2026版高考数学复习专题突破：3.4 导数的综合应用（精练）（题组版）（原卷版）

3.4导数的综合应用（精练题组版）

题组一判断零点的个数

1．（2025·辽宁·一模）已知函数f(x)xsinxcosx．

ππ

(1)讨论函数f(x)在区间,上的单调性；

22

(2)证明：函数g(x)f(x)cosx1在[0,π]上有两个零点．

2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数fxalnx1x1.

(1)若fx在1,上单调递增，求a的取值范围；

(2)讨论fx的单调性；

1

(3)若fx在,7上有2个零点，求a的取值范围.

2

131

3．（2024山东日照·阶段练习）已知函数fxxaxlnxax．

62

（1）若a0讨论fx的单调性；

（2）当a1时，讨论函数fx的极值点个数．

4．（24-25·陕西咸阳·阶段练习）已知函数fxexax2ea(a0)．

(1)当a1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)讨论函数fx的极值点个数．

1

5．（2025·湖南郴州·三模）已知函数fxetx1lntex1lnx.

(1)当t1时，求fx的单调区间；

(2)当te时，求fx在0,1上的最小值；

(3)当t1时，讨论fx的零点个数.

6．（2025·山东·模拟预测）已知函数fxax22lnx,aR.

(1)讨论函数fx的单调性；

(2)判断函数fx的零点个数并说明理由；

(3)若对于mR,k1,2，曲线yfx与曲线C:ykx4m有且仅有一个交点，求a的取值范围.

7．（2025·山东·模拟预测）已知函数fxx2lnxax2a,aR．

(1)当a1时，求fx在区间1,e上的最值；

(2)讨论fx的零点个数．

题组二已知零点个数求参数

1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数fxlnxkexk.

(1)当k0时，求证：fx最大值小于2；

(2)若fx有两个零点，求实数k的取值范围.

2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数fx2xasinxsin2xaR．

ππ

(1)当a2时，求曲线yfx在点,f处的切线方程；

44

(2)若a0且函数fx在0,π上没有零点，求实数a的取值范围．

3．（23-24云南昆明·阶段练习）已知函数fxex2,gxaxlnx1,aR．

(1)讨论函数gx的单调性；

(2)设hxfxgx，若hx存在零点，求实数a的取值范围．

4．（2025·山东临沂·一模）已知函数fx2x1ex.

(1)求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

(2)若函数gxfxkx在,0上恰有两个零点，求k的取值范围.

5．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数f(x)f(1)exx1.

(1)求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

1

(2)若函数g(x)(eaxx1eaxx)[f(x)x1]有2个零点，求实数a的取值范围.

x

6．（2025·广西）已知函数fxlnxax2ax.

(1)当a2时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程.

(2)若函数gxfxax有两个零点，求实数a的取值范围.

lnx1

7．（2025·河南开封·二模）已知函数fxaex1，a0．

x

(1)当a2时，求fx在1,f1处的切线方程；

(2)若fx有唯一的零点，求a的值．

2

8．（2025·山东日照·二模）已知函数fxalnxaR．

x1

(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若方程f(x)10有3个不同的实数解，求a的取值范围．

9．（2025·江西萍乡·二模）已知函数fxlnx．

(1)证明：函数gxx1fx1有且只有一个极值点；

(2)若关于x的方程fxbx2bx在区间1,2上恰有两个实数根，求实数b的取值范围．

10．（2025·湖南·模拟预测）已知函数fxexsinx,gxmx.

(1)求fx的图象在x0处的切线方程；

π

(2)设hxfxgx，若hx在区间0,上有且只有两个零点，求m的取值范围.

2

题组三恒（能）成立求参数

1．（2025·吉林长春）已知函数fxexax1.

(1)当a1时，求fx的单调区间与极值；

(2)若fxx2在x0,上有解，求实数a的取值范围.

1

2．（2025·河北保定·一模）已知函数fxe2xaex2a2x.

2

(1)当a1时，求fx的极值；

(2)若关于x的不等式fxa20有实数解，求a的取值范围.

3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数fxxlnx

(1)求函数fx在xe处的切线方程；

(2)若关于x的不等式fxaxx1恒成立，求实数a的取值范围；

1

4．（24-25广东广州·阶段练习）已知函数fxalnxx2，aR.

2

(1)当a1时，求fx的极值点；

(2)讨论fx的单调性；

(3)若函数fx在1,e上恒小于0，求a的取值范围.

5．（2025·四川自贡·二模）已知函数fxexax1，gxxlnx.

(1)若fx存在极小值，且极小值为1，求a；

(2)若fxgx，求a的取值范围.

6．（2025·陕西渭南·二模）已知函数fx2x1exax1.

