2026版高考数学复习专题突破：2.2 函数的单调性、奇偶性（精练）（试卷版）（解析版）

2.2函数的单调性、奇偶性（精练试卷版）

一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。

1．（2024·北京）下列函数中，在(0,)为增函数的是（）

1

A．ytanxB．ye|x1|C．ylnD．y(x1)ex2

x

【答案】D

【解析】A不正确，ytanx在每一个单调区间上增，在（0，）不是增函数，x时函数不存在；B是对称轴

2

为x1，在（0，）不是增函数；C在(0,)为减函数，D求导得可f(x)xex20(x(0,))，可知D正确故

选：D．

a2x1

2．（2025·宁夏）“a1”是“函数fxsinx为偶函数”的（）

2xa

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

a2x1

【解析】若函数fxsinx为偶函数，且ysinx为奇函数，

2xa

a2x1

可知gx为奇函数，则gxgx0，

2xa

xx

a21a212x

即0，整理得a1210，

2xa2xa

因为2x10，可得a1，

a2x1

即函数fxsinx为偶函数，等价于a1，

2xa

显然1是1,1的真子集，

a2x1

所以“a1”是“函数fxsinx为偶函数”充分不必要条件.

2xa

故选：A.

2

3（2025江西抚州）已知函数fxlogaxax3在0,1上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A．0,1B．1,4

C．0,11,4D．2,4

【答案】D

2

【解析】函数fxlogaxax3在0,1上是减函数，

aa2a2

当0a1时，x2ax3(x)2330恒成立，

244

而函数ux2ax3在区间0,1上不单调，因此0a1，不符合题意，

2

当a1时，函数ylogau在(0,)上单调递增，于是得函数uxax3在区间0,1上单调递减，

a

因此1，并且12a130，解得2a4，

2

所以实数a的取值范围是2,4.

故选：D

3ax,x2

4．（2024内蒙古赤峰）已知a0，且a1，函数fx在R上单调，则a的取值范围是（）

logax11,x2

1221

A．1,B．,C．,1D．,1

3333

【答案】D

【解析】因为函数fx在R上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，

0a11

故yfx在R上单调递减，所以，解得：a1故选：D.

3a2loga113

110.51

5．（2025·北京）函数fx，记af,bf3,cflog5，则（）

x2122

A．abcB．bac

C．c<a<bD．cba

【答案】B

11

【解析】注意到fx定义域为全体实数，且fx2fx2，

x1x1

111

所以fx是R上的偶函数，从而aff,cflog5flog52，

222

1

因为yx21在0,上单调递增，所以fx关于x在0,上单调递减，

x21

1

21130.5

而log52log553，所以bac.选：B.

233

6.（2025江苏）已知函数fxlgx12x2x，则满足不等式fx1f2x的x的取值范围为（）

1

A．2,1B．1,2C．,1,D．,21,

3

【答案】D

【解析】由x10，得fx的定义域为,11,，

又fxlgx12x2xfx，故fx为偶函数，

而当x1时，易知ylgx1lgx1单调递增，

而对于y2x2x，y2x2x2x2xln20在1,上恒成立，

所以y2x2x在1,上也单调递增，

故fx在1,上单调递增，

x12x

则由fx1f2x，得，解得x1或x<2.

x11

故选：D.

xxf(logx)f(logx)2f(1)

7.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数f(x)eesinx，则使得21成立的x的取值

2

范围是（）

A．(,2]B．(0,1]C．(0,2]D．[2,)

【答案】C

【解析】函数f(x)exexsinx的定义域为R，f(x)exexsinxf(x)，

函数f(x)是奇函数，求导得f(x)exexcosx2exexcosx2cosx0，

f(log2x)f(log1x)2f(1)

函数f(x)在R上单调递增，由，得f(log2x)f(log2x)2f(1)，

2

即2f(log2x)2f(1)，则f(log2x)f(1)，因此log2x1，解得0x2，

所以所求x的取值范围是(0,2].

