2026年上海市虹口区高考数学二模试卷（含解析）

2026年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.1．设全集为，，0，1，2，，集合，则．2．已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为．3．已知随机变量服从二项分布，则．4．设，，若是的必要条件，则实数的取值范围是．5．某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为．（用“拒绝”或“接受”填空）6．在△中，，，，则．7．将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则．8．在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则．9．已知复数满足是实数，则的最小值为．10．已知焦点为的抛物线上有两点和，且，为和的中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为．11．某种健身拉力器的手臂固定支架为，需运动者将肩关节放置于点处，手肘放置于点处，手掌放置于点处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点处，保持、、、四点共线．将小臂视为线段，长度为，大臂视为线段，长度为．在锻炼时要求保持肩关节和手肘不动，运用大臂力量将小臂绕着手肘做圆周运动，始终与处于某同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从拉伸至．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时度．（结果精确到0.1度）12．在以为原点的空间直角坐标系中，设、，和是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，、且，则的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑。13．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．14．已知（A）和（B）分别表示事件和事件发生的概率，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（）A．（A）（B） B． C．（A）（B） D．15．一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（）A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列 C．为等比数列（其中， D．为周期数列16．设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设（a）（b），、，则对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数；结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数．A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在题纸相应位置写出必要步骤。17．如图，在底面半径为2，侧面积为的圆锥中，、、为底面圆周上不同的三个点，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）设点为线段上的动点（不含端点和，求证：直线与不垂直．18．班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告．报告指出，高三学生每周平均手机使用时长（单位：小时）总体上服从正态分布，．（1）小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周平均手机使用时长超过16小时的概率是多少？（结果用最简分数表示）参考数据：若，则．（2）小明老师发现小虹同学每周平均手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进练计出之后5周小虹每周手机使用时长与相应该周数学练习得分（每周练习难度相同且满分均为150分），制成表1，以这5组数据建立回归方程，请求出实数的值．表1第1周第2周第3周第4周第5周手机使用时长2018221614练习得分80887392（3）受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长．小明老师统计发现该计划表中若第天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”，则第天也能“高效复习”的概率为；若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为．设，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效．求证：数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效．19．设．（1）解不等式：；（2）设，若存在，，使得，求实数的取值范围．20．（18分）设椭圆的左顶点为．（1）求的离心率；（2）设的左焦点为，上顶点为，若点在上且位于轴右侧，，求点的横坐标；（3）设直线，与交于不同的两点和，若点在以为直径的圆外，求实数的取值范围．21．（18分）若对于定义在上的函数，设是的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质”．（1）分别判断函数和是否在上具有“性质”；（无需说明理由）（2）设，，，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围；（3）若函数在上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合，是无限集或单元素集．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。1．设全集为，，0，1，2，，集合，则，．解：全集为，，0，1，2，，集合，，0，，则，．故答案为：，．2．已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为4．解：根据题意可得所求为．故答案为：4．3．已知随机变量服从二项分布，则2．解：因为随机变量服从二项分布，所以．故答案为：2．4．设，，若是的必要条件，则实数的取值范围是．解：由，得，解得，，，因为是的必要条件，所以，可得，故实数的取值范围是．故答案为：．5．某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为拒绝．（用“拒绝”或“接受”填空）解：当计算出的统计量大于给定显著性水平对应的临界值时，样本数据出现的概率小于，属于小概率事件，根据小概率原理，我们拒绝原假设，认为两个变量之间存在显著关联，本题中，所以拒绝，即认为两种操作方法对合格个数有影响．故答案为：拒绝．6．在△中，，，，则．解：设，，，由题意，所以，又，得，所以．故答案为：．7．将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则．解：二项式的通项公式为，显然该二项式展开共有5项，当，3时，即第2，4项系数为负数，因为各项等可能地随机重新排列，所以排列数为，系数为负数的项相邻的排列数为，所以，因此．故答案为：．8．在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则．解：延长正四棱台的四条侧棱，相交于点，设正方形的中心为，连接，则平面，因为平面，所以，取的中点，连接，，则，，由二面角的定义知，，因为，所以就是异面直线与所成角，即，所以△是边长为4的等边三角形，所以，在△中，．故答案为：．9．已知复数满足是实数，则的最小值为．解：设，则，由是实数，可得，即或，的几何意义为动点到定点的距离，最小值为．故答案为：．10．已知焦点为的抛物线上有两点和，且，为和的中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为．解：设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点．