2026版高考数学复习专题突破：3.2 利用导数研究函数的单调性（精讲）（解析版）

3.2利用导数研究函数的单调性（精讲）

考向一无参函数的单调区间

1

【例1-1】（1）（2025河南）函数fxxex的单调递减区间是

2

1

（2）（2025北京）若函数fxx22x3lnx，则函数fx的单调递减区间为

2

x

（3）（24-25云南曲靖）设函数f(x)，f(x)的单调递减区间为

lnx

【答案】（1）ln2,（2）0,3（3）(0,1)和(1,e)

1

【解析】（1）由fx1ex，当fx0，得xln2，所以fx的单调递减区间为ln2,．

2

2

123x2x3

（2）fxx2x3lnx，函数定义域为0,，fxx2，

2xx

令fx0，解得0x3，则函数fx的单调递减区间为0,3.

xlnx1

（3）函数f(x)的定义域为(0,1)(1,)，求导得f(x)，

lnx(lnx)2

lnx1

由f(x)0，即0，解得0x1或1xe，

(lnx)2

x

所以函数f(x)的单调减区间为(0,1)和(1,e).

lnx

【一隅三反】

（24-25高三专题训练）求下列函数的单调区间：

2

2322x1

(1)fxx2x3；(2)fxln2x3x；(3)fx.

3x1

x

2e

(4)fxxlnx；(5)fx.

x2

【答案】(1)单调递增区间为,0,2,，单调递减区间为0,2.

311

(2)单调递增区间为,1，,，单调递减区间为1,.

222

(3)单调递增区间是,12,(12，)，单调递减区间是12,1,1,12.

22

(4)单调递增区间为,；单调递减区间为0,.

22

(5)单调递增区间为3,；单调递减区间为,2和2,3.

【解析】（1）易知函数fx的定义域为R.fx2x24x2xx2，

令fx0，得x0或x2，列表如下：

x,000,222,

fx+0-0+

1

fx3

3

所以函数fx的单调递增区间为,0,2,，单调递减区间为0,2.

3

（2）易知函数fx的定义域为,.

2

24x26x222x1x1

fx2x.

2x32x32x3

1

令fx0，得x或x1.列表如下：

2

3111

x,111,,

2222

fx+0-0+

1

fx1ln2

4

311

所以函数fx的单调递增区间为,1，,，单调递减区间为1,.

222

（3）fx的定义域为{x|xR，且x1}，

2

2xx1x1x22x1

fx

(x1)2(x1)2

x12x12

(x1)2

令fx0，得x12或x12，列表如下：

x,121212,11,121212,

fx+0--0+

fx222222

所以fx的单调递增区间是,12,(12，)，单调递减区间是12,1,1,12.

12x12x1

（4）函数fx的定义域为0,.fx2x.

xx

22

因为x0，所以2x10，令fx0，解得x，所以函数fx的单调递增区间为,；

22

22

令fx0，解得x，又x0,，所以函数fx的单调递减区间为0,.

22

exx2exexx3

（5）函数fx的定义域为,22,.fx.

(x2)2(x2)2

因为x,22,，所以ex0,(x2)20.

令fx0，解得x3，所以函数fx的单调递增区间为3,；

令fx0，解得x3，又x,22,，

所以函数fx的单调递减区间为,2和2,3

考向二函数与导函数的图像关系

【例2-1】（24-25宁夏石嘴山）已知函数yfx的导函数的图象如图所示，则yfx的图象可能是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由导函数图象可知，当x0,m时，fx0，当xm,n时，fx0，

故yfx在x0,m上单调递增，在xm,n上单调递减，

D正确，其他选项不合题意.

故选：D

【例2-2】（2025福建）已知函数yfx的图象是下列四个图象之一，且其导函数yfx的图象如下图所

示，则该函数的大致图象是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】由导函数图象知，x(1,1)，f(x)0恒成立，即函数yf(x)在[1,1]上单调递增，

而函数f(x)在[1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，

因此在[1,0]上，函数yf(x)的变化率逐渐增大，即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD不满足，

在[0,1]上，函数yf(x)的变化率逐渐减小，即函数图象逐渐由陡变缓，选项C不满足，选项B符合题意.

