2026版高考数学复习专题突破：3.3 利用导数研究函数的极值与最值（精讲）（解析版）

3.3利用导数研究函数的极值与最值（精讲）

考向一无参函数的极值（点）

【例1-1】（2025陕西）设函数f(x)xex，则

A．x1为f(x)的极大值点B．x1为f(x)的极小值点

C．x=1为f(x)的极大值点D．x=1为f(x)的极小值点

【答案】D

【解析】因为f(x)xex，所以fx=ex+xex=exx+1,令fx=0得,x=-1．

又由fx>0得:x>-1;由fx<0得：x<-1,所以fx在-，-1，在-1，+，所以x=1为f(x)的极小值点．

1

【例1-2】（23-24湖北）函数fx3lnxx24x的极大值为（）

2

57

A．2B．C．3D．

22

【答案】D

1

【解析】函数fx3lnxx24x的定义域为0,，

2

x24x3x3x1

又fx，

xx

令fx0，则x1或x3，所以当0x1或x3时fx0，当1x3时fx0，

所以fx在0,1，3,上单调递增，在1,3上单调递减，

17

所以fx的极大值为f104．

22

故选：D．

3

【例1-3】（24-25湖南）函数fxx2lnx的极值为（）

2

1ln3

A．B．3C．2ln3D．3

22

【答案】A

13x21

【解析】由题知fx的定义域为0,，且fx3x.

xx

33x21

当0x时，fx0；

3x

33x21

当x时，fx0，

3x

33

,+

所以fx在0,上单调递减，在上单调递增，

33

31ln3

故fx的极小值为f，无极大值，

322

故选：A

【一隅三反】

2exx

1.（2024云南）函数fx的极值点为（）

e2xex

A．0B．1C．1D．e

【答案】A

2ex1e2xex2e2xex2exxex2ex11xex

【解析】fx22，

e2xexe2xex

由f(x)0，即1xex0，解得：x0．由f(x)0，得x0，由f(x)0，得x0，

2exx

函数fx在x0处取得极大值，故选：A．

e2xex

1a2

2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数f(x)x3x22ax．若a1，求函数f(x)的极值．

32

25

【答案】极小值为，极大值为

36

13

【解析】f(x)x3x22x,f(x)(x1)(x2).

32

所以x1或x2时，f(x)0，1x2时，f(x)0，

则f(x)在(1,2)上递减，在(,1),(2,)递增，

25

所以f(x)的极小值为f(2)，极大值为f(1).

36

3.（24-25宁夏）已知函数fxx2lnx.

(1)求fx的图象在点e,fe处的切线方程；

(2)求函数fx的极值；

1

【答案】(1)3exy2e20(2)极小值为，无极大值

2e

1

【解析】（1）fee2lnee2，fx2xlnxx22xlnxxx2lnx1

x

fee2lne13e，故fx的图象在点e,fe处的切线为ye23exe，即3exy2e20；

（2）fx的定义域为0,，由（1）知fxx2lnx1，

1

1

令fx0得2，令fx0得，

xe0xe2

11

故函数fx在0,e2上单调递减，在e2,上单调递增，

11

11

故在上取得极小值，极小值为212，无极大值；

fx2feelne

xe2e

2x2a

4（2025高三·全国·专题练习）已知函数fxexaxaR在点1,f1处的切线与y轴垂直.

2

(1)求a的值；

(2)求fx的极值.

32

【答案】极大值，的极小值e

(1)a1(2)2fx

2e2

2x2a2x2x2

【解析】（1）由题知fx2exax+e2xae2x2a2x2a，

2

所以f144ae2.由题意可知44ae20，解得a1.

2x2122x2x

（2）由(1)知fxexx，fx2x1e2x1x1e，

2

22x2x

令fx2x1e2x1x1e=0，解得x11,x21，

易得当x,11,时，fx0；当x1,1时，fx0，

所以fx在,1上单调递增，在1,1上单调递减，在1,上单调递增.

3

所以当x1时，fx取得极大值f1，

2e2

e2

当x1时，fx取得极小值f1，

2

32

即的极大值，的极小值e

fx2fx.

2e2

考向二导函数图像与极值关系

【例2-1】（2024陕西）已知函数yfx的导函数fx的图象如图所示，那么对于函数yfx，下列

说法正确的是（）

A．在,1上单调递增B．在1,上单调递减

C．在x1处取得最大值D．在x2处取得极大值

【答案】D

【解析】由导函数图像可知，当x1或x2时，fx0，

当1x2，fx0，

所以fx在,1,2,上单调递减，在1,2上单调递增，

故选项A，B错误；

在x2处取得极大值，且f1f2，故C错误，D正确；

故选：D.

