2026版高考数学复习专题突破：1.3 复数（精讲）（解析版）

1.3复数（精讲）

考向一复数的实部与虚部

【例1-1】（24-25高三上·山东济南·期中）已知复数z满足z(34i)12i，则z的虚部是（）

2222

A．B．C．iD．i

5555

【答案】A

【解析】由z(34i)12i，

12i(12i)(34i)34i6i8i2510i122

可得zi，所以z的虚部是，故选:A.

34i(34i)(34i)3242i225555

【例1-2】（2025·天津和平·一模）i为虚数单位，复数z3i1i的实部为.

【答案】2

【解析】z3i1i33iii224i,所以复数z3i1i的实部为2.故答案为：2.

【一隅三反】

z1

1.（2025高三·全国·专题练习）若复数z满足2i，则z的虚部为（）

i1

A．1B．iC．1D．i

【答案】C

z1

【解析】由2i，解得z1i12i3i，所以z4i．所以z的虚部为1．故选：C．

i1

4i

2.（2025·河南·三模）若复数z满足z2i，则z的虚部为（）

1i

7777

A．B．C．iD．i

2222

【答案】A

4i4i1i44iii253i57577

【解析】z2i2i2i2ii，所以zi，其z的虚部为.

1i1i1i2222222

故选：A.

2i

3.（2024·湖南·模拟预测）已知复数z，则复数z的实部与虚部之和为（）

1i

A．0B．1C．2D．2

【答案】B

2i2i1i3131

【解析】因为zi，所以复数z的实部与虚部之和1，故选:B.

1i1i1i2222

考向二复数的分类

【例2-1】（2025·贵州铜仁·三模）若复数zai23i为纯虚数，则实数a（）

13

A．1B．1C．D．

52

【答案】D

【解析】已知zai23i2a3ai2i3i22a33a2i是纯虚数，

33

则实部2a30，解得a，且虚部3a20，经检验a满足，故选：D

22

【例2-2】（24-25高三上·江苏南通·期末）（多选）已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是（）

A．若z2为实数，则z是实数B．若z2为虚数，则z是虚数

22

C．若z2z1，则z1z2是实数D．若z1z20，则z1z20

【答案】BC

2

【解析】对于A，B，设zxyi,x,yR，则z2xyi=x2y2+2xyi，

若z2为实数，则2xy0，但这不一定能得到y0，比如x0,y1，

这个时候满足z2为实数，但z不是实数，故A错误；

若z2为虚数，则2xy0，这一定能得到y0，此时z是虚数，故B正确；

对于C，D，设z1x1y1i,z2x2y2i,x1,x2,y1,y2R，

若z2x2y2iz1x1y1i，这表明x1x2,y1y2，

22

所以z1z2x1y1ix1y1ix1y1是实数，故C正确；

22222222

若z1z2x1y1ix2y2ix1x2y1y22x1y1x2y2i0，

2222

这表明x1x2y1y2x1y1x2y20，

但z1z2x1y1ix2y2ix1x2y1y2x1y2x2y1i不一定等于0，

22

比如x1y1x2y21，这个时候有z1z20，

但z1z2x1y1ix2y2ix1x2y1y2x1y2x2y1i2，故D错误.

故选：BC.

【一隅三反】

1.（2025·浙江·二模）已知i为虚数单位，复数za24(a2)i（aR）是纯虚数，则a（）

A．2或2B．2C．0D．2

【答案】D

a240

【解析】因为复数za24(a2)i（aR）是纯虚数，所以，

a20

由a240，得a2或a2，由a20，得a2，a2.故选：D.

3ia2i

2.（2024·山西运城）已知i为虚数单位，若为实数，则实数a（）

1i

A．1B．4C．2D．2

【答案】B

【解析】

3ia2i3a2(6a)i[(3a2)(6a)i](1i)(3a26a)(6a3a2)i

(2a2)(4a)i，

1i1i(1i)(1i)2

3ia2i

要使为实数，需满足4a0，所以a4.故选：B.

