fa，,(,(f,(,(,( 当a<0时，函数f(x(在(0,-(上单调递增，在(-,+∞(上单调递减.4.(25-26高三上·山东青岛·期末)设函数f(x(=(x-a(3-bx．(1)求f(x(的单调区间；(2)若f(x(存在极值点x0，且存在t∈R(t≠x0(，使得f(t(=f(x0(，证明：t+2x0=3a．3-n3=(m-n((m2+mn+n2(【详解】(1)f,(x(=3(x-a(2-b，,(x(≥0(不恒为零)，故f(x(的增区间为(-∞,+∞(，无减区间；,(x(<0，故f(x(的增区间为减区间为(a(2)因为x0是f(x(的极值点，故f,(x0(=0，故3(x0-a(2-b=0，所以b=3(x0-a(2，而f(t(=f(x0(，故(t-a(3-bt=(x0-a(3-bx0，整理得(t-x0([(t-a(2+(x0-a(2+(t-a((x0-a(-b[=0，t-a(2+(x0-a(2+(t-a((x0-a(-b=0，整理得t2-(3a-x0)t+x-3ax0+3a2-3(x0-a(2=0，故t2-(3a-x0)t-2x+3ax0=0，故(t-x0((t-3a+2x0(=0，(2)讨论f(x)的单调性．(2)答案见解析.求导得f,由f,得0<x<1或x>2；所以函数f(x)的极大值为f，极小值为f(2)=2ln2-5.求导得f,,,,,,0,调递增.时，f,(0,增.0,0,则f(①(min=fln(2a([，由f(①(min≥1得ln(2a([≥1，解得a≥, (1)讨论f(x(的单调性；【详解】(1)因为f(x(=x3-3ax+a2，所以f,(x(=3x2-3a，,(x(≥0，此时f(x(在R上单调递增，令f,(x(<0，x∈(-a,a)，则f(x(在(-∞,-a),(a,+∞)上单调递增，在(-a,a)上单调递减，(2)由题意得f(a(=a3-2a2，则g(a)在(-1,0),,+∞(上单调递增，在(0,(上单调递减，则g的极小值为g而g=-3，可得g(a)>g(-1)=-3，即f(a(>-3得证.8.(25-26高三上·北京朝阳·期中)已知函数f(x(=2lnx-(2a+1(xax2(a∈R(.(2)讨论函数f(x(的单调性.【详解】(1)当a=0时f(x(=2lnx-x，则f(1(=2ln1-1=-1，f,(x(=-1，所以f,(1(=2-1=1，所以曲线y=f(x(在点(1,f(1((处的切线方程为y-(-1(=x-1，即x-y-2=0；(2)函数f(x(=2lnx-(2a+1(xax2(a∈R(的定义域为(0,+∞(，又f,(xa+1(+ax当a≤0时，ax-1<0恒成立，所以当0<x<2时f,(x(>0，当x>2时f,(x(<0，所以f(x(在(0,2(上单调递增，在(2,+∞(上单调递减；所以f(①(在(0,2(和,+∞(上单调递增，在上单调递减； (2)讨论函数f(x(的单调性；(3)若关于x的不等式f(x(≥2在区间[1,+∞(上恒成立，求a的取值范围.(3)[e,+∞((2)由题意得f(x(的定义域为(0,+∞(，f,(x,(x(>0恒成立，f(x(在(0,+∞(上为增函数，f,(x(<0，f(x(在(0,a(上为减函数，若x∈(a,+∞(，f,(x(>0，f(x(在(a,+∞(上为增函数；当a>0时，f(x(在(0,a(上为减函数，在(a,+∞(上为增函数f(x(≥2恒成立，等价于a≥-xlnx+2x恒成立，得到a≥(-xlnx+2x(max，令g(x(=-xlnx+2x，则g,(x(=-lnx+1=0，解得x=e，,(x(>0，g(x(在(0,e(上为增函数，,(x(<0，g(x(在(e,+∞(上为减函数，f(x(≥2恒成立，等价于f(x(min≥2恒成立②当a>1时，f(x(在[1,a(上为减函数，在(a,+∞(上为增函数，得到f(x(min=f(a(=lna+1≥2，解得a∈[e,+∞(.(1)若a<0，求f(x(的单调区间；(2)-2令f,(x(>0，得0<x<-，令f,(x(<0，得x>-，所以g(x(在,1I单调递减，要使得对任意的xf(xb恒成立，所以b≤(a-1(max，即b≤-2，所以b的最大值为-2.11.(2026·广东深圳·模拟预测)已知函数f(x(=lnx-ax+1，g(x(=f(x((ex-bx-1(.