故选：C

8（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）（）多选下列函数中是偶函数且在0,上单调递减的函数是（）

2

xxycosx

A．ylnxB．y22C．yx3D．

【答案】C

【解析】对于A，当x0,时，函数ylnx可化为ylnx，

函数ylnx在0,上单调递增，不满足条件，排除A，

对于B，设fx2x2x，

xx

函数fx22的定义域为R，定义域关于原点对称，

又fx2x2xfx，所以函数fx2x2x为奇函数，

即函数y2x2x为奇函数，不满足条件，排除B；

对于D，设gxcosx，

则当xπ时，gπ1，当x2π时，g2π1，

因为π2π，gπg2π，

所以函数gxcosx在0,上不单调递减，不满足条件，排除D，

2

对于C，设hxx3，

2

函数hxx3的定义域为,00,，定义域关于原点对称，

22

11

hxx3x3hx

又232，

3xx

2

所以函数hxx3为偶函数，

2

2

因为0，由幂函数性质可得函数hxx3在0,上单调递减，

3

2

故函数yx3为偶函数，且在0,上单调递减，C正确；

故选：C.

二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．（2024安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）

1

1

A．yxB．yxx3

C．y8x8xD．yx|x|

【答案】BD

【解析】对于A，函数yx1的定义域为(,0)(0,)，显然该函数在定义域上不单调，A不是；

11

对于B，函数yxx3的定义域为R，yx,yx3都是奇函数，也都是增函数，

1

因此yxx3在R是奇函数，又是增函数，B是；

对于C，函数y8x8x的定义域为R，8x8(x)8x8x，即函数y8x8x是偶函数，C不是；

对于D，函数f(x)x|x|的定义域为R，f(x)x|x|x|x|f(x)，

即函数yx|x|是奇函数，且当x0时，f(x)x2在[0,)上单调递增，

当x0时，f(x)x2在(,0]上单调递增，因此函数yx|x|在R上单调递增，D是.

故选：BD

10．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）下列函数在区间0,上单调递增且图象关于y轴对称的是（）

A．fxx3B．fxx2C．fxx2D．fxx

【答案】BD

【解析】fxx3的定义域为R，在区间0,上单调递增，但fxx3fx，

即fxx3不是偶函数，其图象不关于y轴对称，A错误；

fxx2的定义域为R，在区间0,上单调递增，

且fx(x)2x2fx，∴fxx2是偶函数，其图象关于y轴对称，即B正确；

fxx2的定义域为,00,，在区间0,上单调递减，C错误；

fxx的定义域为R，在区间0,上单调递增，且fxxxfx，

∴fxx是偶函数，其图象关于y轴对称，即D正确.

故选:BD.

11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数fx的定义域为R，且fxfyfxyxyxy，则

（）

A．f00B．f(1)=-2或f11

fx

C．是xxR且x0上的增函数D．fx是R上的增函数

x

【答案】AC

【解析】在fxfyfxyxyxy中，

令y0，得f0fxf0，即xR,f0fx10．

因为函数fx为非常数函数，所以f00，A正确．

fx

令gx,x0，则gxgygxyxy．

x

令xy1，则[g1]2g12，①

令xy1，则[g1]2g12，②

由①②，解得g12,g10，从而f12，B错误．

令y1，则gxg1gxx1，即gxx1，

因为f00，所以f(x)=x(x+1)，所以C正确，D错误．

故选：AC

三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（2025甘肃）已知函数fxexexx，则不等式f2m2fm10的解集为．

1

【答案】,

3

xx

【解析】fx的定义域为R，fxeexfx，

\f(x)为定义在R上的奇函数；

yex与yx均为R上的增函数，yex为R上的减函数，

\f(x)为定义在R上的增函数；

由f2m2fm10得：f2m2fm1fm1，

11

2m2m1，解得：m，f2m2fm10的解集为,.

33

1

故答案为：,.

3

(x1)(x4)2x2x

13．（2025湖北）已知函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm

x24

【答案】2

(x1)(x4)2x2xx243x2x2x2x2x3x

【解析】f(x)1，

x24x24x24

xx

xx2x2x3x223x

令223x，则，

gxgx22gx

x24x4x4

即gx为奇函数，图象关于原点对称，

gxfx1，

g(x)maxM1，g(x)minm1，且g(x)maxg(x)min0，

M1m10，则Mm2．

故答案为：2．

2

14（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数fxlgx2lgx的单调递增区间是．

【答案】10,(或10,)

【解析】函数fx的定义域为0,，

2

令tlgx在定义域上为增函数，则yt22tt11在1,上单调递增，

由复合函数单调性的同增异减原则可得，当tlgx1，即x10时，函数fx单调递增，

即函数fx单调递增区间为10,．

故答案为：10,(或10,)

四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15（2025高三下·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性：

(1)fx3x2x23；

lg1x2

(2)fx；

x22

x2x,x0

；

(3)fx2

xx,x0

2

(4)fxlog2xx1.