1i

3.（2025·陕西渭南·二模）（多选）已知z1,z2是复数，则下列说法正确的是（）

2

A．若z1z2，则z1z2是实数B．若z1为虚数，则z1是虚数

C．对于任意的复数z1,z1z1都是实数D．z1z2z1z2

【答案】BCD

【解析】设z1abi(a,bR)，

选项A，若z1z2，则z2abi，z1z22bi不一定是实数，A错；

222222

选项B，z1(abi)ab2abi是虚数，则ab0，ab，但a0，z1是虚数，B正确；

22

选项C，z1z1(abi)(abi)ab是实数，C正确；

选项，设，则22

Dz2cdi(c,dR)z1z2(abi)(cdi)acbd(adbc)i(acbd)(adbc)

222222222222，正确；

acbdadbc(ab)(cd)z1z2D

故选：BCD．

考向三复数对应的象限

【例3-1】（2025·河北沧州·模拟预测）复数2i在复平面内对应的点位于（）

1i

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

2i2i1i13i13

【解析】因为i，

1i1i1i222

13

所以该复数在复平面内对应的点为,，位于第一象限，

22

故选：A.

【例3-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“a0”是“复数22ai在复平面内对应的点在第一象限”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若复数22ai在复平面内对应的点在第一象限，则2a0，所以a2，

故“a0”是“复数22ai在复平面内对应的点在第一象限”的充分不必要条件.

故选：A.

【一隅三反】

1.（2025·湖北武汉·一模）15i43i在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【解析】15i43i43i20i151917i，其在复平面内所对应的点的坐标为19,17，位于第四象限.

故选：D.

2.（2025·四川·模拟预测）复数z满足zi2z1，则在复平面内，复数z对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

12i2121

【解析】zi，复数z在复平面内对应的点为,，位于第一象限.

2i2i2i5555

故选：A.

2

3（2025·河南·二模）已知z1i，则在复平面内，复数zi对应的点位于（）

z

A．实轴上B．虚轴上

C．直线yx上D．直线yx上

【答案】C

2221i21i

【解析】因为z1i，所以zii1ii+1+i+122i.

z1i1i1i2

2

所以复数zi所对应的点坐标为2,2，位于直线yx上.故选：C.

z

考向四复数的模长

【例4-1】（2025·安徽黄山·二模）设复数z满足1iz4i，则z（）

A．22B．2C．2D．4

【答案】A

4i|4i|4

【解析】由题设z，则z22.故选：A

1i|1i|2

【例4-2】（2025·江苏南通·二模）已知复数z满足zz13i，其中i为虚数单位，则zz（）

A．1B．2C．2D．4

【答案】C

22

【解析】由zz13i，所以zzzz=z=13i=2，又zzz2，故选：C

【一隅三反】

1.（2025·江西南昌·二模）已知复数z满足iz34i，则z（）

A．2B．2C．5D．7

【答案】C

34i34ii2

【解析】已知iz34i，即z．则z43i．可得z4235．故选：C．

iii

2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数z满足3zi(1z)i，则z（）

101024

A．B．C．D．

51055

【答案】A

2i2i(3i)26i13

【解析】由3zi(1z)i，得(3i)z2i，则zi，

3i(3i)(3i)1055

1310

所以|z|()2()2.故选：A

555

3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若复数z1i，则z2z（）

A．2B．3C．10D．23

【答案】A

222

【解析】因为z1i，所以z(1i)12ii2i，z1i，

222

则z2z2i1i1i，所以zz112，故A正确.故选：A

考向五复数范围内解方程

【例5-1】（2025·重庆·二模）若13i是关于x的方程x2pxq0的虚数根，且p,qR，则（）

A．p2，q10B．p2，q10

C．p2，q10D．p2，q10

【答案】C

2

【解析】将13i代入x2pxq0可得13ip13iq0，

化简可得3p6i8pq0，

故3p60且8pq0，解得p2，q10，

故选：C

2

【例5-2】（2025·吉林长春·一模）（多选）在复数范围内，方程zz20的两个根分别为z1，z2，则（）

A．z1z2iB．z1z21

C．z1z2D．z1z22

【答案】BCD

【解析】对A，根据韦达定理知z1z22，故A错误；

对B，根据韦达定理知z1z21，故B正确；

17i

对C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则z1z2，故C正确；

2

22

17

对D，因为zz，则，故D正确.

12z1z22

22

故选：BCD.

【一隅三反】

2

1.（2025·河北·模拟预测）若复数z1,z2是方程z122i的两个不同的根，则z1z2（）

A．122iB．122iC．9D．9

【答案】A

【解析】设zabia,bR.则z2a2b22abi，

22

ab1,a2,a2,

因为z2122i，所以解得或

2ab22,b1b1,

不妨设z12i,z22i，

则z1z22i2i122i.

故选：A.

