2027届新高三数学热点突破复习空间几何体的结构特征、表面积与体积

2027届新高三数学热点突破复习空间几何体的结构特征、表面积与体积知识清单知识点1空间几何体的结构特征1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形提醒

(1)要掌握棱柱、棱锥各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进

行.(2)台体可以看成是由锥体截得的,但需确保截面与底面平行.2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形

母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于一点

轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环

提醒

(1)球是旋转体,球面不能展开,球的截面是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=

.3.斜二测画法下几何体的直观图(1)原图与直观图中的“三变”与“三不变”原则:

(2)用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的

.知识点2空间几何体的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π(r1+r2)l2.空间几何体的表面积与体积公式名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=

S底h台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=

(S上+S下+

)h球S=4πR2V=

πR3即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)存在每个面都是直角三角形的四面体.

()(2)有两个面互相平行且相似,其他各个面都是梯形的多面体是棱台.

()(3)一个多面体至少有4个侧面.

()(4)正三角形的直观图是等腰三角形.

()

✕

✕

✕

√

2.已知正四面体的表面积为4

,则它的棱长为

()A.3

B.

C.2

D.1

C

3.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,将三角形绕直角边AB所在直线旋转一周所成的几

何体的体积为_________,表面积为___________.

36π

16π

考点清单考点1空间几何体的结构特征角度1结构特征识辨典例1下列命题为真命题的是

()A.以直角三角形的一边所在直线为轴,旋转一周所得的几何体是圆锥B.用任意一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分为棱台C.有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行

的多面体是棱柱D.正四棱锥的侧面均为等边三角形

C

解析对于A,当以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转时,得到圆锥,当以斜边

所在直线为轴旋转时,得到两个同底的圆锥,A错误;对于B,用平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分为棱台,B错误;对于C,由棱柱的定义知,C正确;对于D,正四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形,D错误.故选C.变式训练1.(关键元素变式)(2024届广东汕头潮阳实验学校三模,1)下列命题为真命题的是

()A.两个四棱锥可以拼成一个四棱柱B.正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形C.经过不共线的三个点的球有且只有一个D.直棱柱的侧面是矩形

D

解析对于A,两个四棱锥不可以拼成一个四棱柱,A错误.对于B,正三棱锥的底面是等边三角形,侧面是等腰三角形,不一定是等边三角形,B错误.对于C,经过不共线的三个点只能确定一个圆,以一个圆为截面的球有无数个,C错误.对于D,直棱柱的侧面是矩形,D正确.故选D.角度2直观图典例2

(2025届安徽六安一中二模,4)如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB用斜二测画法

画出的直观图,则△OAB的周长为

()

A.12

B.6C.5+

D.5+

A

解析作出△OAB,如图所示,

由题意可知OA=4,OB=3,∠AOB=90°,由勾股定理可得AB=

=

=5,故△OAB的周长为OA+OB+AB=4+3+5=12.故选A.解题技巧在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.①平行于x,z轴的线段平行性不变,长度不变;②平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.变式训练2.(多解法)(2025届广东阳江阳西三模,6)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形

的直观图,如图所示,C'B'⊥x'轴,C'D'∥y'轴,C'B'=

,A'B'=5,则△A'B'C'的原图形的面积为

()A.5

B.10

C.10

D.5

B

解析

解法一根据斜二测画法可知,C'D'=

C'B'=2,原图形为△ABC,其中AB=5,CD⊥AB,且CD=4,则△ABC的面积为

·AB·CD=

×5×4=10.

解法二直观图△A'B'C'的面积为

·A'B'·C'B'=

×5×

=

,因为原图形的面积等于直观图面积的2

倍,所以原图形的面积为

×2

=10.故选B.角度3展开图典例3

(2025届江苏泰州姜堰二模,4)在三棱锥S-ABC中,底面△ABC是斜边AC=2

的等腰直角三角形,顶点S在底面ABC上的射影为AC的中点.若SA=2,E为线段AB上的一个

动点,则SE+CE的最小值为

()A.

+

B.2

C.2(

+1)

D.2(

-1)

A

解析如图1,取线段AC的中点O,连接BO,SO.由题意知AO=BO=CO=

AC=

,AB=BC=2,SO⊥平面ABC.

在Rt△ASO中,SO=

=

,故SB=

=2,所以△SAB是边长为2的等边三角形.将△SAB沿AB展开到与△ABC共面,如图2,【为将CE,SE转化到同一直线上作准备】则SE+CE≥SC,当且仅当S,E,C三点共线时等号成立,即SE+CE取得最小值.在△SBC中,SB=BC=2,∠SBC=∠SBA+∠ABC=

,由余弦定理得SC2=SB2+BC2-2SB·BC·cos

=4+4-2×2×2×

=8+4

=(

+

)2,所以SC=

+

,即SE+CE的最小值为

+

.故选A.解题技巧

在解决空间曲线(段)最短问题时一般考虑展开图,采用化曲为直的策略,将

空间问题平面化,根据平面内两点之间线段最短、平面几何知识(如勾股定理、余弦定

理)计算线段长度,即为原空间曲面上最短曲线段的长度.变式训练3.(情境模型变式)(2025届安徽示范高中皖北协作区一模,4)在正四棱柱ABCD-A1B1C1

D1中,AB=4,AA1=5,E,F,G分别为侧棱BB1,CC1,DD1上一点,则AE+EF+FG+GA1的最小值为

()A.

