2025-2026学年上海市普陀区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市普陀区七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．如果，那么下列各式中正确的是（）A． B． C． D．2．不等式的解集在数轴．上表示正确的是（）A． B． C． D．3．下面的四个图形中，与是对顶角的是（）A． B． C． D．4．下列语句中，是命题的是（）A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得5．如图，下列说法中不正确的是（）A．与是直线、被直线所截得的内错角 B．与是直线、被直线所截得的同位角 C．与是直线、被直线所截得的同旁内角 D．与是直线、被直线所截得的同旁内角6．如图（1）（4）是经过直线外一点画已知直线的平行线的步骤，其画图的依据是（）A．两点确定一条直线 B．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么的值是．8．“的一半与4的差是非负数”用不等式可以表示为．9．不等式的最大整数解是．10．已知，如果，那么的取值范围是．11．把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式：．12．如图，直线，交于点，，如果，那么直线，的夹角是．13．如图，已知，，如果，那么．14．某校组织开展消防安全知识竞赛活动，共25道题，答对一题得4分，不答或答错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要想获奖至少应答对多少道题？设要获奖应答对道题，根据题意，可列不等式为．15．如图，长方形纸带中，，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点、两点分别与点、对应．如果，那么．16．如果关于不等式的正整数解有4个，那么的取值范围是．17．将若干块长、宽、高分别对应相等且材质均匀、质量相等的积木如图1叠起来．如图2，沿平行于积木长边的方向推动积木①而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下，将积木①推至最远．如图3保持积木②和积木①的相对位置不变，按图3手指方向推动积木①②组合，如果积木的长度为，那么积木①②组合最远延伸长度是多少．18．如图，在△中，，，将△绕顶点逆时针旋转得到△，其中点、的对应点为、．如果△的一边与原△边平行，且旋转角小于，那么的度数是．三、解答题（本大题共8题，第19题和第20题每题5分，第21题至第24题每题6分，第25题8分，第26题10分，满分52分）19．解不等式：．20．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．21．如图，已知：点在线段上，点在线段上，交于点，交于点，，．求证：．证明：，，．（同位角相等，两直线平行）．（请完成后面的证明过程）22．如图，已知：，平分，平分．求证：．对于这道题，某同学的证明过程如下：证明：，（两直线平行，内错角相等）．平分，平分．，．．（内错角相等，两直线平行）．（1）请找出这位同学出错的地方，并指出错误原因；（2）请写出本题正确的证明过程．23．如图，已知：，，垂足分别为、，．（1）求证：；（2）如果，平分，求的度数．24．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买、两种型号的新型垃圾桶．已知型号的新型垃圾桶的单价比型号的新型垃圾桶单价贵40元，购买2个型号的新型垃圾桶和购买3个型号的新型垃圾桶共370元．社区需要购买、两种型号的新型垃圾桶共50个，且总费用不超过4000元．（1）求、两种型号的新型垃圾桶的单价；（2）社区最多能买几个型号的新型垃圾桶？25．在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小：阅题一：设，，试比较与的大小．以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整．因为，所以．（填“”，“”，“”又因为，所以．所以．问题二：设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由．26．已知直线，一副直角三角尺中的等腰直角三角尺△边在直线上，点在直线下方；这幅三角尺中另一块为含有角的直角三角尺△的一边在直线上，点在直线的右侧．（1）如图1，当△的顶点与点重合时，点恰好落在直线上，求的度数．（2）设直线与直线相交于点．①如图2，将△沿直线平移，当点与点重合时，求的度数．②将△沿直线平移，点是直线上的动点，且时，请直接写出此时的度数．

参考答案一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．如果，那么下列各式中正确的是（）A． B． C． D．解：不等式性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．则：、不等式两边同时减2，不等号方向不变，得．故错误；、不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得．故错误；、不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得．故正确；、不等式两边先同时除以正数2，得，再两边同时减1，不等号方向不变，得．故错误．故选：．2．不等式的解集在数轴．上表示正确的是（）A． B． C． D．解：不等式，系数化为1得：，解集表示在数轴上，如图所示：．故选：．3．下面的四个图形中，与是对顶角的是（）A． B． C． D．解：、与是对顶角，故此选项符合题意；、与不是对顶角，故此选项不符合题意；、与不是对顶角，故此选项不符合题意；、与不是对顶角，故此选项不符合题意；故选：．4．下列语句中，是命题的是（）A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得解：根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义逐项分析判断如下：选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题；选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题；选项是对等角的余角关系做出判断的陈述句，符合命题定义，是命题；选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题．