2026版高考数学复习专题突破：3.1 导数几何意义及运算（精练）（试卷版）（解析版）

3.1导数几何意义及运算（精练试卷版）

一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。

1.（2025·福建莆田·二模）曲线yxexx在点P处切线的斜率为1，则P的坐标为（）

1

A．1,1B．1,1C．1,e1D．1,2e1

e

【答案】B

【解析】yx1ex1，令x1ex11，则x1ex0，故x1，

111

当x1时，ye11，即P的坐标为1,1.

ee

故选：B.

2（2025·湖南）已知P是曲线C:ylnxx23ax上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若

，则实数a的取值范围是（）

32

A．23,0B．22,0C．,23D．,22

【答案】D

1

【解析】因为ylnxx23ax，所以y2x3a，

x

πππ

因为曲线在M处的切线的倾斜角,，所以ytan3对于任意的x0恒成立，

323

1111

即2x3a3对任意x0恒成立，即a2x，又2x22，当且仅当2x，

xxxx

2

即x时，等号成立，故a22，所以a的取值范围是,22．故选：D．

2

3.（2025河南洛阳）已知函数fxx3x22x1，则曲线yfx过坐标原点的切线方程为（）

A．yxB．y2xC．y3xD．y4x

【答案】C

【解析】设切点为t,t3t22t1，fx3x22x2，则切线斜率为ft3t22t2，

所以，所求切线方程为yt3t22t13t22t2xt，

2

将原点坐标代入所求切线方程可得2t3t210，即t12tt10，解得t1，

因此，所求切线方程为y3x.故选：C.

x23x,x0,2

4.（2025·江西·二模）已知函数f(x)，则fx在点7,f(7)处的切线方程为（）

2f(x2),x(2,)

A．8xy400B．4xy120

C．8xy720D．x4y220

【答案】A

【解析】当x0,2时，fx2x3，

当x6,8时，fx2fx28fx6，则fx8fx6，

所以f78f116，f78f18，

则所求切线方程为y168x7，即8xy400.

故选：A

5（2025·江苏）若点P是曲线yx2lnx上任一点，则点P到直线xy60的最小距离是（）

A．2B．22C．32D．23

【答案】C

2

【解析】解：设与直线xy60平行的直线与曲线yxlnx切于Px0,y0，

1

21y|2x

由yxlnx定义域为0,，得y2x，则xx00，

xx0

1

由2x01，解得x01（舍去负值）．

x0

|116|

P1,1，则点P到直线xy60的最小距离是32．故选：C．

2

6．（2025·江西·一模）已知函数fxxex112的图象在xtt0处的切线过原点，则t所在的区间是（）

A．3,4B．2,3C．1,2D．0,1

【答案】B

【解析】因为fxxex112，所以fxx1ex1.

ft

因为fx的图象在xt处的切线过原点，则ft，

t

tet112

即t1et1，即t2et1120.

t

设gtt2et112，因为yx2,yet1在0,上均单调递增，且函数值为正，

所以gt在0,上单调递增，且g24e120，g39e2120，

所以t2.3.

故选：B.

7.（2025·江西新余·模拟预测）过y轴上一点0,a可以作函数fxx3x2x图像的3条切线，则a的取值范

围是：（）.

11111

A．,0B．,0C．,0D．,

279339

【答案】A

【解析】因为fxx3x2x，所以fx3x22x1，

32232

设切点为(x0,x0x0x0)，则切线方程y3x02x01xx0x0x0x0，

32

而l过0,a，将0,a代入方程得到a2x0x0，

令gx2x3x2，gx6x22x，

1

令gx0，x,0,，此时gx单调递减，

3

1

令gx0，x,0，此时gx单调递增，

3

11

故gx有极小值g，有极大值g00，

327

1

则得到a,0，故A正确.

27

故选：A.

*2n1

8（24-25高三上·河北唐山·期末）设nN，xn是曲线yx2在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标，记

nxx

ann1，则数列a的前50项和为（）

nn1n

5100515050004950

A．B．C．D．

101101101101

【答案】A

【解析】y2n1x2n2，当x1时，y2n1，

在点(1,1)处的切线为：y(1)(2n1)(x1)，

化简为：y(2n1)x2n，

当y0代入y(2n1)x2n中，

2n2n

x，即x，

2n1n2n1

2n2(n1)

n

nxx2n12(n1)14n2，

ann1

nn1n1(2n1)(2n1)

4n21111

化简：an11，

4n21(2n1)(2n1)22n12n1

1111111505100

则数列an的前50项和为：a1a2a3a505050，

2133599101101101

故选：A．

二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。

1

9.（24-25陕西西安）下列函数中，直线yxb能作为其图像的切线的函数是（）

2

1

A．fxB．gxxlnxC．mxsinxD．nxexx

x

【答案】BC

11

【解析】直线yxb能作为下列函数图象的切线，即函数图象存在某点的导数值为，

22

1111

选项A，（fx），故fx，令，无解，故A不正确；

xx2x22

1

1

选项B，gxxlnx，故gxlnx1，令lnx1，得2，故B正确；

2xe

1ππ

选项C，mxsinx，故mxcosx，令cosx，解得x2kπ或x2kπ，kZ，故C正确；

233

xx11

选项D，nxex，故nxe1，令ex1，故ex，无解，故D不正确.