【例2-2】（2025·辽宁）已知函数fx的导函数fx的图像如图所示，则下列判断正确的是（）

A．在区间1,1上，fx是增函数B．在区间3,2上，fx是减函数

C．2为fx的极小值点D．2为fx的极大值点

【答案】D

【解析】由导函数fx的图像可知，

在区间1,0上为单调递减，在区间0,1上为单调递增，则选项A不正确；

在区间3,2上，fx0，则fx是增函数，则选项B不正确；

由图像可知f20，且3,2为单调递增区间，2,0为单调递减区间，则2为fx的极大值点，则选

项C不正确；

由图像可知f20，且1,2为单调递增区间，2,3为单调递减区间，则2为fx的极大值点，则选项D正

确；

故选：D.

【一隅三反】

1．（2025·广东·一模）已知函数yfx的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）

A．fx在区间1,4上单调递增B．x7是yfx的极大值点

C．当4x7时，fx0D．fx在区间7,上单调递减

【答案】C

【解析】由导函数的图象可知：导函数在1,4，导函数的符号为正，函数fx单调递增，A正确；

x7时，fx0，函数fx单调递增，x7，fx0，函数fx单调递减，

所以x7是yfx的极大值点，B正确；

fx在区间7,上单调递减，D正确；

当4x7时，函数fx单调递增，可能fx0，所以C不正确；

故选：C．

2．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数yfx的导函数yfx的图象，下列结论正确的是（）

A．yfx在x=1处取得极大值B．x1是函数yfx的极值点

C．x2是函数yfx的极小值点D．函数yfx在区间1,1上单调递减

【答案】C

【解析】由图象可知：当x2时，fx0,fx单调递减，当x2时，fx0,fx单调递增，

故x2是函数yfx的极小值点，yfx无极大值.

故选：C

3．（2025北京）已知定义在R上的函数f（x），其导函数fx的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）

A．fbfafc

B．函数fx在x＝c处取得最大值，在xe处取得最小值

C．函数fx在x＝c处取得极大值，在xe处取得极小值

D．函数fx的最小值为fd

【答案】C

【解析】由题图可知，当xc时，fx0，所以函数fx在(-¥,c]上单调递增，

又a<b<c，所以fafbfc，故A不正确．

因为fc0，fe0，且当xc时，fx0；当c<x<e时，fx0；

当x>e时，fx0．所以函数fx在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不

一定是最小值，故B不正确，C正确．

由题图可知，当dxe时，fx0，所以函数fx在[d，e]上单调递减，从而fdfe，所以D不正确．

故选：C．

考向三已知极值（点）求参数

【例3-1】（24-25高三下·河北保定）已知fxx2xk的一个极值点为2，则实数k（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

2

【解析】fx3x22kx，令fx0，得xk或x0，

3

2

又fx的一个极值点为2，则k2，解得k3，经检验满足题意.故选：B.

3

【例3-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数fxx33ax2bxa2在x1处取得极值0，则f1（）

A．6B．12C．24D．12或24

【答案】C

【解析】由题意知，f(x)3x26axb，又f(x)在x1处取得极值0，

f(1)36ab0a1a2

则2，解得或，

f(1)13aba0b3b9

a1

当时，f(x)3x26x33(x1)20，

b3

函数f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；

a2

当时，f(x)3x212x93(x3)(x1)，

b9

令f(x)0x3或x1，f(x)03x1，

所以f(x)在(,3)、(1,)上单调递增，在(3,1)上单调递减，

故f(x)在x1处取得极小值，符合题意，

a2

所以，f(x)3x212x9，则f(1)24.故选：C.

b9

【例3-3】（24-25湖南）若x0是函数fxx3ax2a2ax2的极小值点，则fx的极大值为（）

505022

A．B．C．D．

272733

【答案】B

【解析】因为fxx3ax2a2ax2，所以fx3x22axa2a.

又x0是函数fx的极小值点，所以f0a2a0，解得a0或a1.

当a0时，fx3x2≥0恒成立，函数fx单调递增，不符合题意，舍去.

当a1时，fx3x22xx3x2，

2

所以当x,时，fx0，fx单调递增；

3

2

当x,0时，fx0，fx单调递减；

3

当x0,时，fx0，fx单调递增；

x0是fx的极小值点，所以a1，fxx3x22.

2250

由以上分析知，当x时，fx取得极大值，且f.故选：B.

