2026版高考数学复习专题突破：4.1 三角函数的定义及同角三角函数（精讲）（解析版）

4.1三角函数的定义及同角三角函数（精讲）

考向一三角函数的定义

【例1-1】（2025·内蒙古包头·二模）已知角的终边经过点P1,3，则（）

3

A．cosɑ=B．tan

13

21

C．Sinɑ=-D．cos

32

【答案】D2

22

【解析】因为角的终边经过点P1,3，可得rOP132，

313

由三角函数的定义，可得sin,cos,tan3，

221

故A，B，C错误，D正确.

故选：D.

【例1-2】（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知角的终边经过点2,y，将的终边逆时针旋转45得到角，

1

若tan，则y（）

5

44

A．2B．C．D．3

33

【答案】D

y

【解析】因为角的终边经过点2,y，所以tan，

2

πy

tantan1

π1

所以tantan42，解得：y3.

πy

41tantan15

42

故选：D

【例1-3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终

5π

边与圆O交于点P72,2．若点P沿着圆O的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点Q，则cosQOx

2

（）

253264

A．B．C．D．

5555

【答案】B

【解析】因为角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与圆O交于点P72,2，

272

所以圆O半径r(72)2(2)210，所以sin,cos，

1010

5π

5π

因为点P沿着圆O的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点Q，所以2π，

2POQ

104

πππ2722263

所以cosQOxcos(POQ)cos()coscossinsin.

444210210105

故选：B

【一隅三反】

π

1．（2025·贵州安顺·二模）已知角的终边经过点P3,4，则cos（）

2

3434

A．-B．C．D．

5555

【答案】B

44

sin

【解析】因为角的终边经过点P3,4，则2，

3425

π4

所以cossin.故选：B.

25

2．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，P3,4为角的终边上一点，将角的终边绕原点O按

π

顺时针方向旋转后得到角，则tan的值为（）

2

1433

A．B．C．D．

3344

【答案】D

π

sin

4ππ2cos13

【解析】由题意可知tan，，所以tantan

22πsintan4

3cos

2

故选：D

π

3．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为1的直线的倾斜角，计算sin．

2

【答案】2

2

3π

【解析】因为是斜率为1的直线的倾斜角，所以tan1，0,π，所以，

4

π3πππ22

所以sinsin=sin=．故答案为：.

242422

π3

4．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）单位圆上位于第一象限的点P按逆时针方向旋转后到点Q，若点Q横坐标为-，

35

则点P横坐标为．

【答案】433

10

π

【解析】由题可设Px,yx0,y0,xOP0,，

2

π

则siny,cosx,xOQ，

3

πππ1336

则由题coscoscossinsinxyx3y，

3332255

2

22622123362

所以xy3yy4yy1，即100y603y110，

5525

2

解得660360341001161808036343，

x3y3

521005200510

433433

又x0，所以x.故答案为：.

1010

考向二三角函数式的符号

【例2-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）角为第三象限角的充要条件是（）

sin0sin0sin0sin0

A．B．C．D．

cos0cos0cos0cos0

【答案】B

sin0

【解析】对于A中，由，可得为第一象限角，所以A不符合题意；

cos0

sin0

对于B中，由，可得为第三象限角，反正也成立，所以B符合题意；

cos0

sin0

对于C中，由，可得为第二象限角，所以C不符合题意；

cos0

sin0

对于D中，由，可得为第四象限角，所以D不符合题意.

cos0

故选：B.

【例2-2】（2024·吉林·模拟预测）复数zsin1icos1在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

【解析】由复数的几何意义知，复数zsin1icos1在复平面中对应点Z(sin1,cos1)，

又因为157.3，所以sin10，cos10，

所以点Z位于第一象限.

故选：A.

【例2-3】（2025广东广州·）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重

合，它的终边过点Pcos100,sin200，则（）

A．sin0B．cos0C．0tan1D．tan1

【答案】D

【解析】因为cos100cos18080cos800，sin200sin18020sin200，

故点P在第三象限，故sin0，cos0，AB错误；

sin200sin20sin202sin10cos10

tan2cos10，

cos100cos80sin10sin10

11

因为ycosx在0,π上单调递减，所以cos10cos60，故cos10,1，2cos101,2，

22

所以tan1，C错误，D正确.故选：D

【一隅三反】

1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）“sin20且cos0”是“为第三象限角”的（）

A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

π3π

【解析】充分性：由cos0可知2kπ<<2kπ,kZ，

22

又由sin20可得sin0可知2kππ<<2π2kπ,kZ，

3π

综上，π2kπ<<2kπ,kZ，即为第三象限角．

2

必要性：若为第三象限角，则sin0,cos0，所以sin20，即sin20且cos0；

所以“cos0且sin20”是“为第三象限角”的充要条件．

故选：A．

2．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知为第二象限角，则（）

A．cossin0B．sincos0

C．sin20D．sintan0

【答案】C

【解析】因为为第二象限角，所以sin0，cos0，tan0，

则sin22sincos0，cossin0，sintan0，

而sin+cos的取值不确定.故选：C.

3．（2025北京）已知角第二象限角，且coscos，则角是（）

222

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

【答案】A

π

【解析】因为角第二象限角，所以2kππ2kπkZ，

2

ππ

所以kπkπkZ，所以角是第一象限角或第三象限角．

4222

又因为coscos，即cos0，所以角是第一象限角，

2222

故选：A．

考向三弦的齐次

cos3sin

【例3-1】（2025·河北张家口·二模）已知2tan10，则（）

sin2cos

1331

A．B．C．D．

5445

【答案】D

3

1

1cos3sin13tan1

【解析】由题意可得tan，则2.