由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，由余弦定理得，又，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，即的最小值为．故答案为：．11．某种健身拉力器的手臂固定支架为，需运动者将肩关节放置于点处，手肘放置于点处，手掌放置于点处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点处，保持、、、四点共线．将小臂视为线段，长度为，大臂视为线段，长度为．在锻炼时要求保持肩关节和手肘不动，运用大臂力量将小臂绕着手肘做圆周运动，始终与处于某同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从拉伸至．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时16.7度．（结果精确到0.1度）解：由题意可得，，，四点共线，，，，且点为点绕点旋转后的位置，所以，因此，，设，则，所以，在△中，由正弦定理可得，所以，在△中，由余弦定理可得，将，，代入，得，两边同除以，得，化简可得，令，则，解得，或，或，因为，所以，故，于是，故此时．故答案为：16.7．12．在以为原点的空间直角坐标系中，设、，和是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，、且，则的取值范围是，，．解：设，，，，，且，，，，1，，且，由题意，设，，，，，，，，，，，，，，代入中，得，，，直线与圆有两个不同的交点，，的斜率的取值范围为，如图，由，得，，直线与圆的交点坐标为，，，，直线、直线斜率互为相反数，且过同一点，与圆都是关于纵轴对称，当时，，，，，的取值范围是，，．故答案为：，，．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑。13．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．解：双曲线的渐近线方程为：．故选：．14．已知（A）和（B）分别表示事件和事件发生的概率，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（）A．（A）（B） B． C．（A）（B） D．解：选项，（A）（B），则（A）（B），并不能推出（A）（B），事件和不一定独立，错误．选项，，，则，（A），（B），则，（B）（B）（A）（B），（A）（B），即和独立，选项正确；选项，（A）（B），又（A）（B），，和不一定独立，错误；选项，，，则，，又（B），（B），可得，也不能推出和独立，错误．故选：．15．一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（）A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列 C．为等比数列（其中， D．为周期数列解：在选项中，假设是严格递增的无穷数列，但，且是周期函数，在一个周期内有增有减，对无穷等差数列，当，则，所以会周期性波动，不可能一直严格递增，错误；在选项中，设等差数列的首项为，公差为，则，所以，由于是关于的周期变化的函数，所以不是常数，即不是公差不为零的等差数列，错误；在选项中，设等差数列的首项为，公差为，则，若为等比数列，则，，，，．当，时，则，该数列各项均为正数，且不为常数列，其项和为，此时数列，当为奇数时，为奇数，，当为偶数时，为偶数，，故为数列，1，，1，，是公比为的等比数列，所以存在这样的无穷等差数列使得为等比数列，正确；在选项中，因为是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列，所以，即，所以会趋近于，而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项，所以不可能是周期数列，错误．故选：．16．设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设（a）（b），、，则对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数；结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数．A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误解：对于结论①，若函数不是偶函数，则存在（a），不妨设（a）（否则用取代，因为和值域均为，则存在使得，此时有（a）（b），根据（a）（b），依题意有（b），这与（b）矛盾，故函数一定是偶函数，结论①正确；对于结论②，若函数不是偶函数，则存在（b），不妨设（b）（否则用取代，因为和值解域均为，则存在使得，此时（b）（a），依题意，由（a）有，即（b），所以，而可推出即（a）（b），与（b）（a）矛盾，故函数一定是偶函数，结论②错误．故选：．三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在题纸相应位置写出必要步骤。17．如图，在底面半径为2，侧面积为的圆锥中，、、为底面圆周上不同的三个点，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）设点为线段上的动点（不含端点和，求证：直线与不垂直．解：（1），，所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，设，则母线长为，则侧面积为，解得，所以，0，，，0，，，2，，，，设面的法向量为，所以，不妨令，则，所以，设直线与平面所成角为，所以；（2）证明：因为为线段上的动点，所以设，，，由（1）知，，，，，所以直线与不垂直．18．班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告．报告指出，高三学生每周平均手机使用时长（单位：小时）总体上服从正态分布，．（1）小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周平均手机使用时长超过16小时的概率是多少？（结果用最简分数表示）参考数据：若，则．（2）小明老师发现小虹同学每周平均手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进练计出之后5周小虹每周手机使用时长与相应该周数学练习得分（每周练习难度相同且满分均为150分），制成表1，以这5组数据建立回归方程，请求出实数的值．表1第1周第2周第3周第4周第5周手机使用时长2018221614练习得分80887392（3）受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长．小明老师统计发现该计划表中若第天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”，则第天也能“高效复习”的概率为；若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为．设，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效．求证：数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效．【解答】（1）解：由题意知，，则，．因为，且，所以．设“任选3位同学中至少有2位同学的每周平均手机使用时长超过16小时”为事件，则．故至少有2位同学的每周平均手机使用时长超过16小时的概率是；（2）解：由表1可知，，．因为回归直线过样本中心，所以，即，解得，所以．故实数的值为100；（3）证明：由题意得，所以．又因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列．由等比数列通项，，．时，为正数且随增大而减小，是递减数列，最小值为时的值，，，且，对恒成立，故小虹的复习计划表在寒假每一天均有效．19．设．（1）解不等式：；（2）设，若存在，，使得，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，得，故的解集为；（2），则，因为，关于原点对称，所以在，上为奇函数，易得，因为，等号成立时，所以，则在，上单调递增，若存在，，使得，则存在，，使得，则