3327

【一隅三反】

1

1.（24-25高三上·河北·期末）若函数f(x)(xa)2(x1)的极小值点为，则a（）

2

11

A．1B．1C．D．

22

【答案】D

111

【解析】f(x)2(xa)(x1)(xa)2(xa)(3x2a)，依题意f0，所以a或a，

222

1151

当a时，f(x)x3x，x为极大值点，

2222

1111

当a时，f(x)3xx，符合题意，故a，

2222

故选：D.

2.（2025·江西·一模）已知x2是函数fxx2alnx的极值点，则a（）

A．8B．4C．4D．8

【答案】D

aa

【解析】由题设fx2x，则f240，可得a8，

x2

82x28

此时fx2x且x0，

xx

所以0x2时fx0，x2时fx0，

即函数fx在0,2上单调递减，在2,上单调递增，

故x2是fx的极小值点，符合题意.

故a8.

故选：D

b

3.（2025湖北·阶段练习）若fxx3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为（）

a

313131

A．或B．或C．D．

222222

【答案】C

【解析】因为fxx3ax2bxa27a，则fx3x22axb,

又fxx3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，

f132ab0

a2a6

f11aba27a10，解得或，

2b1b9

Δ4a12b0

当a2，b1时，fx3x34x13x1x1，

1

当x1时，fx0，当x1时，fx0，

3

则fx在x1处取得极小值，与题意不符；

当a6，b9时，fx3x212x93x1x3，

当x1时，fx0，当1x3时，fx0，

b93

则fx在x1处取得极大值，符合题意，则，

a62

故选：C.

x3

4（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数f(x)ax22a24x3在x2处取得极小值，则实数a（）

3

A．2B．2C．2或0D．0

【答案】D

【解析】由fxx22ax2a24，则f22a24a0，得a0或2，

a2时，fxx24x4(x2)20，f(x)在R上单调递增，不满足；

a0时，fxx24，在(,2),(2,)上fx0，在(2,2)上fx0，

所以f(x)在(,2),(2,)上单调递增，在(2,2)上单调递减，满足题设，

所以a0.

故选：D

5.（24-25河南商丘）已知函数fx32m2xmx3在x1处取得极小值，则fx的极大值为（）

A．4B．2C．2D．4

【答案】A

【解析】由题得fx32m23mx2，因为函数fx在x1处取得极小值，

所以f132m23m3m2m20m2或m1，

当m2时，fx6x2x3，fx66x261x261x1x，

所以当x,11,时，fx0，当x1,1时，fx0，

所以函数fx在x1处取得极小值，符合题意，

所以函数在x1处取得极大值为f14；

当m1时，fx3xx3，fx33x231x1x，

所以当x,11,时，fx0，当x1,1时，fx0，

所以函数fx在x1处取得极大值，不符合题意；

综上m2，fx的极大值为4.

故选：A

1

6.（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知函数fxx(xa)2的极大值为，则a（）

2

3223

A．B．C．D．

2332

【答案】D

【解析】由题意，fxx(xa)2x32ax2a2x，

则fx3x24axa23xaxa，

a

令fx0，解得x或xa，

3

a

当a0时，fx在,，a,上满足fx0，fx单调递增，

3

a

在,a上满足fx0，fx单调递减，

3

3

aaaa24a13

所以fx在x处取得极大值，f(a)，解得a，

33332722

a

当a0时，fx在,a，,上满足fx0，fx单调递增，

3

a

在a,上满足fx0，fx单调递减，

3

1

所以fx在xa处取得极大值，fa0，不符合题意，

2

当a0时，fx3x20，fx在R上单调递增，无极值，不符合题意，

3

综上所述，a.

2

考向四已知极值点的个数求参

【例4-1】（24-25高三下·四川乐山·期末）若函数fxx3ax2x无极值，则a的取值范围是（）

A．3,3B．3,3C．3,3D．3,3

【答案】B

【解析】fxx3ax2x的导数为fx3x22ax1，

函数fx不存在极值点，fx0在R上恒成立，即3x22ax10恒成立，

2

4a120，解得3a3，即实数a的取值范围是3,3.故选：B.