(1)当a0时，求曲线yfx在x0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.

(2)若函数yfx有两个零点，求实数a的取值范围.

(3)若不等式fx0恒成立，求实数a的取值范围.

1ln1x

7．（2025·重庆·模拟预测）已知函数fxax2x1，

2x

(1)当a0时，讨论fx的单调性;

(2)若1x0时，fx0恒成立，求实数a的取值范围.

题组四隐零点

1.（2024·广东深圳）已知函数f(x)x(1sinx).

（1）求函数f(πx)在20,20上的零点之和；

（2）证明：f(x)在0,上只有1个极值点.

2

1lnx

2．（2024·江苏宿迁）已知函数fxaex.

x

(1)若a0,求fx的极值；

(2)若fx1恒成立，求实数a的取值范围.

3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知a0，函数fxax1lnxx1.

(1)若fx是增函数，求a的取值范围；

111

(2)证明：当0a，且a时，存在三条直线l1,l2,l3是曲线ylnx的切线，也是曲线yax的切线.

2ex

4．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数fxx2lnx1.

(1)求曲线yfx在点0,f0处的切线方程.

(2)证明：fx无极值.

(3)若fxkx对任意x0,恒成立，求k的取值范围.

5．（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数fxax1ex1aR.

(1)若a2，求fx的极值；

(2)若fxa1x对任意的x0,恒成立，求a的取值范围.

题组五不等式的证明

a1

1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数fxx2，gx2lnx．

xx2

(1)讨论函数fx的单调性；

(2)求函数gx的最小值；

1

(3)当a2时，证明：fxlnx1．

x3

2．（2025高三·全国·专题练习）设函数fxaxx1lnx，aR．

(1)当a1时，不等式fxkx恒成立，求k的取值范围；

3

(2)当a1，x1,e时，求证：fx．

2

3．（2025·河南·二模）已知fxeaxsin2x2ax，且曲线yfx在点0,f0处的切线方程为2xy0.

(1)求a的值；

(2)设fx的导函数为gx，求gx的单调区间；

11

(3)证明：当x,时，fx2.

22

4．（2025·甘肃白银·二模）已知函数fxa2ex3ax2sinx,a0.

(1)当a1时，求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

(2)若a2，且fx在0,上单调递增，求a的取值范围；

(3)证明：当a1,时，fxcosx.

题组六极值点偏移

1．（2025·广东佛山·一模）已知函数fxxkex，其中kR．

(1)当k1时，讨论关于x的方程fxaaR的实根个数；

fx1fx2x1x2

(2)当k1时，证明：对于任意的实数x1,x2x1x2，都有．

ex1ex22

23

2．（24-25内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数fxxlnxa，a为实数.

2

2

(1)当a时，求函数在x1处的切线方程；

3

(2)求函数fx的单调区间；

(3)若函数fx在xe处取得极值，fx是函数fx的导函数，且fx1fx2，x1x2，证明：x1x22.

3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数fxexx2，gxxlnxa1x.

(1)求曲线ygx在(1,g(1))处的切线方程；

(2)若fxgx，求a的取值范围；

(3)若fxgx有两个实数解x1，x2，证明：lnx1lnx20.

4．（2025·山西临汾·二模）已知函数fxln1axx，其中a0.

(1)当a2时，求曲线yfx在0,f0处的切线方程；

(2)求fx的单调区间；

2

(3)当a1时，设fx的两个零点为x1,x2，求证：xx2.

12a

5．（2025·河南·二模）已知函数fxexax3aR.

x2

(1)当x0时，若不等式fx2恒成立，求a的取值范围；

2

(2)若fx有两个零点x1，x2，且x1x2.

（i）求a的取值范围；

（ii）证明：3ex1ex23a.

题组七放缩法证明不等式

*

1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知数列an的首项a11,an12an1nN.

(1)证明：数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；

*

(2)若ntan1nN恒成立，求实数t的取值范围；

1111*

(3)证明：1111en2,nN.

a2a3a4an

2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数fxax1lnx.

1

(1)当a时，求函数fx的极值;

2

(2)对于任意的正整数n.

111

(ⅰ)不等式111M恒成立，求整数M的最小值;

3323n

11

(ⅱ)证明：(1)ne(1)n1(e为自然对数的底数).

nn

1

3．（2025·全国·模拟预测）已知函数fxax2xlnx.

2

(1)当a0时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)当x1时，不等式fx0恒成立，求实数a的取值范围；

111*

(3)证明：ln2n1nN.

13352n12n1

4．（2025·天津红桥·一模）已知函数fxlnx1，gxax2x．

(1)求函数fx在点1,f1处的切线方程；

(2)当x1时，fxgx，求实数a的取值范围；

11