故选：B.

【一隅三反】

1.（24-25湖南长沙）已知函数yfx的图象是下列四个图象之一，且其导函数yfx的图象如图所示，则

该函数的图象是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由题意可知，当x0和x2时，导函数fx0，函数fx单调递减；

当x0,2时，导函数fx0，函数fx单调递增，故函数fx的图象如图D．故选：D

2（24-25湖北）已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】由导函数图象可知，f(x)在(,2),(0,)上单调递减，在(2,0)上单调递增，

结合选项，只有A符合；

故选：A

3.（24-25江苏无锡）已知f(x)是fx的导数，f(x)的图象如图，则fx的图象可能是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由f(x)的图象可知，f(x)0，所以fx的图象单调递增，

因为f(x)的值先增大后减小，所以fx的切线的斜率先增大后减小，根据图象可判断A正确.

故选：A.

fx

4．（24-25吉林长春）已知函数fx与fx的图象如图所示，则函数y（）

ex

31

A．在区间1,2上是减函数B．在区间,上是减函数

22

C．在区间0,2上是减函数D．在区间1,1上是减函数

【答案】B

fxfxexfxexfxfx

【解析】由y得y，

exe2xex

3f'xfxfx

由题中图象可知，当x时，fxfx，所以y0，则函数y单调递增；

2exex

31f'xfxfx

当x时，fxfx，所以y0，则函数y单调递减；

22exex

1f'xfxfx

当x3时，fxfx，所以y0，则函数y单调递增；

2exex

f'xfxfx

当x3时，fxfx，所以y0，则函数y单调递减；

exex

故ACD都错，B正确，故选：B

考向三无参函数在有参区间的单调性

【例3-1】（24-25安徽）已知函数fx2x36x218x1在区间m,m22m上单调递减，则实数m的取值范

围是（）

A．3,0B．1,0C．3,5D．5,7

【答案】B

【解析】由题意，得f(x)6x212x186x3x1.

令fx0，得1x3，即函数fx的减区间为1,3，

因为fx在区间m,m22m上单调递减，所以m,m22m1,3，

m1

所以m22mm，解得1m0.故选：B.

2

m2m3

1

【例3-2】（2024安徽）已知函数fxx216lnx在区间2a1,2a1上单调递减，则a的取值范围是（）

2

131355

A．,B．,C．,D．,

222222

【答案】B

16x4x4

【解析】fxx,x0，当fx0，解得：0x4，

xx

2a1013

由条件可知2a1,2a10,4，所以，解得：a.故选：B.

2a1422

【一隅三反】

lnx

1.（23-24四川内江）函数f(x)在(a,)上单调递减，则实数a的取值范围为

x

【答案】[e,)

1

lnxxlnx1

【解析】函数的定义域为(0,)，求导得1lnx，

f(x)x

xf(x)22

xx

lnx

令f(x)0，解得xe，所以函数f(x)的单调递减区间为(e,)，

x

lnx

又函数f(x)在(a,)上单调递减，所以ae.所以实数a的取值范围为[e,).故选：B.

x

2

2（24-25江西）若函数fx1lnx在区间1a,2a内单调递增，则a的取值范围是．

x

【答案】0,1

212x

【解析】由题意可知：fx的定义域为0,，且fx，

x2xx2

令fx0，得0x2，可知fx的单调增区间为0,2，

1a0

若函数fx在区间1a,2a内单调递增，依题意，解得0a1，

2a2

所以a的取值范围是0,1.故答案为：0,1.

11

3.（2024·广东茂名）若fxx3x22x1是区间m1,m4上的单调函数，则实数m的取值范围

32

【答案】m5或m3

【解析】由题意，fxx2x2x2x1，

令fx0，解得1x2，令fx0，解得x1或x2，

所以fx在1,2上单调递减，在,1，2,上单调递减，

11

若函数fxx3x22x1在区间m1,m4上单调，

32

m11

则m41或m12或，解得m5或m3或m，

m42

即m5或m3.