2a

【例4-2】（2025·广东汕头·一模）设aR，若函数fxx3x2x2在1,2内存在极值点，则a的取值

32

范围是（）

999

A．3,B．3,C．,3D．,

222

【答案】B

1

【解析】依题意，fx2x2ax1在1,2内存在变号零点，而x0不是fx的零点，从而得a2x，

x

19

又y2x在1,2上递增，所以3a.

x2

故选：B

π

【例4-3】（2025·广东湛江·一模）已知函数f(x)sin(2x)在区间(0,m)上存在唯一个极大值点，则m的最大

6

值为（）．

7πππ

A．B．πC．D．

636

【答案】A

πππ

【解析】当x(0,m)时，2x(,2m)，由f(x)在区间(0,m)上存在唯一个极大值点，

666

ππ5ππ7π7

得2m，解得m，所以m的最大值为π.故选：A

262666

【例4-4】（2025·河北邯郸·一模）已知函数fxx3exax恰有一个极值点，则a的取值范围是（）

A．,0eB．0,e

C．,0D．0,

【答案】C

【解析】fxx3exax，fxx2exa，

因为函数fxx3exax恰有一个极值点，所以fxx2exa0有一个变号实数根，

即a2xex有一个变号的根，即y2xex与ya一个交点，且在该交点前后两函数的大小关系发生变化，

令gx2xexa，则gx1xex，

令gx0，函数单调递增，解得：x1，

令，函数单调递减，解得：，则，x有一根，即ae，

gx0x1gxmaxg1ea2xe

当x1，1x2时都有2xex0当x2时，2xex0，所以a0.综上所述，a的取值范围是,0

故选：C

【一隅三反】

1.（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数fxx3mx2x1有两个极值点，则m的取值范围为（）

A．3,3B．2,2

C．,22,D．,33,

【答案】D

【解析】因为fx3x22mx1，且函数fxx3mx2x1有两个极值点，所以fx0有两个不等实根，

所以4m2120，解得m3或m3，故选：D

ππ

2．（24-25高三下·浙江）若函数fx2cos2x0在0,上有且仅有两个极值点，则的取值范

122

围是（）

23472347

A．B．

12121212

23352335

C．D．

12121212

【答案】C

πππππ

【解析】当0x时，2xπ，若fx在0,上有且仅有两个极值点，

21212122

π2335

则由y2cosx的图象可得2ππ3π，解得.故选：C.

121212

x121

3.（2025·陕西咸阳·一模）已知fxaex在区间,2内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（）．

22

21112112

A．2,B．,C．2,D．,

ee2eee2eee

【答案】B

x1

【解析】因为fxaex，可知fx在,2内有2个变号零点，

2

xx1

由fx0可得a，可知：ya与gx在,2内有2个交点，

exex2

1x1

又因为gx，令gx0，解得x1；令gx0，解得1x2；

ex2

11

可知gx在,1内单调递增，在1,2内单调递减，则gxg1，

2e

12

112

且g,g2，2，

22ee22ee

1111

结合图象可得a，所以实数a的取值范围为,.故选：B.

2ee2ee

4（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数f(x)exax2在R上无极值，则a的取值范围是（）

eee

A．,B．,C．[0,e)D．0,

222

【答案】D

【解析】由题意得，f(x)ex2ax，故f01＞0，

因为函数f(x)exax2在R上无极值，所以f(x)0在R上恒成立，

exex2xex2exx1ex

当x＞0时，a，设gx，则gx，

2x2x4x22x2

当0＜x＜1时，得gx＜0，当x＞1时，得gx＞0，则gx在0,1上单调递减，在1,上单调递增，

eeexe

从而gxg1，故a，当x＜0时，＜0，则a0.综上，0a.故选：D.

222x2

考向五无参函数求最值

【例5】（24-25高三上·江苏·期末）已知函数f(x)x33x，则f(x)在区间[2,2]上的最大值为（）

A．2B．2C．4D．4

【答案】B

【解析】因为f(x)x33x，

所以函数f(x)的导函数为f(x)3x233x1x1，

令f(x)0，可得x1或x1，

当2x1时，f(x)0，函数f(x)在2,1上单调递增，

当1x1时，f(x)0。函数f(x)在1,1上单调递减，

当1x2时，f(x)0，函数f(x)在1,2上单调递增，

又f1132，f2862，

所以f(x)在区间[2,2]上的最大值为2.

故选：B.

【一隅三反】

1

1．（2025·甘肃兰州·一模）函数f(x)x3x23x2在[2,0]上的最小值为．

3

4

【答案】

3

1

【解析】f(x)x3x23x2，f(x)x22x3

3

令f(x)0，解得：x11，x23（舍），

当x2,1时，f(x)0，此时fx单调递增，

当x1,0时，f(x)0，此时fx单调递减，

114

则fxf1，又因为f2，f02，

极大值33

4

则函数f(x)在[2,0]上的最小值为.

3

4

故答案为：.

