2026版高考数学复习专题突破：4.3 三角函数的性质（精练）（试卷版）（解析版）

4.3三角函数的性质（精练试卷版）

一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。

π

1．（2025·陕西榆林·模拟预测）函数fxtan2x的单调增区间是（）

3

π5π

A．RB．kπ,kπ,kZ

66

πkπ5πkππ5π

C．,,kZD．kπ,kπ,kZ

1221221212

【答案】C

ππππkπ5πkπ

【解析】由kπ2xkπ可得：x,kZ.

232122122

故选：C.

2．（24-25高三下·上海虹口·期中）下列函数中为奇函数的是（）

-

A．yxB．y=x2

π

C．ysinxD．ytanxπ

2

【答案】D

【解析】对于A选项，函数yx的定义域为0,，该函数为非奇非偶函数，A不满足要求；

1

对于B选项，函数y=x-2的定义域为xx0，且y，

x2

11

1-2

设fx，则fx22fx，故函数y=x为偶函数，B不满足要求；

x2xx

π

对于C选项，函数ysinxcosx为偶函数，C不满足要求；

2

对于D选项，函数ytanxπtanx为奇函数，D满足要求.

故选：D.

ππ

3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）将函数fxcosx0的图象向右平移个单位长度后得到函数

63

ππ

gx的图象，若函数gx在区间,上单调递减，则的最大值为（）

32

A．6B．5C．3D．2

【答案】B

ππππ

【解析】由题可知，gxcosxcosx，

3636

πππππππππππ

x,时，x,．因为gx在区间,上单调递减，所以π，所以05，

32366663266

的最大值为5．故选：B

4．（2025·广东·一模）已知函数fx的周期为2，且在0,1上单调递增，则fx可以是（）

π

A．fxsinπxB．fxsinxC．fxcos2πxD．fxtanπx

2

【答案】B

2π1π2551

【解析】对于A，T2，但fsin，fsinπ，

π442662

所以函数fxsinx在0,1上不单调递增，不符合题意；

ππ

对于B，fx2sinxπsinxfx，

22

所以函数fx的周期为2，

ππππ

当0x1时，fxsinxsinx，因为0x，

2222

π

函数ysinx在0,上单调递增，

2

ππ

所以函数fxsinx在0,1上单调递增，同理可得函数fxsinx在1,2上单调递减，

22

π

，所以函数fxsinx的最小正周期为2，B正确；

2

1π1

对于C，因为fcos0，fcos1，

422

所以函数fxcos2x在0,1上不单调递增，不符合题意；

11

对于D，函数fxtanx的定义域为k,k，kZ，

22

所以结论函数fxtanx在0,1单调递增错误，不符合题意；

故选：B.

π

5．（2025·福建南平·三模）已知函数fxsinx0在区间0,π恰有两个极大值点、三个对称中心，

4

则（）

11151115

A．B．

4444

15171517

C．D．

4444

【答案】A

πππ

【解析】0，x0,π时，x,π+，

444

π

因为fxsinx在区间0,π恰有两个极大值点、三个对称中心，

4

π1115

故π+3π,4π，解得,.

444

故选：A

π

6．（2025·四川自贡·三模）已知函数fxAsinxA0,0,的部分图象如图所示，下列说法正

2

确的是（）

π

A．函数yfx的图象关于直线x对称

6

5π

B．函数yfx的图象关于点,0对称

12

2ππ

C．函数yfx在,上单调递减

36

π

D．当x0,时，fx1,2

4

【答案】D

Tπππ

【解析】由图知A2，，

43124

2π

所以Tπ，解得，

2

ππ

f(x)过点,2，所以2sin(2)2，

1212

πππ

即sin()1，又，所以，

623

π

所以f(x)2sin2x，

3

πππ

对于A：f()2sin0，

633

π

所以函数yfx的图象关于点,0对称，故A错误；

6

5π5ππ

对于B：f()2sin2，

1263

5π

所以函数yfx的图象关于直线x对称，故B错误；

12

ππ3π

对于C：2kπ2x2kπ,kZ，

232

π7π

2kπ2x2kπ,kZ，

66

π7π

所以kπxkπ,kZ，

1212

11π5π

取k1，得x，

1212

2π5π

函数yfx在,上单调递减，故C错误；

312

ππππ5π

对于D：x0,，所以2x0,，所以2x,，

42336

π1

所以sin(2x),1，所以f(x)1,2，故D正确.