(1)若存在x使得f(x(>0成立，求a的取值范围；即存在x使得a<成立设m(xm,(x,(x(>0，m(x(单调递增，当x∈(1,+∞(时，m,(x(<0,m(x(单调递减，∴m(x(max=m(1(=1，f,(xa，,(x(>0，函数f(x(在(0,+∞(上单调递增，因为f(1(=-a+1>0，所以总存在x使得f(x(>0成立②当a>0时，令f,(x(>0解得0<x<；令f,(x(<0解得x>，故此时函数f(x(在(0,(上单调递增，在上单调递减，因为存在x∈(0,+∞(使得f(x(>0成立， 所以函数ex-bx-1≥0在x∈(0,+∞(恒成立，∴p(x(在[0,+∞(单调递增，,(x(>0，q(x(在x∈(0,+∞(单调递增，方法二：设h(x(=ex-bx-1≥0，h,(x(=ex-b，h,(x(≥0在x∈[0,+∞(恒成立，h(x(在x∈[0,+∞(单调递增，∴h(x(min=h(0(=0，即h(x(≥0在x∈(0,+∞(恒成立，由h,(x(>0，解得x>lnb，h(x(在x∈(lnb,+∞(单调递增，由h,(x(<0，解得x<lnb，h(x(在x∈(0,lnb(单调递减，∴h(x(min=h(lnb(<h(0(=0，即h(x(≥0在x∈(0,+∞(不能恒成立，舍去；12.(25-26高三上·山东日照·期中)已知函数f(x(=ax3+bx2+6x+c，当x=-1时，f(x(的极小值为(1)求函数f(x(的解析式及f(x(在点(-2,f(-2((处的切线方程；(2)若存在x0∈[-2,0[，使得f(x0(>t2-2t成立，求实数t的取值范围.(2)(-1,3)所以f,(x(=-3x2+3x+6，f,(-2(=-12-6+6=-12，所以f(x(在点(-2,f(-2((处的切线方程为y-3=-12(x+2(，∈[-2,0[，使得f(x0(>t2-2t，等价于f(x(max>t2-2t，∵f,(x(=-3x2+3x+6=-3(x+1((x-2(，∴f(x)在(-2,-1)上递减，在(-1,0)上递增，又f(-2)=3，f(0(=1，∴f(x)在[-2,0]上的最大值为f(-2)=3，所以t的取值范围是(-1,3)．13.(2025·广东汕尾·一模)已知f(x(=2ax-(2a+1(lnx在x=2处有极小值.(2)设g(x(=f(x(-m，若g(x(≤0在上恒成立，求m的取值范围(e≈2.718，是自然对数的底数).【详解】(1)因为f(x(=2ax-(2a+1(lnx当a时，f(xlnx定义域为(0,+∞(，且f,(x所以当0<x<1或x>2时f,(x(>0，当1<x<2时f,(x(<0，所以f(x(在区间(0,1(,(2,+∞(上单调递增，在区间(1,2(上单调递减，所以f(x(在x=2处有极小值，所以a符合题意.(2)由题意m≥f(x(在上恒成立，所以只需m≥fmax(x由(1)知f(x(在区间上单调递增，在区间(1,2(上单调递减，又ff(e因为f(e2(-f(1(=-->--=(e2-6(>0，所以f(e2(>f(1(，即f(x(max=f(e，所以m14.(25-26高三上·云南昆明·月考)已知函数f(x)=x-1-lnx．(3)若f(x)≥mx-xex(m∈R)恒成立，求实数m的取值范围． (2)证明见解析(3)(-∞,2]．【详解】(1)因为函数f(x)=x-1-lnx(x>0)，所以f,f,≤0⇔0<x≤1,f,≥0⇔x≥1，所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f(x)≥f(1)=0，所以f(x)=x-1-lnx≥0恒成立，所以lnx≤x-1．即lnlnlnln(3)f(x)≥mx-xex(m∈R)恒成立，即x-lnx+xex-1≥mx在x∈(0,+∞)恒成立，令φ(x)=x2ex+lnx(x>0)，所以=(x2+2x(ex在(0,+∞)恒成立x0+lnx0=0,(x)<0所以h(x)在x∈(0,x0(上单调递减，在x∈(x0,+∞(上单调递增，lnx0=0，所以m≤2，所以实数m的取值范围是(-∞,2]．15.(25-26高三上·山东泰安·期末)已知函数f(x(=ex-2x-1，函数g(x(=ax2-sinx，(1)若曲线y=f(x(在(x0,f(x0((处的切线方程为y=p(x(，证明：f(x(≥p(x(恒成立；(2)若对任意的x∈[0,+∞(，f(x(≥g(x(恒成立，求实数a的取值范围.