3

2．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）函数ye1xx,x0,2的最大值是．

【答案】e

【解析】由求导可得：ye1x1，令ye1x10，解得x1，

当x0,1时，ye1x10，当x1,2时，ye1x10，

所以函数ye1xx在0,1上递减，在1,2上递增，

1

由于当x0时，ye，当x2时，y2e，

e

所以可知函数ye1xx最大值为e，

故答案为：e.

π

3．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）函数f(x)x2cosx在区间0,上的最大值为

2

π

【答案】3

6

π

【解析】f(x)12sinx，x0,，

2

πππ

令f(x)0，解得：0x，令f(x)0，解得：x，

662

πππππ

∴函数f(x)在0,上递增，在,上递减，∴f(x)的极大值为f()3，

66266

πππ

又f(0)2，f()，故所求最大值为3．

226

考向六已知最值求参数

【例6-1】（2025上海）若函数fxx3x2x2m在区间0,2上的最大值是4，则m的值为()

A．3B．1C．2D．1

【答案】B

1

【解析】fx3x22x1，令fx0，解得x=-或x1，

3

11

当fx0时，x1；当fx0时，x或x1，

33

11

故f(x)在(,]和[1,)上单调递增，在(,1)上单调递减，

33

从而f(x)在[0,1)上单调递减，在[1,2]上单调递增，

又f02m，f22m2，则f2f(0)，

所以f(x)在区间0,2上的最大值为f(2)2m24，解得m1．

故选：B．

3

【例6-2】（24-25高三·上海·随堂练习）函数yx2a4x2lnx在区间(1,2)上存在最值，则实数a的取值

2

范围为（）．

A．（5，9）B．（－5，9）C．9,5D．9,5

【答案】D

2

【解析】因为fx3xa4，

x

2

因为函数y3xa4，y在1,2上单调递增，

x

所以题中问题等价于f1f20即a5a90解得9a5，

故选：D.

lnx

,x2

【例6-3】（2025·江苏宿迁·二模）若函数fxx有最大值，则k的最大值为（）

kx,x2

ln2ln211

A．B．C．D．

422ee2

【答案】C

lnx1lnx

【解析】当x2时，fx，则fx，

xx2

当2≤xe时，fx0，此时，函数fx单调递增，

当xe时，fx0，此时，函数fx单调递减，

1

则函数fx在xe处取得极大值，且极大值为fe，

e

lnxk0

,x21

因为函数函数fxx有最大值，则1，解得0k，

2k2e

kx,x2e

1

因此，实数k的最大值为.

2e

故选：C.

【一隅三反】

3a

1．（2024山东烟台·期末）若函数f(x)x3x24在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（）

2

10

A．－2B．－1C．2D．

3

【答案】C

3a

【解析】由f(x)x3x24，得f(x)3x23ax3x(xa)，

2

当a0时，f(x)0在[1,2]上恒成立，

所以f(x)在[1,2]上递增，

3a10

所以f(x)f(1)140，解得a（舍去），

min23

当a0时，由f(x)0，得x0或xa，

当0a1时，f(x)0在[1,2]上恒成立，

所以f(x)在[1,2]上递增，

3a10

所以f(x)f(1)140，解得a（舍去），

min23

当1a2时，当1xa时，f(x)0，当ax2时，f(x)0，

所以f(x)在(1,a)上递减，在(a,2)上递增，

3a

所以当xa时，f(x)取得最小值，所以f(a)a3a240，解得a2（舍去），

2

当a2时，当1x2时，f(x)0，所以f(x)在[1,2]上递减，

3a

所以f(x)f(2)23440，解得a2，

min2

综上，a2，

故选：C

1

2（23-24四川）若函数fxx3exx22x1在区间2m2,3m上存在最值，则m的取值范围是（）

2

A．m1B．m>2C．1m2D．m1或m>2

【答案】C

【解析】fxx2exx2x2ex1，

则当x2时，fx0，当x2时，fx0，

即fx在,2上单调递减，在2,+上单调递增，

即fx在x2处取得最值，则有2m223m，

解得1m2.

故选：C.

3.（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数fxx33x23在区间a,a6上存在最小值，则实数a的取值

范围为（）

53

A．1,2B．,1C．2,D．1,1

22

【答案】A

【解析】由题意得fx3x26x3xx2．

当fx0时，得x0或x2，当fx0时，0x2，

可得函数的单调增区间为,0，2,．减区间为0,2，

即x2时，函数取得极小值f21，

322

当x33x231时，即x131xx1x20，

解得x=1或x2，

故要使函数fxx33x23在区间a,a6上存在最小值，

a62

需有，解得1a2，

1a2

即实数a的取值范围