32

故选：D.

π

7．（2025·甘肃白银·三模）将函数y2sin6x图象上的每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，

10

ππ

得到函数yfx的图象，若函数yfkxk0在,上单调，则k的取值范围是（）

43

9494

A．0,B．0,C．,D．,

105105

【答案】B

【解析】将已知函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，

ππ

则可得fx2sin2x，则fkx2sin2kx,k0.

1010

2πππ

设函数yfkx的最小正周期为T，则T2，

2k34

6ππkπππ2kππ

所以0k，由x,，得2kx，

74321010310

3ππkππππ2kππ4ππ

因为，，

7102101010310710

2kπππkπππ4

所以根据单调性可得且，解得k，

310221025

4

则k的取值范围是0,.

5

故选：B

ππ

8．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数fx2sinx0在区间,π上有且仅有一个零点，当最大时，

33

fx的图象的一条对称轴方程为（）

17172323

A．xπB．xπC．xπD．xπ

12141018

【答案】B

πππππ

【解析】当xπ时，且0，xπ，

33333

ππ

kπk1π

π33

由fx0可得sinx0，所以，kZ，

3π

k1ππk2π

3

3k13k4

解得47，kZ，

kk

33

4742

若无解，则3k4k或k3k1，解得k或k，

3333

1421

471

由于0且存在，故k0或k1，即47或14，则有或1，

333

3333

77xπ

故的最大值为，此时fx2sin，

333

7xππ5π3m

由mπmZ可得xπmZ，

332147

17

当m2时，函数fx的一条对称轴方程为xπ，

14

故选：B.

二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。

π

9．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数f(x)Acos(x)(A0,0,||)的部分图象如图所示，则（）

2

A．函数f(x)的最小值是2

B．π是函数f(x)的一个周期

π3π

C．f(x)在(,)上单调

34

π

D．将函数f(x)的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数

6

【答案】ABD

413ππ2π

【解析】观察f(x)的图象知，A2，最小正周期T()π，解得2，

3123

13π13ππππ

而f()2，则22kπ,kZ，又||，于是，f(x)2cos(2x)，

1212266

对于A，函数f(x)的最小值是2，A正确；

对于B，π是函数f(x)的一个周期，B正确；

π3πππ4π7ππ3π

对于C，当x(,)时，2x(,)，则当x(,)时f(x)取得最小值，

346231234

π3π

因此f(x)在(,)上不单调，C错误；

34

πππ

对于D，将函数f(x)的图象向右平移个单位得到的函数f(x)2cos(2x)2sin2x是奇函数，D正确.

662

故选：ABD

10．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）关于x的函数fxsinxsinx，下列结论正确的有（）

A．函数fx的最小正周期Tπ

B．若0，则fx是奇函数

ππ

C．若，则x是fx图象的一条对称轴

24

1π13

D．若f0，f，则cos

2224

【答案】BCD

【解析】函数fx的定义域为R，

对于选项A：例如0,π，

则fxsinxsinxπsinxsinx0，

此时函数fx无最小正周期，故A错误；

对于选项B：若0，即，

可得fxsinxsinx2cossinx，

可知函数fx为奇函数，故B正确；

ππ

对于选项C：若，即，

22

π

可得fxsinxsinxsinxcosx，

2

πππ

则fxsinxcosxcosxsinxfx，

222

π

所以x是fx图象的一条对称轴，故C正确；

4

1π1

对于选项D：若f0，f，

222

1ππ1

可得sinsin，sinsincoscos，

2222

22

因为sinsincoscos22coscossinsin22cos，

1113

即22cos，整理可得cos，故D正确；

4424

故选：BCD.