因为f(x(=ex-2x-1，所以f,(x(=ex-2，所以切线方程为p(x(-(ex-2x0-1(=(ex-2((x-x0(，则p(x(=(ex-2((x-x0(+(ex-2x0-1(，令h(x(=f(x(-p(x(=ex-2x-1-[(ex-2((x-x0(+(ex-2x0-1([，化简得h(x(=ex-exx+ex(x0-1(，则h,(x(=ex-ex，令h,(x(<0，x∈(-∞,x0(，可得h(x(在(-∞,x0(上单调递减，在(x0,+∞(上单调递增，所以x0是极小值点也是最小值点，得到h(x0(=ex-exx0+ex(x0-1(=0，即h(x(≥h(x0(=0成立，可得f(x(-p(x(≥0，故f(x(≥p(x(得证.(2)因为f(x(≥g(x(在[0,+∞(上恒成立，所以ex-2x-1≥ax2-sinx在[0,+∞(上恒成立，x-2x-ax2+sinx-1≥0在[0,+∞(上恒成立，令t(x(=ex-2x+sinx-ax2-1，且t(0(=0满足题意，而t,(x(=ex-2+cosx-2ax，令q(x(=t,(x(=ex-2+cosx-2ax，,(x(=ex-sinx-2a，令s(x(=q,(x(，,(x(=ex-cosx≥1-cosx≥0，则s(x(在[0,+∞(上是增函数，即q,(x(在[0,+∞(上单调递增，此时q(x(在[0,+∞(上单调递增，即t,(x(在[0,+∞(上单调递增，则t,(x(≥t,(0(=0，可得t(x(在[0,+∞(上单调递增，得到t(x(≥t(0(=0恒成立，原不等式恒成立，,(ln(2a+2((=2-sin(ln(2a+2((>0，得到q,(ln(2a+2((.q,(0(<0，,(x(<0，此时q(x(在(0,x0(上单调递减，即t,(x(在(0,x0(上单调递减，,(x(>0，此时q(x(在(x0,+∞(上单调递增，即t,(x(在(x0,+∞(上单调递增，而t,(0(=0，,(x(<0，此时t(x(在(0,x0(上单调递减，可得t(x(<t(0(=0，不合题意， 16.(25-26高二上·江苏南京·期末)已知(1)讨论f(x(的单调性；(2)若f(x(有极值，且f(x(的最大值大于a2+a-2，求a的取值(3)若f(x(≤xex-2ax+a-1恒成立，求a的取值范围．(3)(-∞,1[【详解】(1)函数f(x(=lnx+a(1-x(的定义域为(0,+∞)，又f,(x(=-a，,(x(>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.,(x(<0，当0<x<,(x(>0，当a>0时f(x)在(0,(上单调递增，在上单调(2)因为f(x(有极值，由(1)知，a>0，且f(x(在x=处取得极大值，即最大值，故f(x)max=f+a-1>a2+a-2，即为a2+lna-1<0，令H(x(=x2ex，x∈(0,+∞(，则H,(x(=(2x+x2(ex>0，所以H(x(=x2ex在(0,+∞(上单调递增，又y=lnx在(0,+∞(上单调递增，所以函数h(x(=x2ex+lnx在(0,+∞(上单调递增，故Fmin=F(x0(=ex所以a的取值范围是(-∞,1]. 17.(25-26高二上·江苏无锡·期末)已知函数f(x(=(x-2(exx-1(2.(2)讨论函数f(x(的单调性；(3)若存在x∈(0,1(使得f(x(>0成立，求a的取值范围；【答案】(1)f(x(取得极小值为-e，f(x(无极大值.(3)a<-4【详解】(1)当a=0时，f(x(=(x-2(ex，f,(x(=ex+(x-2(ex=(x-1(ex，所以f(x(在(-∞,1(上单调递减，在(1,+∞(上单调递增，所以f(x(的极小值为f(1(=(1-2(e1=-e，f(x(无极大值.(2)因为f(x(=(x-2(exx-1(2，所以f,(x(=ex+(x-2(ex-a(x-1(=(x-1(ex-a(x-1(=(x-1((ex-a(，x-a>0，所以f(x(在(-∞,1(上单调递减，在(1,+∞(上单调递增，,(x(≥0，所以f(x(在R单调递增，f,(x(>0，所以f(x(在(lna,1(上单调递减，在(-∞,lna(,(1,+∞(上单调递增，f,(x(>0，所以f(x(在(-∞,1(,(lna,+∞(上单调递增，在(1,lna(上单调递减.(3)当a=0时，f(x(=(x-2(ex，当a<0时，f(x(在(0,1(单调递减，当a=e时，所以f(x(在(0,1(单调递增，f(x(<f(1(=-e<0，不符合题意；①当0<lna<1时，f(x(在(0,lna(单调递增，在(lna,1(单调递减，f(x(max=f(lna(=(lna-2(a-(lna-1(2由题意得(lnalna-1(2>0⇒ln2a-4lna+5<0，②当lna≤0⇒0<a≤1时，f(x(在(0,1(单调递减，f(x(<f，解得：a<-4，不满足题意；当a>e时，f(x(在(0,1(单调递增，f(x(<f(1(=-e<0，不符合题意；所以a的取值范围是a<-4.18.