B.

C.

D.14

A

解析将正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图1)的侧面展开,得到展开图(如图2),

当A,E,F,G,A1五点共线时,AE+EF+FG+GA1取得最小值,且最小值为

=

.故选A.考点2空间几何体的表面积与体积角度1空间几何体的表面积典例4如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BB1上一点,AB=BB1,2BD=B1D,平面ACD将

三棱柱截为两部分,则这两部分几何体的表面积之比为

()

A.

B.

C.8

D.9

A

解析正三棱柱被平面ACD截完后,分为两个部分,其中上半部分的表面为一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方

形,下半部分的表面为两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形.设AB=BB1=

6,则BD=2,AD=

=2

,△ACD中,AC边上的高h=

=

,则上半部分几何体的表面积S上=

×62+

×6×

+

×6×(6+4)×2+62=9

+3

+96,下半部分几何体的表面积S下=

×6×2×2+

×6×

+

×62=9

+3

+12,故上、下两部分表面积之比为

=

.故选A.方法总结求空间几何体表面积的方法多面体表面积计算每个面的面积,把各个面的面积相加简单旋转体表面积根据公式直接求解组合体的表面积分别求各个面的面积,然后相加,要注意重合部分,做到不

重不漏变式训练4.(情境模型变式)(2026届安徽宿州宿城一中开学考,3)已知圆锥的体积为12π,其侧

面积与底面积的比为5∶3,则该圆锥的表面积为

()A.9π

B.12π

C.15π

D.24π

D

解析设圆锥的底面圆半径为r,母线长为l,高为h,因为其侧面积与底面积的比为5∶3,所以

=

=

,即l=

r,所以h=

=

=

r,又因为圆锥的体积为12π,所以V圆锥=

·πr2·h=

·πr2·

r=

=12π,所以r=3,l=

r=

×3=5,所以S圆锥表=πr·(r+l)=3π×8=24π.故选D.5.(关键元素变式)如图,某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的,其

容积为

m3,且圆柱的高是圆锥高的2倍.若在粮仓的圆锥表面涂一层防水漆,每平方米需要防水漆1kg,圆柱表面不需要涂防水漆,则给这个粮仓涂防水漆至少需要_______kg.(取

=2.15)

解析设圆锥的母线长为lm,底面圆半径为rm,高为hm.由题意知该粮仓的容积V=πr2·2h+

πr2h=

πr2h=

,则πr2h=4,则该粮仓的圆锥的侧面积为πrl=πr

=πr

=

.设f(r)=π2r4+

,则f

'(r)=4π2r3-

=

.令f

'(r)=0,得r=

,所以f(r)在

上单调递减,在

上单调递增,所以f(r)min=f

=π2×

+16×

=12

=25.8=

,所以给这个粮仓涂防水漆至少需要

=

kg.角度2空间几何体的体积典例5

(2024天津,9,5分)在如图所示的五面体中,棱AD,BE,CF互相平行,且两两之间距

离均为1.若AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为

()

A.

B.

+

C.

D.

-

C

解析

解法一补形法用一个和原五面体完全相同的五面体与该五面体相嵌,使得

D与N,E与M,F与L重合,如图,因为AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则形成的几何体为三棱柱ABC-JIH,侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)是边长为1的等边三角形,【三棱柱的体积即为

直截面面积乘侧棱长】所以该五面体的体积=

VABC-JIH=

×

×1×1×

×4=

.故选C.

解法二分割法由已知可得,三条平行线中的任意一条到另外两条确定的平面的距

离d=

.连接BD,CD,如图,则五面体的体积V=V三棱锥C-ABD+V四棱锥D-BCFE,其中V三棱锥C-ABD=

S△ABD·d=

×

×1×1×

=

,V四棱锥D-BCFE=

S梯形BCFE·d=

×

×(2+3)×1×

=

,所以V=V三棱锥C-ABD+V四棱锥D-BCFE=

.

方法总结求空间几何体体积的常用方法1.规则几何体常采用直接法.2.不规则几何体常采用割补法.3.三棱锥常采用等体积法.变式训练6.(多解法变式)(2025届浙江杭州学军中学最后一卷,4)正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,

AB=2,A1B1=1,AA1与底面ABCD所成的角为60°,则此四棱台的体积为

()A.

B.

C.

D.

B

解析

解法一直接法

∵A1B1=1,AB=2,∴上、下底面的面积分别为S1=12=1,S2=22=4.设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为h,连接AC,A1C1,分别取AC,A1C1的中点O,O1,连接OO1,由正四棱台性质可知OO1⊥平面ABCD,∵AC⊂平面ABCD,∴OO1⊥AC,过A1作A1E∥OO1交AC于E,则A1E⊥AC,A1E⊥平面ABCD,【线面垂直的判定】∴∠A1AE为AA1与底面ABCD所成的角,∠A1AE=60°,∵AE=AO-A1O1=

AC-

A1C1=

×2

-

×

=

,∴由tan∠A1AE=

=

,得A1E=

,即OO1=

,∴V四棱台=

(S1+S2+

)OO1=

×(1+4+

)×

=

.故选B.解法二补形法如图,将正四棱台补形为正四棱锥P-ABCD,

取四棱台上、下底面中心O1,O,连接PO,则P,O1,O三点共线,且PO为正四棱