考向四有参函数在无参区间的单调性

【例4-1】（24-25高三上·青海）若函数f(x)ax3x2a在6,4上单调递减，则a的取值范围为（）

1111

A．,B．,C．,D．,

9966

【答案】D

【解析】因为f(x)ax3x2a，所以f(x)3ax22x，

因为f(x)在6,4上单调递减，所以3ax22x0对x6,4恒成立，

2

得到3ax22x，即a对x6,4恒成立，

3x

2

令g(x)，则ag(x)对于x6,4恒成立，

3xmin

当x6,4时，由反比例函数性质得g(x)在6,4上单调递减，

11

得到g(x)ming(4)，即a,，故D正确.

66

故选：D

【例4-2】（24-25湖南·期末）已知函数f(x)ae2x(a2)exx在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A．a0B．a0C．a0D．a1

【答案】B

【解析】函数f(x)ae2x(a2)exx，求导得f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)，

由函数f(x)在R上单调递减，得xR，(aex1)(2ex1)0，

11

则xR，a，而0恒成立，因此a0，

exex

所以实数a的取值范围是a0.

故选：B

【例4-3】（23-24辽宁）若函数f(x)lnxax21在区间(1,2)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）

1111

A．,B．,C．,D．,

2288

【答案】C

12ax21

【解析】f(x)2ax，因为f(x)在区间(1,2)上存在单调递减区间，

xx

所以f(x)0在区间(1,2)上有解，即2ax210在区间(1,2)上有解，

当a0显然不出来；

1

当a0时，2a2210，即a，

8

故选:C．

【一隅三反】

kx1

1.（24-25浙江宁波·期中）若函数fx在2,上单调递增，则k的取值范围为（）

x21

44

A．kB．k1C．k1D．k

33

【答案】D

kx22xk

kx1

【解析】由fx，得fx2，

x21x21

又fx在2,上单调递增，

所以fx0在2,上恒成立，即kx22xk0在2,上恒成立，

22

k

即1在2,上恒成立，只需求出1的最小值即可，

xx

xx

1321

又tx在2,单调递减，所以t，则0，

x23t

424

所以0，故k.

3t3

故选：D

x

2.（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数fxlnax在定义域上单调递增，则实数a的取值范围

2x

为（）

A．,2B．,2C．2,D．2,

【答案】D

xx

【解析】由0,0,xx20，解得0x2，

2xx2

所以fx的定义域是0,2，

11

依题意可知fxlnxln2xax，fxa0在区间0,2上恒成立，

x2x

112xx2

即aaa0在区间0,2上恒成立，

x2xx2xx2x

22

即a2在区间0,2上恒成立，

xx2x11

22

由于1x11,0x11,1x110，

22

所以2的最大值为2，

x111

所以a2.

故选：D.

3.（24-25北京）若函数fxlnxax22在区间1,4内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）

11

A．,B．,

3232

11

C．,D．,

22

【答案】C

【解析】函数fxlnxax22的定义域是0,，

12ax21

所以fx2ax.

xx

当a0时，fx0，则fx在0,上单调递增，符合题意.

1

当a0时，由2ax210，得x（负根舍去），

2a

1

所以当x0,时，fx0,fx单调递增；

2a

1

当x,时，fx0,fx单调递减.

2a

依题意，函数fxlnxax22在区间1,4内存在单调递增区间，

11

所以1，解得a0.

2a2

1

综上，a.

2

故选：C.

ππ

4．（2024安徽宿州）已知函数fxlnxasinx在区间,上单调递增，则实数a的取值范围是（）

64

2343

A．,B．,

ππ

4223

C．,D．,

ππ

【答案】C

1

【解析】由函数fxlnxasinx，可得fxacosx，

x

ππππ1ππ

因为函数fx在区间,上单调递增，可得fx0在,上恒成立，即a≤在,上恒成立，

6464xcosx64

1cosxxsinx

设hx，可得hx，令gxcosxxsinx，可得gx2sinxxcosx

xcosx(xcosx)2

ππππππ2π2

当x,时，gx0，所以gx单调递增，又因为g()cossin0，

644444242

ππ42

π42

所以hx0，所以hx在,上单调递减，所以ah，即实数a的取值范围是,.

