求顶点式的题目及答案

求顶点式的题目及答案一、选择题（每题5分，共30分）1.二次函数f(x)=2x²-8x+5的顶点式是：A.f(x)=2(x-2)²+1B.f(x)=2(x-2)²-3C.f(x)=2(x+2)²+1D.f(x)=2(x+2)²-32.已知二次函数的顶点为(3,-2)，且经过点(1,4)，则该函数的顶点式为：A.f(x)=(x-3)²-2B.f(x)=1.5(x-3)²-2C.f(x)=2(x-3)²-2D.f(x)=3(x-3)²-23.将二次函数f(x)=-x²+6x-8化为顶点式，其顶点坐标为：A.(3,-1)B.(-3,1)C.(3,1)D.(-3,-1)4.二次函数f(x)=3(x-1)²+2的图像与y轴的交点坐标是：A.(0,5)B.(0,-5)C.(0,2)D.(0,-2)5.已知二次函数的顶点式为f(x)=-2(x+3)²+4，则该函数的最值是：A.最大值4B.最小值4C.最大值-4D.最小值-46.二次函数f(x)=a(x-h)²+k的图像经过点(0,0)和(2,0)，且顶点在x轴上方，则：A.a>0,h=1,k>0B.a<0,h=1,k>0C.a>0,h=1,k<0D.a<0,h=1,k<0二、填空题（每题5分，共30分）7.将二次函数f(x)=x²-6x+10化为顶点式，得f(x)=__________。8.已知二次函数的顶点为(-2,5)，且a=-1，则该函数的顶点式为__________。9.若二次函数f(x)=2(x-h)²+k的顶点在y轴上，则h=__________。10.二次函数f(x)=-3(x+2)²+1的对称轴方程是__________。11.将二次函数f(x)=2x²-4x+1化为顶点式后，其顶点坐标为__________。12.若二次函数f(x)=a(x-1)²+3的最小值为3，则a的取值范围是__________。三、解答题（每题10分，共40分）13.已知二次函数f(x)=x²-4x+3。(1)求该函数的顶点坐标；(2)将函数化为顶点式；(3)求函数的最值。14.已知二次函数的图像经过点A(1,0)、B(3,0)和C(0,3)。(1)求该二次函数的一般式；(2)将函数化为顶点式；(3)求函数的顶点坐标和对称轴方程。15.已知二次函数f(x)=a(x-h)²+k的顶点为(2,-1)，且当x=0时，f(x)=3。(1)求该函数的顶点式；(2)求函数与x轴的交点坐标；(3)画出函数的大致图像。16.某商店销售一种商品，每天的销售量p(件)与销售单价x(元)之间的关系为p=-2x+40，总收入R(元)为销售量与单价的乘积。(1)求总收入R关于销售单价x的函数关系式；(2)将R(x)化为顶点式，并求出最大收入及相应的销售单价；(3)若商店每天固定成本为100元，商品每件成本10元，求利润函数的最大值。四、证明题（每题10分，共20分）17.证明：对于任意二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，都可以表示为顶点式f(x)=a(x-h)²+k的形式，其中h=-b/(2a)，k=f(h)=(4ac-b²)/(4a)。18.已知二次函数f(x)=a(x-h)²+k，证明：(1)当a>0时，函数在x=h处取得最小值k；(2)当a<0时，函数在x=h处取得最大值k。五、应用题（每题10分，共30分）19.一个运动员将铅球以初速度v₀=10m/s，与水平方向成45°角推出，不计空气阻力，铅球的高度h(m)与时间t(s)的关系为h(t)=-5t²+5√2t。(1)将h(t)化为顶点式；(2)求铅球能达到的最大高度及所用时间；(3)求铅球在空中的总时间。20.某农场要围一个矩形养鱼池，一边靠墙，其他三边用篱笆围成，已知篱笆总长为40米，求养鱼池的最大面积。21.某公司生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，销售单价为p元时，销售量q=1000-5p。(1)求利润函数L(p)；(2)将L(p)化为顶点式，并求最大利润及相应的销售单价；(3)若公司希望获得20000元的利润，应如何设定销售单价？答案及解析1.答案：B解析：将二次函数f(x)=2x²-8x+5化为顶点式：f(x)=2(x²-4x)+5=2(x²-4x+4-4)+5=2[(x-2)²-4]+5=2(x-2)²-8+5=2(x-2)²-3因此，顶点式为f(x)=2(x-2)²-3，对应选项B。其他选项分析：A：f(x)=2(x-2)²+1=2(x²-4x+4)+1=2x²-8x+8+1=2x²-8x+9≠原函数C：f(x)=2(x+2)²+1=2(x²+4x+4)+1=2x²+8x+8+1=2x²+8x+9≠原函数D：f(x)=2(x+2)²-3=2(x²+4x+4)-3=2x²+8x+8-3=2x²+8x+5≠原函数2.