(25-26高三上·江苏南通·月考)已知函数f(x(=ax2-l(2)若存在x∈(0,+∞(，使f(x(<x，求a的取值范围.(2)a<1所以函数f(x(在(0,1(上单调递减，在(1,+∞(上单调递增.所以f(1(≥1，解得a≥1(成立的必要条件)，下面证明：a≥1时，f(x(≥x在(0,+∞(恒成立.因为f(x(-x=ax2-lnx-x≥x2-lnx-x，令g(x(=x2-lnx-x，则g,(x(=2x所以g(x(在(0,1(递减，在(1,+∞(递增，所以g(x(≥g(1(=0，即证.所以∃x∈(0,+∞(，使得f(x(<x，则a<1.令g(x所以g,(x设φ(x(=1-x-2lnx，,(x,(x(>0；x>1，g,(x(<0，所以g(x(在(0,1(上单调递增，在(1,+∞(上单调递减，所以g(x(在(0,+∞(上的最大值为g(1(=1， 由题意，ax2-x-lnx<0在(0,+∞(有解，令h(x(=ax2-x-lnx，则h,(x(=2ax②当a>0时，因为存在x0>0使得2ax-x0-1=0，所以h(x(在(0,x0(上单调递减，在(x0,+∞(上单调递增，所以h(x(在x0处取得极小值，也是最小值h(x(min=h(x0(=ax-x0-lnx0<0.因为ax所以h(xx0-lnx0.令x-lnx，所以φ,(x所以h(x0(<0的解为x0>1.时，求函数f(x(在[1,4[上的最小值；由f,(x(>0得f,(x(<0得x则f(x(在0,(上单调递增，在上单调递减，令g(x(=-x-2a，则g,(x(=--<0在[1,4[上恒成立，,4(使得g(xa=0，故1≤x<x0时g(x(>0，f,(x(>0；x0<x≤4时g(x(<0，f,(x(<0；故f(x(在[1,x0(上单调递增，在(x0,4[上单调递减，又f则f(1(-f故函数f(x(在[1,4[上的最小值为f即∃x∈[0,+∞(使得4a-1≥2x-4x成立，又y=2x-4x=2(x-1(2-2≥-2，则4a-1≥-2，即a≥-，20.(24-25高二下·甘肃张掖·月考)已知函数f(x(=2sinx-xcosx-x,f,(x(为f(x(的导数.(1)求曲线y=f(x(在点A(0,f(0((处的切线方程；值范围.(2)(-∞,1(【详解】(1)由题意f,(x(=cosx+xsinx-1，所以f,(0(=0，所以曲线y=f(x(在点A(0,f(0((处的切线方程为y=0.(2)由题意知f(x)min>g(x)min，且g(x(=x2-2x+a(a∈R(的对称轴为直线x=1，由(1)，设h(x(=f,(x(，则h(x(=cosx+xsinx-1，所以h,(x(=xcosx，,(x(>0；,(x(<0，所以h(x(在区间上单调递增，在区间上单调递减.又h(0(=0,h0,h(π(=-2，所以f,(x(在区间(0,π(上只有一个零点，f,(x(>0；当xf,(x(<0，所以f(x(在区间(0,x0(上单调递增，在区间(x0,π(上单调递减，又f(0(=0,f(π(=0，f(x)min=0， 【详解】(1)函数f(x(=(x+a-1(ex+1的定义域为R，求导得f,(x(=(x+a(ex+1，由f,(0(=e，得a=1，即f,(x(=(x+1(ex+1，当x<-1时，f,(x(<0，当x>-1时，f,(x(>0，f(x)=xex+1，不等式f(x(≤x2+ex+b⇔b≥f(x(-x2-ex，令g=f(xx2-ex=xexx2-ex，x∈[-1,+∞(，22.(25-26高三上·广西南宁·月考)已知函数f(x(=x2-alnx(a∈R(．(1)若曲线f(x(在(1,f(1((处的切线与直线y=-x+5垂直，求实数a的值．【详解】(1)函数f(x(=x2-alnx的导数为f,(x(=2x即有曲线f(x(在(1,f(1((处的切线斜率为f,(1(=2-a，f(x0(+1+a≤0成立，由lnx0当lnx0=10=e时f(x0(+1+a=e2-alne+1+a=e2+1，此时显然不满足f(x0(+1+a≤0，-axx(>0，所以-a≥2，解得a≤-2，则实数a的取值范围是(-∞,-2[．23.(25-26高三上·山东青岛·月考)已知函数f(x(=ex-a-lnx.x-lnx，f=ex，所以曲线y=f(x(在(1,f(1((处的切线的斜率k=e-1，又f(1)