2026版高考数学复习专题突破：4.4 正余弦定理（精练）（试卷版）解析版

4.4正余弦定理（精练试卷版）

一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。

π

1．（24-25江苏）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若c2(ab)243，且C，

3

则ABC的面积为（）

9333

A．33B．C．3D．

22

【答案】C

π

【解析】由余弦定理可得：c2a2b22abcos(ab)243，所以ab43，

3

13

所以SabsinC233，故选：C

22

2．（24-25江苏常州·期中）在ABC中，已知acosBbcosAc，则ABC的形状是（）.

A．等腰三角形B．直角三角形△

C．等边三角形D．等腰或直角三角形

【答案】B

【解析】在ABC中，因为acosBbcosAc，

由正弦定理，可得sinAcosBsinBcosAsinC

又因为Cπ(AB)，所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，

即sinAcosBsinBcosAsinAcosBcosAsinB，所以sinBcosA0，

因为B(0,π)，可得sinB0，所以cosA0，

π

又因为A(0,π)，所以A，所以ABC为直角三角形.

2

故选：B.

7

3．（2025·甘肃嘉峪关·三模）在锐角△ABC中，设a6,c5，sinB，则下列说法不正确的是（）

4

157

A．b4B．AC边上的高是

8

1575

C．△ABC面积是D．△ABC内切圆的面积是π

42

【答案】D

73

【解析】在锐角ABC中，sinB，所以cosB，

44

由余弦定理可得b2a2c22accosB16，所以b4；

71157

由a6,c5,sinB，可得SacsinB；

424

1157157

设AC边上的高为h，由Sbh可得h；

248

17

设ABC内切圆的半径为r，由S(abc)r，可得r，

22

7

所以ABC内切圆的面积为π，综上可知D错误．

4

故选：D．

1c2

4．（2025·河北·模拟预测）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sinBA，b2a2，

32

则sinC的值为（）

7127

A．B．C．D．

4433

【答案】C

c2c2

【解析】因为b2a2，由余弦定理可得a2c22accosBa2c22accosB，

22

所以c4acosB，由正弦定理可得4sinAcosBsinCsinABsinAcosBcosAsinB，

所以cosAsinB3sinAcosB①，

1

因为sinBAcosAsinBsinAcosB②，

3

112

联立①②可得sinAcosB，故sinC4sinAcosB4.

663

故选：C.

SABD

5．（2025·湖南长沙·二模）已知ABC的面积为63，A60，AB3，B的内角平分线交边AC于点D，则

SCBD

的值为（）

3277

A．B．C．D．

7723

【答案】A

【解析】因为ABC的面积为63，A60，AB3，

11

所以ABACsinA3ACsin6063，解得AC8.

22

在ABC中，由余弦定理得

BC2AB2AC22ABACcosA964238cos6049，

解得BC7.

1

ABBDsinABD

S△ABD2AB3

因为BD平分ABC，所以.

S1BC7

△BCDBCBDsinCBD

2

故选：A.

6．（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，

其中有两解的是（）

A．b＝4,A＝20,C＝40B．a＝4,b＝6,B＝35

C．a＝4,b＝6,A＝35D．a＝4,b＝6,C＝35

【答案】C

【解析】对于A，由A＝20，C＝40，可得B180AC120，所以三角形只有一解；

对于B，由a＝4,b＝6,B＝35，可得ab，所以AB，此时三角形有唯一的解；

abbsinA3

对于C，由正弦定理，可得sinBsin35sin35，可得B有两解，所以三角形有两解；

sinAsinBa2

对于D，由余弦定理得c2a2b22abcosC5248cos350，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．

故选：C．

7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，ADBDCA45，BDC30，BCA15，

AB55，则CD的长为（）

A．53B．55C．103D．105

【答案】C

【解析】因为BDC30，BCD154560，则CBD90，

设BCx，则CD2x，BD3x，

在ACD中，ACD45，ADC304575，故CAD60，

ADCDCDsin4526

由正弦定理可得，则ADx，

sin45sin60sin603

在△ABD中，由余弦定理可得AB2AD2BD22ADBDcos45，

82625

即x23x22x3xx2125，解得x53，故CD2x103.