故选：．5．如图，下列说法中不正确的是（）A．与是直线、被直线所截得的内错角 B．与是直线、被直线所截得的同位角 C．与是直线、被直线所截得的同旁内角 D．与是直线、被直线所截得的同旁内角解：根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形逐一判断各选项可得：、与在直线，之间，且在直线两侧，与是内错角，原说法正确，不符合题意；、在直线上方，在直线下方，与不是同位角，原说法不正确，符合题意；、与在直线，之间，且在直线同旁，与是同旁内角，原说法正确，不符合题意；、与在直线，之间，且在直线同旁，与是同旁内角，原说法正确，不符合题意．故选：．6．如图（1）（4）是经过直线外一点画已知直线的平行线的步骤，其画图的依据是（）A．两点确定一条直线 B．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行解：由图可知：其依据是同位角相等，两直线平行，综上所述，只有选项正确，符合题意，故选：．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么的值是3．解：由题意得，，解得：．故答案为：3．8．“的一半与4的差是非负数”用不等式可以表示为．解：由题意可得，的一半为，与4的差为，非负数是大于或等于0的数，因此不等式为．故答案为：．9．不等式的最大整数解是1．解：解不等式得，最大整数解是1．故答案为：1．10．已知，如果，那么的取值范围是．解：由题意可得：，解得：．故答案为：．11．把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．12．如图，直线，交于点，，如果，那么直线，的夹角是31．解：根据垂线定义及余角概念可知：，，．故答案为：31．13．如图，已知，，如果，那么150．解：，，，，，，故答案为：150．14．某校组织开展消防安全知识竞赛活动，共25道题，答对一题得4分，不答或答错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要想获奖至少应答对多少道题？设要获奖应答对道题，根据题意，可列不等式为．解：由题意可得，，故答案为：．15．如图，长方形纸带中，，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点、两点分别与点、对应．如果，那么36．解：四边形是长方形，，，，，由折叠的性质可知，，，，故答案为：36．16．如果关于不等式的正整数解有4个，那么的取值范围是．解：，，由关于的不等式的正整数解有4个，正整数解是1、2、3、4，，的取值范围是．故答案为：．17．将若干块长、宽、高分别对应相等且材质均匀、质量相等的积木如图1叠起来．如图2，沿平行于积木长边的方向推动积木①而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下，将积木①推至最远．如图3保持积木②和积木①的相对位置不变，按图3手指方向推动积木①②组合，如果积木的长度为，那么积木①②组合最远延伸长度是多少7.5．解：积木①的中心偏离积木②的中心距离为：，设积木②的中心偏离最下面的积木的中心距离为，则，即，，即积木①②组合最远延伸长度是，故答案为：7.5．18．如图，在△中，，，将△绕顶点逆时针旋转得到△，其中点、的对应点为、．如果△的一边与原△边平行，且旋转角小于，那么的度数是或．解：△绕顶点逆时针旋转得到△，，当，如图，，；当时，如图，‘，，’；综上，或．故答案为：或．三、解答题（本大题共8题，第19题和第20题每题5分，第21题至第24题每题6分，第25题8分，第26题10分，满分52分）19．解不等式：．解：，，，，，．20．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．解：，由①得，，由②得，，故不等式组的解集为：．在数轴上表示为：．21．如图，已知：点在线段上，点在线段上，交于点，交于点，，．求证：．证明：，对顶角相等，．（同位角相等，两直线平行）．（请完成后面的证明过程）【解答】证明：，（对顶角相等），．（同位角相等，两直线平行）．，，，（内错角相等，两直线平行），故答案为：对顶角相等，，，．22．如图，已知：，平分，平分．求证：．对于这道题，某同学的证明过程如下：证明：，（两直线平行，内错角相等）．平分，平分．，．．（内错角相等，两直线平行）．（1）请找出这位同学出错的地方，并指出错误原因；（2）请写出本题正确的证明过程．【解答】（1）解：最后一步出现错误，与不是一组内错角；（2）证明：，．平分，平分．，．．．23．如图，已知：，，垂足分别为、，．（1）求证：；（2）如果，平分，求的度数．【解答】（1）证明：，，，（两直线平行，同旁内角互补），，（同角的补角相等），（内错角相等，两直线平行）；（2）解：，，平分，，，，，．24．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买、两种型号的新型垃圾桶．已知型号的新型垃圾桶的单价比型号的新型垃圾桶单价贵40元，购买2个型号的新型垃圾桶和购买3个型号的新型垃圾桶共370元．社区需要购买、两种型号的新型垃圾桶共50个，且总费用不超过4000元．（1）求、两种型号的新型垃圾桶的单价；（2）社区最多能买几个型号的新型垃圾桶？解：（1）设型号的新型垃圾桶单价为元，根据题意可得，解得，则，答：型号的新型垃圾桶单价为50元，型号的新型垃圾桶单价为90元；（2）设购买型号的新型垃圾桶个，根据题意，总费用不超过4000元，可得，解得，是非负整数，的最大值为37，答：社区最多能买37个型号的新型垃圾桶．25．在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小：阅题一：设，，试比较与的大小．以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整．因为，所以．（填“”，“”，“”又因为，所以．所以．问题二：设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由．解：（1）设，，试比较与的大小．则：，，又，，．（2），，，，，，．26．已知直线，一副