【答案】(1)既是奇函数又是偶函数

(2)奇函数

(3)奇函数

(4)奇函数.

3x20,

【解析】（）由得2，解得，即函数的定义域为，从而

12x3x3fx3,3

x30

fx3x2x230.

因此fxfx且fxfx，函数fx既是奇函数又是偶函数.

1x20,

（2）由得定义域为1,00,1，关于原点对称.

x22

lg1x2

x20，x22x，fx.

x

2

2

lg1xlg1x

又fxfx，

xx

函数fx为奇函数.

（3）显然函数fx的定义域为,00,，关于原点对称.

2

当x0时，x0，则fxxxx2xfx；

2

当x0时，x0，则fxxxx2xfx；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有fxfx，函数fx为奇函数.

（4）显然函数fx的定义域为R，

1

222

fxlogxx1logx1xlogx21xlogx1xfx，故fx为奇

2222

函数.

3x1

16（24-25上海·阶段练习）已知函数f(x)；

3x1

(1)判断函数yf(x)的奇偶性，并按定义证明：

(2)判断函数yf(x)，x(0,)的单调性，并按定义证明；

【答案】(1)函数fx为奇函数，证明见解析

(2)函数fx在0,为减函数，证明见解析

【解析】（1）函数fx为奇函数，

由3x10x0，所以函数fx的定义域为,00,，

3x113x3x1

因为fxfx，

3x113x3x1

所以函数fx为奇函数；

（2）函数fx在0,为减函数，

对任意的x1,x20,，且x1x2，

x2x1

3x113x21233

fx1fx2xx，

3113213x113x21

x

因为0<x1x2，y3在R上为增函数，

xxxx

所以13x13x2，32310,3113210，

所以fx1fx20fx1fx2，

所以函数fx在0,为减函数.

2

17．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x,0时，f(x)x1．

(1)求x0时，函数f(x)的解析式；

a

(2)若f()f(2x)0对任意x1,2恒成立，求实数a的取值范围．

x

【答案】(1)f(x)(x1)2

(2)(,3)

【解析】（1）设x0，则x0，

2

x,0时，f(x)x1．

f(x)(x1)2(x1)2，

f(x)是定义在R上的奇函数，

fxfx，

故fx(x1)2，fx(x1)2；

aa

（2）f()f(2x)0等价于f()f(2x)f(2x)，

xx

2

x,0时，f(x)x10单调递减，

又fx为定义在R上的奇函数，故fx在R上为减函数，

a

所以2x对任意x[1,2]恒成立，

x

即a2xx2对任意x[1,2]恒成立，

2

只需a(2xx)min，

2xx2(x1)21，x[1,2]，

2

(2xx)min213，

a3，即实数a的取值范围是(,3)．

18（2025山西吕梁·阶段练习）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意实数x，y恒有

fxyfxy2gxgy.

(1)判断函数fx的奇偶性，并证明；

8631

(2)若f02，f1，g1，且fx在0,上单调递减，求不等式gx1gx的解集.

5525

【答案】(1)偶函数，证明见解析

13

(2),

22

【解析】（1）fx是偶函数，

证明如下：

因为fx的定义域为R，所以对xR，都有xR.

2

令xy0，则f0f02g0，

所以g00.

令x0，则fyfy2g0gyfy，

所以fyfy，即fxfx，故fx是偶函数.

222

（2）令yx1，则f2f02g1，

25

3162

由不等式gx1gx得2gx1gx，

2525

62

所以f2x1f1，

25

62

即f2x1f1，

25

22

所以f2x1，

25

化为f2x1f2，且fx在0,上单调递减，

由偶函数的性质与单调性可知，2x12，

13

解得x，

22

3113

故不等式gx1gx的解集为,.

2522

19．（23-24上海）定义：如果存在实常数a和b，使得函数fx总满足fxf2axxb，则称函数fx

是“a,b型函数”．

(1)已知奇函数yfx是“0,0型函数”，求函数yfx的解析式；

(2)已知函数fxlgpx1p0,p1是“0,b型函数”，求p和b的值；

2

(3)已知函数fxx13kx是“a,b型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由．

x

【答案】(1)fx

2

(2)10,0

1

(3),1,1

2

【解析】（1）由题意奇函数yfx是“0,0型函数”，所以fxfx，且fxfxx，

x

联立解得函数yfx的解析式fx.

2

（2）由题意