11．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数fxsinxsin2x，则下列说法中正确的是（）

π3π

A．fx为周期函数B．fx在,单调递减

34

2

C．fx最大值为2D．x0R，x0f(x0)3x0

【答案】AB

【解析】函数fxsinxsin2x的定义域为R，

由于f(x2π)sinx2πsin2(x2π)sinxsin2xfx，

所以2π为fx的一个周期，故A正确；

因为f(x)cosx2cos2xcosx22cos2x1

2

2133

4cosxcosx24cosx，

816

π3π21

当x(,)时，cosx(,)，

3422

2

133112331

则f(x)4cosx4()0，

81628162

π3π

故f(x)在区间(,)上单调递减，故B正确；

34

sinx1

因为1sinx1,1sin2x1，所以fx2，当且仅当时取等号，

sin2x1

π

但当sinx1，即x2kπ(kZ)时，sin2x01，所以fx2，故C错误；

2

令gxfx3xsinxsin2x3x，xR，

g(x)cosx2cos2x3cosx22cos2x13

2

2181

4cosxcosx54cosx，

816

181

∵1cosx1，∴g(x)4(1)20，故g(x)在R上单调递减，

816

当x0时，g(x)g(0)0，从而xg(x)0，即xfx3x20，即xfx3x2；

当x0时，g(x)g(0)0，从而xg(x)0，即xfx3x20，即xfx3x2；

当x0时，g(x)g(0)0，从而xg(x)0，即xfx3x20，即xfx3x2，

22

综上，xfx3x，故不存在x0R，使x0f(x0)3x0成立，故D错误，

故选：AB．

三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2ππ

12．（2025·宁夏中卫·二模）函数fx23cosxcos2x3在0,上的值域为．

42

【答案】(1,2]

π

【解析】f(x)23cos2(x)cos2x3

4

π

1cos(2x)

232cos2x3

2

3(1sin2x)cos2x3

33sin2xcos2x3

3sin2xcos2x

π

2sin(2x)

6

πππ5π

由x(0,)，得2x(0,π)，则2x(,)，

2666

π1π

所以sin(2x)(,1]，所以2sin(2x)(1,2]，

626

所以f(x)的值域为(1,2].

故答案为：(1,2].

ππππ

13．（2025·山西晋中·三模）已知函数fxsinx0满足ff，且fx在,上有

3333

且仅有一个极值点，则．

3

【答案】

2

Tππ2π

【解析】设fx的最小正周期为T，结合三角函数的图象与性质可知，

2333

42π4π3

所以T，即T，解得．

332

3

故答案为：.

2

ππ

14．（2025·江西·三模）已知函数fxsin2x在t,ttR上的最大值为M，最小值为m，则Mm

63

的取值范围为.

1

【答案】,3

2

πππ2ππ

【解析】因为xt,t，所以2t2x2t.

36636

πππ

由题意可得函数ysinx在2t,2t上的最大值为M，最小值为m.

636

π2π

令2ta，则ysinx在a,a上的最大值为M，最小值为m.

63

ππ2πππ2ππ3

当a,时，a,,Mmsinasina3cosa,3.

26362332

ππ2ππ5π13

当a,时，a,,Mm1sina,.

6632622

ππ2π5π7π2π13

当a,时，a,,Mm1sina,.

62366322

以此类推，

π5π2π7π9π2ππ3

当a,时，a,，Mmsinasina3cosa,3.

26366332

5π7π2π3π11π13

当a,时，a,，Mmsina1,.

6632622

7π3π2π11π13π2π13

当a,时，a,，Mmsina-1,.

62366322

1

综上，Mm的取值范围为,3.

2

1

故答案为：,3.

2

四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（2025·江苏·一模）已知函数f(x)3cos2xsin2x3sin2x.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

8π

(2)若f(x)，x[0,]，求cos2x0的值.

0502

7ππ

【答案】(1)[kπ,kπ](kZ)．

1212

433

(2)

10

π

【解析】（1）f(x)3(cos2xsin2x)sin2x3cos2xsin2x2cos(2x)，

6

π7ππ

令2x[π2kπ,2kπ],kZ，解得x[kπ,kπ],kZ，

61212

7ππ

所以f(x)的单调递增区间为[kπ,kπ](kZ).