2

2.（24-25云南）（多选）已知a，bR，关于x的方程xaxb0的一个根是z112i，另一个根是z2，其

中i是虚数单位，则下面四个选项正确的有（）

A．复数z1对应的点在第四项象限B．ab10

C．z1z2D．z1z2

【答案】ABC

【解析】复数z112i，复数z1对应的点为1,2，所以，复数z1对应的点在第四象限，故A正确；

2

已知a，bR，关于x的方程xaxb0的一个根是z112i，

2

则12ia12ib0，整理得ab32a4i0，

ab30a2

所以，；解得：，所以，ab10，故B正确；

2a40b5

2

由a2，b5得方程x2x50，又知道一个根是z112i，

所以，结合韦达定理，可得另一个根是z212i，所以，z1z2，故C正确；

两个虚数不能比较大小，故D错误；

故选：ABC．

3．（2025·广东湛江·一模）（多选）复数z1，z2满足z1z24，z1z28，则（）．

A．z1z28B．z1z24

z1

C．z1z24D．1

z2

【答案】ABD

2

【解析】依题意得，复数z1，z2是方程x4x80的两个根，

22

x24x80可得Δ448164i，

2

解得44i44i，则，，

x22iz122iz222i

22

所以z1z2444422228，故选项A正确；

z1z24i4，故选项B正确；

z1z2222242，故选项C错误；

2

z22i22i8i

1i1，故选项D正确．

z222i448

故选：ABD．

考向六复数相关的轨迹问题

【例6-1】（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足z1z32i，且z在复平面内对应的点为x,y，则（）

A．xy30B．xy30C．5x2y60D．5x2y60

【答案】A

【解析】z在复平面内对应的点为x,y，则zxyix,yR，

222

由z1z32i，得x1y2x3y2，

化简得xy30.

故选：A.

【例6-2】（2025·河南安阳·一模）若复数z满足z12，则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形的周长

为（）

A．πB．2πC．3πD．4π

【答案】D

2

【解析】设zxyix,yR，由z12，则x1y24，

则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形为以1,0为圆心，2为半径的圆，

故复数z所对应的点组成的图形的周长为2π2=4π.故选：D.

【例6-3】（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选）设复数z在复平面内对应的点为Za,b（a，bR），

则下列选项正确的有（）

A．zz2aB．zza2b2

C．若z11，则点Z的轨迹的长度为πD．若z1z14，则点Z的轨迹为椭圆

【答案】ABD

【解析】依题意，zabi,a,bR，

对于A，zabi，则zz2a，A正确；

对于B，zz(abi)(abi)a2b2，B正确；

对于C，z11表示点Z与点(1,0)的距离为1，其轨迹是以点(1,0)为圆心1为半径的圆，

则点Z的轨迹的长度为2π，C错误；

对于D，z1z14表示点Z与定点(1,0),(1,0)的距离和为4（大于两定点间距离）

则点Z的轨迹为椭圆，D正确.

故选：ABD

【一隅三反】

1．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足z1，则复数z对应的点Z的集合所形成图形的面积为

（）

π3

A．B．πC．πD．2π

22

【答案】B

【解析】因为z1所以复数z对应的点表示的是以1为半径的圆，

所以面积为π.

故选：B.

2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知复数z满足z1z14，则下列说法正确的是（）

A．z≤2B．z11

C．若zR，则z2D．若z2R，则z2

【答案】ABC

【解析】设zmni，则复数z在复平面内对应点Pm,n，设F11,0,F21,0，

则22，同理z1PF，

z1m1nim1nPF12

∴z1z1PF1PF24，即点P的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴a2，焦半径c1，

x2y2

∴短半轴ba2c23，∴点P的轨迹方程为：1，

43

A选项：zOPa2，A选项正确；

B选项：z1PF2ac1，B选项正确；

C选项：若zR，即n0，令y0，则x2，∴z2，C选项正确；

D选项：z2m2n22mni，若z2R，则m0或n0，当m0时，n3，此时z3；当n0时，m2，

此时z2，D选项错误.

故选：ABC.

3．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）设复数z在复平面内对应的点为Z，则下列选项正确的有（）

A．若z11，则z33i的最大值为6

B．若z1z12，则点Z的轨迹为椭圆

C．若z1z14，则点Z的轨迹为椭圆

D．若z11z220，则点Z轨迹的长度为6π

【答案】ACD

【解析】在复平面内，设点A(1,0),B(1,0),C(3,3),D(2,0)，复数zxyix,yR所对应点Z(x,y)，

对于A，A,C两点的距离AC(31)2(30)25,z1表示A,Z两点的距离，又z11，

则点Z的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆，∣z33∣i表示C,Z两点的距离，

则z33i的最大值为AC16，A正确；

对于B，z1表示A,Z两点的距离，z1表示B,Z两点的距离，

由z1z12AB，则点Z的轨迹为线段AB，B错误；

对于C，z1z14AB，则点Z的轨迹是以B,A为左，右焦点，长轴长为4的椭圆，C正确；

对于D，(|z1|1)(|z2|2)0，即z11或z22，由z11表示以A为圆心，1为半径的圆，

同理z22表示以D为圆心，2为半径的圆，点Z轨迹的长度为2π12π26π，D正确.