644ππ

故选：C.

1

5.（23-24河南）若函数fxax3xlnx2x3为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）

6

11

．．．．

A0,eB3,C3,eDe,

ee

【答案】B

11

【解析】函数求导得fxax2(lnx1)2ax2lnx1(x0)由题意可知，

22

1

f(x)0在(0,)内恒成立，即ax2lnx10在(0,)内恒成立，

2

2

2lnx2x2(2lnx2)2x

故a，令2lnx2x2x(32lnx)，

x2h(x),h(x)

x2x4x4

3

令h(x)0，得，

x=e2

33

当x(0,e2)时，h(x)0,h(x)在x(0,e2)上单调递增；

33

当x(e2,)时，h(x)0,h(x)在x(0,e2)上单调递减；

3

32lne221

则函数h(x)在(0,)有最大值为h(e2)，

3e3

(e2)2

1

故a，故选：B.

e3

考向五函数在区间不单调

【例5-1】（24-25高三上·黑龙江牡丹江）已知函数f(x)x22lnx在区间k21,k1上不单调，则k的取值

范围是（）

6

A．(1,2)B．(2,2)C．1,2D．,2

2

【答案】C

22(x1)(x1)

【解析】f(x)2x，又函数f(x)的定义域是(0,)，

xx

当0x1时，fx0，当x1时，fx0，故函数f(x)在0,1上单调递减，在(1,)上单调递增，

0k211

，解得1k2.故选：C

k11

【例5-2】（2024高三·全国·专题练习）（多选）若函数f(x)ax33x2x1恰好有三个单调区间，则实数a

的取值可以是（）

A．3B．1C．0D．2

【答案】BD

【解析】当a0时，f(x)3x2x1，显然不满足题意；

当a0时，依题意知，f(x)3ax26x1有两个不相等的零点，

a0

所以，解得a3且a0，

Δ3612a0

故选：BD．

【一隅三反】

x2

1.（2025北京）若函数fxlnx在0,k上不单调，则实数k的取值范围是（）

2

A．1,B．1,C．0,1D．0,1

【答案】B

1x21

【解析】因为fx的定义域为0,，且fxx，

xx

令fx0，解得x1；令fx0，解得0x1；

可知fx在0,1内单调递减，在1,内单调递增，

若函数fx在0,k上不单调，即1(0，k)，可得k1，所以实数k的取值范围是1,.故选：B

2.（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数fxx2x2ex2x5在区间2m1,3m2上不单调，

则m的取值范围是．

1

【答案】,1

3

【解析】由题得fx定义域为R，fx2xx1ex2x1ex2，

所以x1,时，fx0；x,1时，fx0，

所以函数fx在1,上单调递增，在,1上单调递减，

又函数fx在区间2m1,3m2上不单调，

11

所以2m113m2m1，故m的取值范围是,1.

33

1

故答案为：,1.

3

4

3（24-25上海）已知函数yx3b1x有三个单调区间，则实数b的取值范围为．

3

【答案】(,1)

4

【解析】由yx3b1x求导得：y4x2b1，

3

因该函数有三个单调区间，则方程4x2b10必有两相异实根，

则有b10，解得b1.故答案为：(,1).