22

故选：BC.

10．（2025·河北保定·一模）已知曲线fx2x23x4,gxexn,hxxm，则（）

A．直线y7x2与曲线fx相切

B．若直线yx4与曲线gx相切，则n3

C．当曲线hx与曲线fx,gx都相切时，mn1

D．当n0时，若过原点可作曲线ygxhx的两条切线，则m0或m4

【答案】ACD

【解析】选项A：联立fx2x23x4和y7x2，得x22x10,Δ0，

所以直线y7x2与曲线fx相切，故A正确；

exn=1x3

选项：由xn，得xn，由，得，故错误；

BgxegxexnB

e=x4n3

选项C：由fx2x23x4，得fx4x3，令fx1，得x1，

则f12343，所以切线方程为y3x1，即yx2，则m2，

令gxexn1，得xn，则gne01，

所以切线方程为y1xn，即yxn1，则n12,n3，

所以mn1，故C正确；

选项D：当n0时，gxex，令txgxhxexxm，

xx0

则txexm1，设过原点的直线与曲线tx切于点x0,ex0m，

x0x0

则切线方程为yex0mex0m1xx0，

x0x02

将原点0,0代入得ex0mx0ex0m1，整理得x0mx0m0，

则Δm24m0，解得m0或m4，故D正确.

故选：ACD.

11.（24-25安徽合肥）直线ykx7与曲线yx3ax2b相切于点A2,1，则（）

A．k4B．a2C．b1D．kab8

【答案】ABC

【解析】由题意，直线ykx7与曲线yx3ax2b相切于点A2,1，

所以点A2,1代入直线ykx7，可得k4，

令fxx3ax2b，则f(x)3x22ax，

f(2)124a，

124a4，解得a2，

即fxx32x2b，

把点A2,1代入得f223222b1，

解得b1，故kab8．

故选：ABC．

三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（2024·天津和平·二模）过点0,0作曲线y2xxR的切线，则切点的坐标为．

1

【答案】,e

ln2

【解析】设切点的坐标为t,2t，由y2xxR，y2xln2，

所以过切点的切线方程为：y2t2tln2xt，

把0,0代入得：2tt2tln2，即tln21，

1111

所以t，则切点坐标为：,2ln2即,e.

ln2ln2ln2

1

故答案为：,e

ln2

1

13．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数fxax图象的一条切线的方程为3ax4y4a0，则

x

a．

【答案】1

11

【解析】对函数fxax求导得fxa，

xx2

3a13a4

直线3ax4y4a0的斜率为，由fxa，可得x2，

4x24a

2

显然a0，解得x，

a

22a5a

若切点横坐标为x，则f2a，

aa22

25a

则切点,在直线3ax4y4a0上，

a2

可得6a10a4a4a4a0，解得a1；

22a5a

若切点横坐标为x，f2a，

aa22

25a

则切点,在直线3ax4y4a0上，

a2

可得6a10a4a4a4a0，无解.

综上所述，a1.

故答案为：1.

xx2

14．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线l分别与曲线fxlnx，gxe相切于点x1,lnx1，x2,e，

12

则的值为.

x1x21

【答案】1

1

【解析】由fxlnx，gxex，有fx，gxex，

x

1

fx在点x1,lnx1处的切线方程为ylnx1xx1，

x1

x2x2x2

gx在点x2,e处的切线方程为yeexx2，

1

ex2

x2x2

则有x1，得lnx11lne1x21e1x2，

x2

lnx11e1x2

x1x1x122212

所以e22211，可得1.

x11x21x21x2x21x1x21

故答案为：1.

四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15（2024-2025河北）已知函数fxexax1,f2e23．

(1)求a的值；

(2)求曲线yfx在点0,f0处的切线方程．

【答案】(1)a3(2)2xy20

【解析】（1）由fxexax1，得fxexa，

2

因为f2e3，所以e2ae23，解得a3．

（2）由上问得a3，所以fxex3x1，则f0e012，

因为fxex3x1，所以fxex3,f0e032，

所以曲线yfx在点0,f0处的切线方程为y22x，即2xy20．

16（24-25重庆合川·阶段练习）已知函数fxx3.