1212

πππ7ππ8

（2）由x[0,]，得2x0[,]，f(x0)2cos(2x0)，

0266665

π4ππππ3

即cos(2x)0，则2x[,)，sin(2x)，

0650662065

ππππππ

所以cos2xcos[(2x)]cos(2x)cossin(2x)sin

0066066066

4331433

.

525210

π

16．（2024·四川泸州·一模）已知函数fx2sin2x3xR，

3

(1)求不等式fx0的解集；

(2)将fx图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到gx的图象，求曲线ygx在点

ππ

,g处的切线与坐标轴围成的三角形面积．

33

π

【答案】(1)kπ,k且kZ；

6

π2

(2).

18

ππ3

【解析】（1）由题设2sin2x30，则sin2x，

332

ππ2ππ

所以2kπ<2x2kπ且kZ，可得kπxkπ且kZ，

3336

π

所以解集为kπ,k且kZ.

6

ππ

（2）由题意gx2sin(x)3，则gx2cos(x)，

33

π2ππ2π

所以g2sin30，g2cos1，

3333

πππ

所以曲线ygx在点,g处的切线为xy0，

333

ππ1πππ2

显然切线过(,0),(0,)，故其与坐标轴围成的三角形面积为.

3323318

17．（2025·上海长宁·二模）已知向量m(sinxcosx,2sinx),n(sinxcosx,3cosx),f(x)mn．

(1)求函数yf(x)的单调递减区间；

π

(2)若函数yf(x)a在区间0,上恰有2个零点，求实数a的取值范围．

2

π5π

【答案】(1)kπ,kπ，kZ.

36

(2)1a2

22π

【解析】（1）fxsinxcosx23sinxcosx3sin2xcos2x2sin2x，

6

ππ3ππ5π

令2kπ2x2kπ，则kπxkπ，其中kZ，

26236

π5π

故函数yf(x)的单调递减区间为kπ,kπ，kZ.

36

ππ

（2）由题设有af(x)2sin2x在0,有两个不同的零点，

62

ππ5πaπ5π

而2x,，故sint在,有两个不同的解，

666266

aπ5π

故y与stsint的图象在,上有两个不同的交点，

266

πππ5π

而stsint在,为增函数，在,为减函数，

6226

π1π5π11a

且s,s1,s，故1，

6226222

故1a2.

π2

18．（2025·北京海淀·二模）已知函数fxcos2x2sinx10．

3

1

(1)若，求f0及fx的单调递增区间；

2

π

(2)已知fx在区间0,上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函

3

数fx存在且唯一确定，求fx的最小正周期．

π

条件①：f0f0；

6

π

条件②：x是fx的一个极值点；

3

7π

条件③：x是fx的一个零点．

12

1π2π

【答案】(1)f0，2kπ,2kπ,kZ

233

(2)答案见解析

π2

【解析】（1）因为fxcos2x2sinx1

3

ππ

coscos2xsinsin2xcos2x

33

31π

sin2xcos2xsin2x，

226

1ππ1

当时，fxsinx，则f0sin，

2662

ππππ2π

令2kπx2kπ,kZ，解得2kπx2kπ,kZ，

26233

π2π

所以fx的单调递增区间为2kπ,2kπ,kZ；

33

ππ

（2）因为fxsin2x，fx在区间0,上单调递增，且0，

63

12ππ

3

所以223，解得0；

2

0

ππ

若选①：f0f0，又fx在区间0,上单调递增，

63

ππ

所以曲线fx关于,0对称，且点,0在曲线的递增部分上，

1212

πππππ

则fsin0，所以2kπ,kZ，解得112k,kZ，

126666

3

又0，所以1，

2

π2π

则fxsin2x，所以fx的最小正周期为π；

62

ππ

若选②：x是fx的一个极值点，又fx在区间0,上单调递增，

33

π

所以fx在x处取得最大值，

3

π2ππ2πππ

则fsin1，所以2kπ,kZ，解得13k,kZ，

336362

3

又0，所以1，

2

π2π

则fxsin2x，所以fx的最小正周期为π；

62

7π

若选③：x是fx的一个零点，

12

7π7ππ7ππ16

则fsin0，所以kπ,kZ，解得k,kZ，

12666677

31

又0，所以或1，

27