ex11

4．（2025哈尔滨）已知函数fxaxaln在x,2上有三个单调区间，则实数a的取值范围

xx2

【答案

e2

a,2e

2

11

【解析】由题意可知函数在x,2上有三个单调区间，等价fx0在x,2有两个不同的

22

x1axex

根.，令，则，

fxfx0x11

x2

1ex

即axex0在x,2有唯不为1的一根，则有a有唯一不为1的根，

2x

exx1ex1

令gx，则gx，故当1x,gx0,gx单调递增，

xx22

e21

当2x1,gx0,gx单调递减，且g1=-e,g2=-,g=-2e,

22

e2

即a,2e

2

考向六单调性应用一---比较大小

x1

【例6-1】（23-24天津）已知函数fxcosxe，且af2、bf、cfln2，则a、b、c的大小

2

关系（）

A．abcB．acbC．cbaD．bca

【答案】D

【解析】由fxcosxex可得fxsinxex，

当x0时，fxsinxexsinx10，所以fx在0,上单调递增，

112ln2lneln4111

又ln20，所以ln2，即ln22，则ffln2f2，

222222

所以bca.故选：D

ln212ln3

【例6-2】（2025江苏）已知a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）

2e9

A．abcB．acb

C．bacD．bca

【答案】C

ln2ln41lneln9lnx

【解析】因为a，b，c，所以构造函数f(x)，

24ee9x

1lnx1lnx

因为f(x)，由f(x)0有：0xe，

x2x2

1lnxlnx

由f(x)0有：xe，所以f(x)在e,上单调递减，

x2x

ln2ln41lneln9

因为af4，bfe，cf9,

24ee9

因为94e，所以bac，故A，B，D错误.

故选：C.

【例6-3】（2024广东）已知a3.93.9,b3.93.8,c3.83.9,d3.83.8，则a,b,c,d的大小关系为（）

A．dcbaB．dbca

C．bdcaD．bcda

【答案】B

lnx1lnx

【解析】构造函数fx，则fx，

xx2

lnx

当xe,时，fx0，故fx在xe,上单调递减，

x

ln3.9ln3.8

所以f3.9f(3.8)，所以，3.8ln3.93.9ln3.8所以ln3.93.8ln3.83.9，3.93.83.83.9，

3.93.8

因为yx3.8在0,上单调递增，所以3.83.83.93.8，同理3.83.93.93.9，

所以3.83.83.93.83.83.93.93.9，故选：B

11

xx2

【例6-4】（2025湖南）已知函数f(x)22cosxx，若af2，bf(ee)，cf(ππ)，则（）

A．cbaB．acb

C．c<a<bD．b<c<a

【答案】B

【解析】因为f(x)2x2xcosxx2的定义域为R，

2

又f(x)2x2xcosxx2x2xcosxx2fx，所以f(x)是偶函数，

又f(x)(2x2x)ln2(2xsinx)，

令hx2xsinx，则hx2cosx0恒成立，所以当x0时，hxh00，即2xsinx0，

又y2x2x在0,上单调递增，所以y2x2x20200，

所以f(x)0在0,上恒成立，则f(x)在0,上单调递增，

lnx1lnx

构造函数g(x)，则g(x)，令g(x)0，得0xe，令g(x)0，得xe，

xx2

ln2ln4

所以g(x)在0,e上单调递增，在e,上单调递减，所以g(4)g(π)g(e)，又，

24

ln2ln4lnπlne111111

所以，所以2πe，所以πee，所以acb.故选：B.

24πe2πef(2)f(π)f(e)f(e)

【一隅三反】

x

1.（2025上海）已知函数f(x)=－ln2，则（）

ex

1111

A．f()f()B．f()f()

e2e2

1111

C．f()f()D．f(),f()的大小关系无法确定

e2e2

【答案】C

xexxexx1

【解析】由f(x)=-ln2求导得：f(x)，当x1时，f(x)0，

ex(ex)2ex

1111

于是得f(x)在(,1)上单调递减，因1，所以，f()f().故选：C

e2e2

ln212ln2

2（2025浙江）已知a,b,c，则这三个数的大小关系为（）

42ee2

A．cbaB．abc

C．acbD．cab

【答案】C

lnx22lnx

【解析】令fx,fx，令fx0得0xe，令fx0得xe，

2x(2x)2

所以fx在0,e上单调递增，在e,上单调递减，

e2e2

2lnln2

2ln2lneln2eln21

因为22，且af2,bfe，

c2222f42e

eeee2

e2

则feff2，即acb.故选：C.

2

3.（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知a20232022，b20242023，c20252024，则（）

A．acbB．bacC．abcD．bca

【答案】C