(1)求曲线yfx在点1,1处的切线方程；

(2)求过点1,1且与曲线yfx相切的直线的切点坐标.

【答案】(1)3xy20

11

(2),或1,1

28

【解析】（1）因为fxx3，求导得fx3x2，故f13，

因此，曲线fx在点1,1处的切线方程为y13x1，即3xy20.

33

（2）设切点坐标为t,t，则曲线yfx在点t,t处的切线的斜率为3t2，

故所求切线方程为yt33t2xt，

将点1,1的坐标代入切线方程得1t33t21t，

21

整理可得2t33t210，即2t1t10，解得t或t1，

2

11

故所求切点的坐标为,或1,1.

28

a

17．（2025·江苏盐城·三模）若函数fxlnx0与函数gx1的图象在公共点处有相同的切线.

x

(1)当1时，求函数fx与gx在公共点处的切线方程；

(2)求a的最小值：

【答案】(1)yx1.

(2)1

【解析】（1）当1时，fxlnx，

设x0,y0为fx与gx的一个公共点，

1a

因fx,gx，

xx2

a

lnx01

x0x1

则得0，

1aa1

2

x0x0

故切点为1,0且k1，

所以fx与gx在公共点处的切线方程为yx1.

（2）设Px0,y0x00为fx与gx的一个公共点，

a

因fx,gx，

xx2

a

①

lnx01,

x0

则

a

,②

2

x0x0

aaa

由②得x0a0，即，将其代入①中得，lnx01，

x0x0x0

1lnx1

即0，

ax0

lnx11lnx1lnx

令hx，则hx，

xx2x2

则当0x1时，hx0,hx在区间0,1单调递增；

当x1时，hx0,hx在1,单调递减，

1

故h(x)h11，又因a0，故a1，当且仅当x1,1时取“”，

amax0

故a的最小值为1.

e

18．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数f(x)x2x．数列xx1的首项x．以后各项按如下

nn11e

方式取定：记曲线yf(x)在xn,fxn处的切线为ln，若fxn0，则记ln与x轴交点的横坐标是xn1．

x

(1)证明：数列lnn为等比数列；

xn1

x

n

(2)设anln，求数列nan的前n项和Sn．

xn1

【答案】(1)证明见解析

n

(2)Sn(n1)21

【解析】（1）由f(x)x2x，得fx2x1，

=

曲线yf(x)在xn,fxn处的切线方程为yfxnfxnxxn，

22

fxnxnxnxn

根据题意令y0可得，xn1xnxn，

fxn2xn12xn1

2

xn

x2x1x2x2x

n1nnnn

由lnln2ln2ln22ln，

xn11xnxn2xn1x1xn1

1n

2xn1

xxx

nne1

因为xn1，所以1ln0，且由x1得，ln1

xn1xn11ex11

x

所以数列lnn是以1为首项，2为公比的等比数列．

xn1

n1n1

（2）由上式得an2，nann2，

01n1

则Sn1222n2，①

1n1n

两边乘以2可得：2Sn12(n1)2n2，②.

12n

由①－②得，S20212n1n2nn2n2n1n2n1n2n1，

n12

n

所以Sn(n1)21．

2

xx

19．（2025·湖北·二模）已知函数fxtet0的图象Γ与椭圆C:y21a1交于A,B两个不同的

a2

点.P00,f0是Γ上的点，Γ在P0处的切线交x轴于点Q1a1,0，过Q1作x轴的垂线交Γ于P1,Γ在P1处的切线交

x轴于点Q2a2,0，过Q2作x轴的垂线交Γ于P2，重复上述操作，依次得到Q3a3,0,Q4a4,0,,Qnan,0.

(1)求a1,an；

(2)记直线AB的斜率为k.

（i）设AQnQn1,BQn1Qn2的面积分别为Sn,Tn，证明：kSnTn；

1

（ii）若a2aa，求证：k.

nn1n1

【答案】(1)a11，ann.

(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

x

【解析】（1）解：由题意fxte，kf0t，f0t，Γ在P0处的切线方程为ytxt；

令y0，可得x1，即a11.

an，an

由Qnan,0可知Pnan,teΓ在Pn处的切线方程为ytexan1；

令y0可得xan1，即an1an1；

所以数列an是以a1为首项，公差为1的等差数列，所以ann.

（2）（i）设Ax1,y1,Bx2,y2，由题意x1,x2不同时为0，不妨令x10且x1x2；

y1y2

SQQ，TQQ.

n2nn1n2n1n2

由（1）可知Qn1Qn2QnQn1anan11；

ytyt

则S1ex1，T2ex2.

n22n22

x1x2x1x2x1x2x1x2

y1y2teteteteeeee

要证kSnTn，即证k