3323

故选：C.

1

8．（2025·甘肃·模拟预测）在锐角ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sin2Asin2Bsin2C，

3

ABC的周长为12，面积为6，则说法错误的是（）

A．ABC内切圆的半径为1B．ABC外接圆的半径为6

1

C．sinAsinBsinCD．acosAbcosBccosC2

4

【答案】C

【解析】令ABC的内切圆半径为r，面积为S，所以S6,abc12，

11

所以Sabcr12r6，即r1，故A正确；

22

因为ABCπ，所以sinCsinπABsinAB，cosCcosπABcosAB，

所以sin2Asin2BsinABABsinABAB

=2sinABcosAB2sinCcosAB，

又sin2C2sinCcosC2sinCcosAB

所以sin2Asin2Bsin2C2sinCcosAB2sinCcosAB

2sinCcosABcosAB2sinC2sinAsinB4sinAsinBsinC

11

又sin2Asin2Bsin2C，所以sinAsinBsinC

312

令ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可知，a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC,

11

所以SabsinC2RsinA2RsinBsinC6，所以R6，故B正确；

22

因为由选项B知，abc2RsinAsinBsinC12sinAsinBsinC12，

所以sinAsinBsinC1，故C错误；

由正弦定理和正弦倍角公式得：

sin2Asin2Bsin2C2sinAcosA2sinBcosB2sinCcosC

abcacosAbcosBccosC1

2cosA2cosB2cosC,

2R2R2RR3

又由选项B知R6，所以acosAbcosBccosC2，故D正确；

故选：C

二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。

66

9．（2025·江苏苏州·三模）记ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bc,cosB,ab，则

42

（）

6

A．ABB．A2B

2

C．b3cD．b2c

【答案】BD

6

【解析】因为cosB，B是三角形内角，则sinB0.

4

661010

所以sinB1cos2B1()21，

416164

6

已知ab，由正弦定理可得：

2

610

b

asinB6015，

sinA24

bb84

1066015

又因为sin2B2sinBcosB2，所以sinAsin2B.

4484

因为bc，所以BC，且ABCπ，那么A2B或A2Bπ.

若A2Bπ，又ABCπ，则BC，这与BC矛盾，所以A2B，故选项B正确，A错误.

66626226

由余弦定理可得：b2(b)2c22bc，即bbcbc，

22444

13

即b2bcc20，得b23bc2c20，则bc或b2c.

22

因为bc，所以b2c，故选项D正确，C错误.

故选：BD.

2AC

10．（2024·浙江·三模）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且asin2bsinA，下列结论正

32

确的是（）

π

A．B

3

B．若a4，b5，则ABC有两解

3

C．当acb时，ABC为直角三角形

3

3

D．若ABC为锐角三角形，则cosAcosC的取值范围是(,1]

2

【答案】ACD

2AC

【解析】对于A，因为asin2bsinA，

32

22πB

所以由ABCπ及正弦定理得，sinAsinsinBsinA，

32

2B

由诱导公式得，sinAcos2sinBsinA，

32

2BBB

因为A(0,π)，故sinA0，所以cos22sincos，

3222

BBBBBπ

化解得cos(3sincos)0，即cossin()0，

222226

BBππ

所以cos0或sin()0，即Bπ（舍）或B，故A正确；

2263

21

对于B，由余弦定理得b2a2c22accosB，即2516c8c，得c24c90，

2

由(4)24(9)520，所以c213(负值舍)，即ABC有一解，故B错误；

3b2

对于C，因为acb，两边平方得a22acc2，

33

由余弦定理得b2a2c22accosBa2c2ac，

由两式消b2得，2a25ac2c20，解得a2c或c2a，

ππ

由B，a2c，b3c解得A，

32

ππ

由B，c2a，b3a解得C;

32

故ABC为直角三角形，故C正确；

π

对于D，因为ABC为锐角三角形，且B，

3

ππ

0A0A

22ππ

所以A，

π2ππ62

0C0A

232

2π13π

即cosAcosCcosAcos(A)cosAsinAsin(A)，

3226

ππ2ππ3

所以A(,)，所以sin(A)(,1]，故D正确.