答案：B解析：已知二次函数的顶点为(3,-2)，则顶点式为f(x)=a(x-3)²-2。又因为函数经过点(1,4)，代入得：4=a(1-3)²-24=4a-26=4aa=1.5因此，顶点式为f(x)=1.5(x-3)²-2，对应选项B。其他选项分析：A：当a=1时，f(1)=(1-3)²-2=4-2=2≠4C：当a=2时，f(1)=2(1-3)²-2=8-2=6≠4D：当a=3时，f(1)=3(1-3)²-2=12-2=10≠43.答案：A解析：将二次函数f(x)=-x²+6x-8化为顶点式：f(x)=-(x²-6x)-8=-(x²-6x+9-9)-8=-[(x-3)²-9]-8=-(x-3)²+9-8=-(x-3)²+1因此，顶点式为f(x)=-(x-3)²+1，顶点坐标为(3,1)，对应选项A。其他选项分析：B：顶点(-3,1)对应的顶点式为f(x)=a(x+3)²+1，展开后与原函数不符C：虽然顶点坐标正确，但a的符号错误，应为负数D：顶点(-3,-1)对应的顶点式为f(x)=a(x+3)²-1，展开后与原函数不符4.答案：A解析：二次函数f(x)=3(x-1)²+2的图像与y轴的交点是当x=0时的点。f(0)=3(0-1)²+2=3(1)+2=5因此，交点坐标为(0,5)，对应选项A。其他选项分析：B：f(0)=5≠-5C：f(0)=5≠2D：f(0)=5≠-25.答案：A解析：二次函数f(x)=-2(x+3)²+4中，a=-2<0，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。顶点坐标为(-3,4)，因此函数的最大值为4，对应选项A。其他选项分析：B：a<0，函数没有最小值C：最大值是4，不是-4D：a<0，函数没有最小值6.答案：B解析：二次函数f(x)=a(x-h)²+k的图像经过点(0,0)和(2,0)，且顶点在x轴上方。由于函数经过(0,0)和(2,0)，这两个点关于x=1对称，因此对称轴为x=1，即h=1。顶点坐标为(1,k)，且顶点在x轴上方，所以k>0。又因为函数经过(0,0)，代入得：0=a(0-1)²+k0=a+ka=-k由于k>0，所以a=-k<0。因此，a<0，h=1，k>0，对应选项B。其他选项分析：A：a>0与a=-k<0矛盾C：k<0与顶点在x轴上方矛盾D：h=1正确，但a<0，k<0与顶点在x轴上方矛盾7.答案：f(x)=(x-3)²+1解析：将二次函数f(x)=x²-6x+10化为顶点式：f(x)=(x²-6x)+10=(x²-6x+9-9)+10=(x-3)²-9+10=(x-3)²+18.答案：f(x)=-(x+2)²+5解析：已知二次函数的顶点为(-2,5)，且a=-1，则顶点式为：f(x)=a(x-h)²+k=-1(x-(-2))²+5=-(x+2)²+59.答案：0解析：若二次函数f(x)=2(x-h)²+k的顶点在y轴上，则顶点的x坐标为0，即h=0。10.答案：x=-2解析：二次函数f(x)=-3(x+2)²+1的顶点式为f(x)=-3(x-(-2))²+1，顶点坐标为(-2,1)，对称轴为x=-2。11.答案：(1,-1)解析：将二次函数f(x)=2x²-4x+1化为顶点式：f(x)=2(x²-2x)+1=2(x²-2x+1-1)+1=2[(x-1)²-1]+1=2(x-1)²-2+1=2(x-1)²-1因此，顶点坐标为(1,-1)。12.答案：a>0解析：二次函数f(x)=a(x-1)²+3的顶点为(1,3)。当a>0时，抛物线开口向上，函数在x=1处取得最小值3。当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=1处取得最大值3。因此，若函数的最小值为3，则a>0。13.解答：(1)二次函数f(x)=x²-4x+3的顶点横坐标为h=-b/(2a)=4/(2×1)=2。顶点纵坐标为k=f(2)=2²-4×2+3=4-8+3=-1。因此，顶点坐标为(2,-1)。(2)将函数化为顶点式：f(x)=x²-4x+3=(x²-4x+4-4)+3=(x-2)²-4+3=(x-2)²-1(3)由于a=1>0，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值。最小值为k=-1，无最大值。14.解答：(1)设二次函数的一般式为f(x)=ax²+bx+c。由于函数经过点A(1,0)、B(3,0)和C(0,3)，代入得：f(1)=a+b+c=0f(3)=9a+3b+c=0f(0)=c=3代入c=3到前两个方程：a+b+3=0，即a+b=-39a+3b+3=0，即9a+3b=-3，即3a+b=-1解方程组：a+b=-33a+b=-1相减得：2a=2，即a=1代入a=1得：1+b=-3，即b=-4因此，二次函数的一般式为f(x)=x²-4x+3。