故选：ACD

考向七复数模长轨迹相关的最值问题

z1

【例7-1】（2025·河南·一模）设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则z的最大值为（）

zi

A．1B．2C．3D．2

【答案】B

2

1a1a2a2

z11a

【解析】设，因此，z21212，

aia0z21

zi1ai1a1a1aa

a

当且仅当a1时取“”，所以z的最大值为2.

故选：B．

【例7-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足z3i1（i为虚数单位），则z的最大值为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】设zxyix,yR，若z满足z3i1，即x3y1i1，

2222

所以x3y11，即x3y11，

则点x,y在以3,1为圆心，1为半径的圆上，易知原点在圆外，

2

又圆心到坐标原点的距离为3122，所以z的最大值为213，

故选：C．

11b

【例7-3】（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知复数zabia,bR满足zz2，则的最

22a2

大值为（）

133

A．B．C．D．3

232

【答案】B

2

111212222

【解析】因为zz2，所以aba2b，整理得ab1，

2224

故复数z在复平面内的点的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为1的圆．

bb0

又可以看成单位圆上的点(a,b)与P2,0两点连线的斜率，

a2a2

1

如图，直线与单位圆分别切于点A,B，sinAPOsinBPO，

2

因为APO和BPO都为锐角，

π

所以BPOAPO，

6

b33b3

所以,，即的最大值为．

a233a23

故选：B

【一隅三反】

1．（2025·湖南·模拟预测）若z是复数，z2i1，则z的最大值为（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】B

【解析】设zxyix,yR，则复数z在复平面上的对应点为Zx,y，

22

因为z2i1，所以x2y21，故x2y21，

所以点Z的轨迹为以点0,2为圆心，1为半径的圆，所以点Z到原点的最大距离为213，

所以z的最大值为3.故选：B．

2（2025·上海杨浦·二模）已知复数z满足|z1i|1，其中i为虚数单位，则z的最小值为.

【答案】21

【解析】在复平面内，|z1i|1表示复数z对应的点Z与复数1i对应点A(1,1)的距离为1，

因此点Z的轨迹是以A(1,1)为圆心，1为半径的圆，

z表示点Z到原点O的距离，所以z的最小值为|OA|121.

故答案为：21

3.（2025·吉林·三模）已知复数z1满足z11z1i，复数z2满足z242，则z1z2的最小值为．

【答案】2

,

【解析】设z1xyixyR，由z11z1i得x1yixy1i，

22

∴x1y2x2y1，整理得yx，

∴复数z1在复平面内对应的点x,y的轨迹为直线yx.

设z2mnim,nR，则z24m4ni，

2222

由z242得，m4n2，即m4n2，

∴复数z2在复平面内对应的点m,n的轨迹是以4,0为圆心，2为半径的圆，

4-0

d==22

∵z1z2表示复平面内z1与z2所对应的点之间的距离，圆心4,0到直线yx的距离为2，

12+(-1)

∴z1z2的最小值为2222.

故答案为：2.

考向八复数的运算及性质

【例8-1】（2025·陕西咸阳·一模）（多选）已知复数z1，z2，则（）．

zz

A．若z1z2，则12B．若z1z1z2z2，则z1z2

C．若z1z20，则z1z2z1z2D．若z1z2，则z11z21

【答案】BC

【解析】对于A、D：当z11,z2i时，z1z2，但z1z2，故A错误；

又z1102z21，故D错误；

22

对于B：由|z1|z1z1z2z2|z2|，可得z1z2，故B正确；

对于C：设z1abi,z2cdi，且a,b,c,dR，

acbd

22

由z1z2acbd(adbc)i0，可得，则acdbdbc，

adbc

若b0，则a0或cd0；若b0，则cd0，

当ab0，则z1z2z2z1z2，

当bcd0，则z1z2z1z1z2，

当b0，cd0，则z1z2z1z1z2，

综上，z1z2z1z2，故D正确.

故选：BC.

【一隅三反】

1．（2025·山东菏泽·模拟预测）（多选）已知复数z1，z2，z1为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）