63362

故选：ACD.

11．（24-25江苏盐城·期中）在锐角ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且cb2acosB.则下列说

法正确的是（）

A．A2B

π

B．角B的范围是0,

4

3114

C．若BAC的平分线交BC于D，AD2，sinB，则

5bc5

c223

D．的取值范围是,

a23

【答案】ACD

【解析】由正弦边角关系有sinCsinBsin(AB)sinB2sinAcosB，

π

所以sinBsinAcosBcosAsinBsin(AB)，又0ABπ且0A,B，

2

所以BABA2B，A对；

π

0B

2

πππ

由上02B，可得B，B错；

264

π

0π3B

2

对于C，如下图示，设BBADCAD，则ADC2，ACDπ3，

b222sin2

由AD2，则cAB2ADcos4cos，且，则b，

sin2sin(π3)sin3sin3

11sin31sincos2cossin212cos21cos1

所以cos，

bc2sin24cos2sin24cos4cos24cos

3ππ4114

而sin，且，则cos，所以，C对；

5645bc5

csinCsin(π3B)sin3BsinBcos2BcosBsin2B2cos2B11

由cosB2cosB，

asinAsin2Bsin2Bsin2B2cosB2cosB

23123223

而tcosB(,)，且y2t在(,)上单调递增，则值域为,，D对.

222t2223

故选：ACD

三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（2025·宁夏银川·三模）在△ABC中，AB5，AC3，点D，E是BC边上的两点，点D在B，E之间，

ADCE

BADCAE，则的值为.

AEBD

3

【答案】/0.6

5

1

ABADsinBAD

S△BAD2BD5ADBD

【解析】BADCAE，即，

S1CE

△CAEACAEsinCAE3AECE

2

ADCE3

所以，

AEBD5

3

故答案为：.

5

7

13．（2025·湖北孝感·三模）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=．

2

【答案】9

1212122

【解析】由AD(ABAC)，得ADABACABAC2ABAC，

244

2122

所以ADABAC2ABACcosBAC，

4

491

即4272247cosBAC，

44

2

即cosBAC．

7

222222

由余弦定理，得BCABAC2ABACcosBAC4724781，

7

所以BC9．

故答案为：9.

14．（2025·湖北·模拟预测）锐角ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，A2B，ab3，则边c的取值

范围是.

【答案】323,333

【解析】因为A2B，则sinAsin2B2sinBcosBa2bcosB

3

由ab3得，b，

2cosB1

又sinCsin(πAB)sin(π3B)sin3BsinBcos2BcosBsin2B

sinB(12sin2B)2sinB(1sin2B)3sinB4sin3B，

32

bsinC33sinB4sinB34cosB1

所以c，化简得c6cosB3，

sinB(2cosB1)sinB2cosB1

π

0B

2

πππ23

锐角ABC中0A2B，可得B，即cosB，

26422

π

0Cπ3B

2

因此边c的取值范围是323,333.

故答案为：323,333

四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

15．（2025·浙江温州·三模）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosCacosBbcosAc．

2

(1)求角C的大小；

(2)点D在边BC上，且CD2，BDAD1，求ABC的周长．

π

【答案】(1)C

6

(2)323

33

【解析】（1）由cosCacosBbcosAc及正弦定理得cosCsinAcosBsinBcosAsinC，

22

3

所以cosCsinABsinC，

2

3

所以cosCsinCsinC，

2

3π

因为sinC0，所以cosC,C0,π，所以C．

26

3b241

（2）在△ADC中，cosC，解得b3，

22b2

3

在ABC中，a2b292b31293，所以a3，

2

所以周长333323．

16．（2025·河南·二模）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosB3bcosA3acosB2bcos2A.