21

sin2costan225

2

故选：D.

3π

【例3-2】（2025湖北）已知tan2，则sinsin（）

2

3112

A．B．C．D．

5225

【答案】D

3πsincostan2

【解析】sinsinsincos.故选：D

2sin2cos2tan215

1sin2

【例3-3】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知为第四象限角，sin2cos0，则（）

sincos

552525

A．B．C．D．

5555

【答案】B

1

【解析】因为sin2cos0，sin2cos21，所以cos2，

5

525

因为为第四象限角，所以cos，sin

55

2

1sin2sin2cos22sincossincos2555

所以sincos.

sincossincossincos555

故选：B.

【一隅三反】

cos3

1．（2025·贵州黔南·三模）若，则tan（）

cossin3

33

A．1B．13C．D．13

33

【答案】B

cos313

【解析】因为，所以，解得tan13.故选：B

cossin31tan3

cos2

2．（2025北京）已知直线2xy10的倾斜角为，则（）

1sin2

111

A．-3B．C．D．

392

【答案】B

【解析】因为直线2xy10的倾斜角为，所以tan2.

cos2cos2sin21tan212231

所以.故选：B.

1sin2cos22sin212tan2122293

1

3．（2025·西安·）已知tan2，则的值是__________．

sin2cos2

【答案】5

【解析】因为tan2，

11cos2sin21tan2122

5，

sin2cos22sincoscos2sin22sincoscos2sin22tan1tan222122

故答案为：5.

考向四sinɑ±cosɑ与sinɑ·cosɑ的关系

1

【例4-1】（2025山东）（多选）已知0,π，sincos，则下列结论正确的是（）

5

π337

A．,πB．cosC．tanD．sincos

2545

【答案】ABD

11

【解析】由sincos得(sincos)2sin22sincoscos212sincos，

525

12π

sincos，又(0,π)，sin0，所以cos0，所以(,π)，A正确；

252

127

sincos(sincos)212sincos12()，D正确；

255

143

结合sincos可得sin，cos，B正确；

555

sin4

tan，C不正确．故选：ABD．

cos3

【一隅三反】

1

1．（2025·湖南长沙·二模）（多选）已知sincos，(0,)，则下列各式正确的有（）

5

24774

A．sin2B．sincosC．cos2D．tan

255253

【答案】AD

124

【解析】A项：由已知：sin2cos22sincos，因此sin22sincos，故A项正确；

2525

B项：因为sincos0，且(0,)，所以,，因此sincos0．又因为

2

497

(sincos)212sincos，因此sincos，故B项错误；

255

7

C项：cos2cos2sin2(cossin)(cossin)，故C项错误；

25

14

sincossin

554

D项：由方程组，解得于是tan，故D项正确．

733

sincoscos

55

故选：AD.

1

2．（2025·吉林）（多选）已知sincos，(0,π)，则（）

5

37π2

A．tanB．cos2C．tan2D．cos

4252410

【答案】BC

1124

【解析】由sincos得，(sincos)2，则2sincos，

52525

24

因为(0,π)，2sincos0，

25

π247

所以(,π)，所以sincos12sincos1，

2255

14

sincossin

55

由，解得，

73

sincoscos

55

4

sin4

对于A，tan5，故A错误；

3

cos3

5

347

对于B，cos2cos2sin2()2()2，故B正确；

5525

πππθ

对于C，因为(,π)，所以(,)，则tan>0，

22422

2tan

4

tan2，即(tan2)(2tan1)0，

1tan2322

2

1

解得tan2或tan（舍去），故C正确；

222

π22324272

对于D，coscossin，故D错误，

422525210

故选：BC．

cos2

1π

3.（2025安徽）已知sincos，且0,，则π的值为（）

22sin

4

14141414

A．B．C．D．

2244

【答案】B

11

【解析】依题意，∵sincos，∴sincos，

22

1377

两边平方可得12sincos，∴2sincos，∴12sincos，∴(sincos)2．

4444

cos2cos2sin214

2(sincos)

π7π22

0,sincossin(sincos)

2，∴2，∴42

考向五扇形的弧长与面积

【例5-1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（）

A．5πB．16πC．25πD．36π

【答案】C

122225

【解析】因为该扇形的圆心角为2rad，面积为25，根据S扇r，可得r25，

22

2

所以S圆πr25π.故选：C

【例5-2】（2025·福建福州·模拟预测）如图所示，两动点P,Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上从点A(1,0)

处同时出发做匀速圆周运动．已知点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度

13

(0π)，且P,Q两点在第2秒末第一次相遇于点,处，则它们从出发后到第2次相遇时，点P走

22

过的总路程为（）

π2π4π8π

A．B．C．D．

3333

【答案】C

【解析】根据题意，设经过t秒，第二次相遇.

222π

132π

点,对应的圆心角为，则有2，

2232π

3

π2

则,π.

33

π2

则由tπt4π，解可得t4，

33

π4π

所以第二次相遇时，P走过的总路程为41．

33

故选：C

【一隅三反】

1．（2025·甘肃白银·二模）已知动点P的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方

形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（）

A．164πB．4πC．42πD．122π

【答案】D

2211π12

【解析】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为8122π.