(2)将函数化为顶点式：f(x)=x²-4x+3=(x²-4x+4-4)+3=(x-2)²-4+3=(x-2)²-1(3)由顶点式可知，顶点坐标为(2,-1)，对称轴方程为x=2。15.解答：(1)已知二次函数f(x)=a(x-h)²+k的顶点为(2,-1)，则h=2，k=-1。因此，顶点式为f(x)=a(x-2)²-1。又因为当x=0时，f(x)=3，代入得：3=a(0-2)²-13=4a-14a=4a=1因此，顶点式为f(x)=(x-2)²-1。(2)求函数与x轴的交点坐标，即解方程f(x)=0：(x-2)²-1=0(x-2)²=1x-2=±1x=2±1x=3或x=1因此，函数与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)。(3)函数的大致图像：-顶点在(2,-1)-与x轴交于(1,0)和(3,0)-与y轴交于(0,3)-抛物线开口向上（a=1>0）16.解答：(1)总收入R(元)为销售量与单价的乘积：R(x)=x×p=x×(-2x+40)=-2x²+40x(2)将R(x)化为顶点式：R(x)=-2x²+40x=-2(x²-20x)=-2(x²-20x+100-100)=-2[(x-10)²-100]=-2(x-10)²+200因此，顶点式为R(x)=-2(x-10)²+200。由于a=-2<0，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。最大收入为200元，相应的销售单价为x=10元。(3)利润函数为总收入减去总成本：总成本=固定成本+可变成本=100+10p=100+10(-2x+40)=100-20x+400=500-20x利润函数L(x)=R(x)-总成本=(-2x²+40x)-(500-20x)=-2x²+60x-500将L(x)化为顶点式：L(x)=-2x²+60x-500=-2(x²-30x)-500=-2(x²-30x+225-225)-500=-2[(x-15)²-225]-500=-2(x-15)²+450-500=-2(x-15)²-50由于a=-2<0，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。最大利润为-50元，这表明在当前定价策略下，商店无法盈利，反而会亏损。17.证明：对于任意二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，我们可以通过配方法将其化为顶点式：f(x)=ax²+bx+c=a(x²+(b/a)x)+c=a[x²+(b/a)x+(b/(2a))²-(b/(2a))²]+c=a[(x+b/(2a))²-b²/(4a²)]+c=a(x+b/(2a))²-b²/(4a)+c=a(x+b/(2a))²+(4ac-b²)/(4a)令h=-b/(2a)，k=(4ac-b²)/(4a)，则f(x)=a(x-h)²+k因此，任意二次函数都可以表示为顶点式f(x)=a(x-h)²+k的形式，其中h=-b/(2a)，k=f(h)=(4ac-b²)/(4a)。18.证明：已知二次函数f(x)=a(x-h)²+k。(1)当a>0时，对于任意实数x，有(x-h)²≥0，因此a(x-h)²≥0。所以f(x)=a(x-h)²+k≥k，当且仅当x=h时取等号。因此，当a>0时，函数在x=h处取得最小值k。(2)当a<0时，对于任意实数x，有(x-h)²≥0，因此a(x-h)²≤0。所以f(x)=a(x-h)²+k≤k，当且仅当x=h时取等号。因此，当a<0时，函数在x=h处取得最大值k。19.解答：(1)将h(t)=-5t²+5√2t化为顶点式：h(t)=-5(t²-√2t)=-5[t²-√2t+(√2/2)²-(√2/2)²]=-5[(t-√2/2)²-1/2]=-5(t-√2/2)²+5/2因此，顶点式为h(t)=-5(t-√2/2)²+5/2。(2)由于a=-5<0，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。顶点坐标为(√2/2,5/2)，因此铅球能达到的最大高度为5/2=2.5米，所用时间为√2/2≈0.707秒。(3)铅球在空中的总时间是指从抛出到落地的时间，即解方程h(t)=0：-5t²+5√2t=0-5t(t-√2)=0t=0或t=√2因此，铅球在空中的总时间为√2≈1.414秒。20.解答：设矩形养鱼池垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(40-2x)米。养鱼池的面积为S=x(40-2x)=-2x²+40x。将S化为顶点式：S=-2x²+40x=-2(x²-20x)=-2(x²-20x+100-100)=-2[(x-10)²-100]=-2(x-10)²+