(1)求A；

(2)若D是边AB上靠近点A的三等分点，ADDC，ABC的面积为33，求ABC的周长.

π

【答案】(1)

6

(2)643

【解析】（1）由正弦定理得:2sinAcosB3sinBcosA3sinAcosB2sinBcos2A，

整理得2cosAsinAcosBsinBcosA3sinAcosBsinBcosA，

即2cosAsinAB3sinAB，

3

因为AB0,π，所以sinAB0，所以cosA，

2

π

因为A0,π，所以A.

6

（2）设ADDCx，则AB3x，

π2π

在ACD中，由ADDC，A，得ADCπ2A，

63

由余弦定理得b2AD2CD22ADCDcosADC，

2π

所以b2x2x22xxcos，解得b3x，

3

在△BCD中，由余弦定理得a2DC2BD22DCBDcosCDB，

π

所以a2x24x22x2xcos，解得a3x，

3

111

因为S△ABCbcsinA3x3x33，所以x2，则abc643，

222

所以ABC的周长为643.

3a2c2b2

17（2025·天津河西·模拟预测）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且tanA．

a2b2c2

(1)求角B的大小；

(2)若ABC的面积为153，b14，ac．

（ⅰ）求a和c的值；

（ⅱ）求sin2A的值．

2π

【答案】(1)B

3

553

(2)（ⅰ）a10，c6；（ⅱ）

98

b2c2a2a2c2b2

【解析】（1）由余弦定理cosA，cosB，

2bc2ac

3(a2c2b2)32accosB

由tanA，得tanA，

a2b2c22bccosA

abc3sinAcosB

由正弦定理，得tanA，

sinAsinBsinCsinBcosA

3tanA

则tanA，又tanA0，所以tanB3，

tanB

2π

又B0,π，所以B．

3

1

（2）（ⅰ）由（1）知，SacsinB153，得ac60①．

ABC2

a2c2b2

由余弦定理cosB，所以a2c2136②．

2ac

(ac)2a22acc2256ac16

由，得，解得，

①②222

(ac)a2acc16ac4

由ac，解得a10，c6．

abcasinB53

（ⅱ）由正弦定理，所以sinA，

sinAsinBsinCb14

211

A为锐角，cosA1sinA，

14

553

sin2A2sinAcosA．

98

18．（2025·江西新余·模拟预测）已知a、b、c分别为斜ABC中角A、B、C的对边，

2asinAsinBcosCasinAbsinBcsinC．

sinB

(1)求；

sinA

4

(2)已知ABC的面积为15b2cosC，求c的最小值．

a

1

【答案】(1)

2

(2)4

【解析】（1）因为2asinAsinBcosCasinAbsinBcsinC，

由正弦定理得，2aabcosCa2b2c2，

a2b2c2

即2aaba2b2c2，

2ab

因为ABC为斜三角形，所以a2b2c20，故a2b，

sinBb1

由正弦定理可得．

sinAa2

122

（2）由（1）知，a2b，所以S△absinCbsinC15bcosC，

ABC2

所以sinC15cosC，

2

即sin2Ccos2C15cosCcos2C16cos2C1，

1

因为0Cπ，则sinC0，故sinC15cosC0，所以cosC，

4

21

所以c2a2b22abcosC2bb222bb4b2，则c2b，

4

4422

所以c2b2b22b4，

a2bbb

24

当且仅当2b，即b1时，c取最小值4．

ba

19．（2025·四川成都·三模）记斜ABC的内角A,B,C的对边分别为