2027届新高三数学热点复习导数的概念及运算

2027届新高三数学热点复习导数的概念及运算知识清单知识点导数的概念及运算1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f

'(x0)或y'

,即f

'(x0)=

=

.(2)函数y=f(x)的导函数为f

'(x)=y'=

.注意

f

'(x)与f

'(x0)的区别与联系:f

'(x)是一个函数,f

'(x0)是函数f

'(x)在x0处的函数值(常

数),所以[f

'(x0)]'=0.2.导数的几何意义函数f(x)在x=x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率.相应地,切线

方程为y-y0=

f

'(x0)(x-x0).函数y=f(x)的导数f

'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,|f

'(x)|的大小反映了f(x)图象变化

的快慢,|f

'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.3.导数的运算(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f

'(x)=0f(x)=xα(α∈R且α≠0)

f

'(x)=αxα-1f(x)=sinxf

'(x)=cosxf(x)=cosxf

'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f

'(x)=axlnaf(x)=exf

'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f

'(x)=

f(x)=lnxf

'(x)=

(2)导数的运算法则[f(x)±g(x)]'=f

'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f

'(x)g(x)+f(x)g'(x);

'=

(g(x)≠0);[cf(x)]'=cf

'(x).(3)复合函数的导数一般地,由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的

导数间的关系为y'x=y'u·u'x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.知识拓展

'=-

,(

)'=

.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)设f(x)为R上的可导函数,且f

'(1)=1,则

=2.

()(2)函数y=2sin(1-3x)的导函数为y'=6cos(1-3x).

()

✕

✕

2.曲线y=x2-lnx在x=1处的切线的斜率为

()A.2

B.-2

C.1

D.-1

C

3.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+x+2(a≠0)相切,则a=

()A.-

B.

C.-

D.

D

4.已知f(x)=tanx,则f

'

=_________.

4

5.已知f(x)=f

'

sinx-cos2x,则f(x)在x=

处的导数为__________.

2 

考点清单考点1导数的概念及运算典例1求下列函数的导数:(1)y=e3x;(2)y=(3x2+2x+1)cosx;(3)y=

;(4)y=2xcosx-3xlog3x.解析

(1)y'=(e3x)'=3e3x.(2)y'=(3x2+2x+1)'cosx+(3x2+2x+1)·(cosx)'=(6x+2)cosx-(3x2+2x+1)sinx.(3)因为y=

=3

+x-5+

,所以y'=

-

+1.(4)y'=(2x)'cosx+2x(cosx)'-(3x)'log3x-3x(log3x)'=2xln2cosx-2xsinx-3log3x-3x·

=2xln2cosx-2xsinx-3log3x-3log3e.解题技巧

1.求函数导数的原则:先化简解析式,再求导.2.(1)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求导;(2)复合函数求导,应由外向内逐层求导,必要时可换元.变式训练1.(情境模型变式)(2025届福建泉州阶段练)已知函数f(x)=ex+2f

'(0)x+1,则f

'(2)的值为

____________.

e2-2

解析由题意知f

'(x)=ex+2f

'(0),所以f

'(0)=1+2f

'(0),所以f

'(0)=-1,所以f

'(x)=ex-2,所以f

'(2)=e2-2.2.(情境模型变式)若定义域都为R的函数f(x)及其导函数f'(x),满足对任意实数x都有f(x)-f(2025-x)=2x-2025,则

f

'(k)=_____________.

2024

解析对f(x)-f(2025-x)=2x-2025两边同时求导得f

'(x)-f

'(2025-x)·(2025-x)'=2,即f

'(x)+f

'(2025-x)=2【不要忘记对内层函数求导】,则f

'(1)+f

'(2024)=2,f

'(2)+f

'(2023)=2,······,f

'(1012)+f

'(1013)=2,从而

f

'(k)=2×1012=2024.考点2曲线的切线角度1在某点处的切线问题典例2

(切点已知)(2020课标Ⅰ理,6,5分)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切

线方程为

()A.y=-2x-1

B.y=-2x+1C.y=2x-3

D.y=2x+1

B

解析

f'(x)=4x3-6x2,则f'(1)=4-6=-2,易知f(1)=1-2=-1,由点斜式可得函数f(x)的图象在点(1,

f(1))处的切线方程为y-(-1)=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B.解题技巧解决切线问题的注意事项1.切点在切线上,即切点坐标可代入切线方程建立等式关系.2.切点在曲线上,即切点坐标可代入曲线方程建立等式关系.3.在切点横坐标处的导数等于切线的斜率.变式训练3.(切点未知)(2025届福建莆田二模,5)曲线y=xex-x在点P处切线的斜率为-1,则P的坐

标为()A.(-1,-1)

B.

C.(1,e-1)

D.(1,2e-1)

B

解析由y=xex-x得y'=(x+1)ex-1,因为曲线y=xex-x在点P处切线的斜率为-1,所以令y'=-1,即(x+1)ex=0,故x=-1,此时y=-e-1-(-1)=1-

,即P的坐标为

.故选B.角度2过某点的切线问题典例3

(2025届河南名校学术联盟冲刺(六),4)过原点且与曲线y=xsinx相切的直线有

()A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

C

解析

设切点坐标为(x0,x0sinx0),切线方程为y=kx.对y=xsinx求导得y'=sinx+xcosx,则

当x0=0时,k=0,此时切线方程为y=0;当x0≠0时,

=sinx0+x0cosx0,所以x0cosx0=0,所以cosx0=0,所以x0=

+nπ,n∈Z,所以k=±1,所以切线方程为y=±x,所以切线有3条.故选C.解题技巧若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程.(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f

'(x0)·(x-x0);(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程:y-f(x1)=f

'(x1)(x-x1);第三步:将点P(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f

'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.变式训练4.(结论拓展变式)(2025届湖北省实验中学月考,13)已知直线y=kx+b与函数f(x)=

x2+lnx的图象相切,则k-b的最小值为_________.解析设切点为P

,由f'(x)=x+

,得斜率k=x0+

,则切线方程为y-

=

(x-x0),即y=

x-

+lnx0-1,故

【与y=kx+b作比较,对应项系数相等】故k-b=

+x0+

-lnx0+1,令g(x)=

x2+x+

-lnx+1(x>0),则g'(x)=x+1-

-

=

,当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=

,即k-b的最小值为

.角度3公切线问题典例4

(2025届湖南名校联合体三模,8)若直线y=kx+1(k为常数)是曲线y=lnx+1和曲线

y=aex+1的公切线,则实数a的值为

()A.

B.

C.1

D.e

B

解析

解法一对于y=lnx+1,定义域为(0,+∞),则y'=

,设直线y=kx+1与曲线y=lnx+1的切点为(x1,lnx1+1),则切线方程为y-lnx1-1=

(x-x1),即y=

x+lnx1,又因为y=kx+1,所以

【利用两条切线重合,建立等式关系】解得x1=e,k=

,所以切线方程为y=

x+1.令g(x)=y=aex+1,则g'(x)=aex,设直线y=

x+1与曲线y=aex+1的切点为(x0,a

+1),所以g'(x0)=a

=

①,又因为切点(x0,a

+1)在直线y=

x+1上,所以a

+1=

x0+1,即a

=

x0②,由①和②可得x0=1,所以ae=

,解得a=

.解法二设直线y=kx+1(k为常数)与曲线y=lnx+1和曲线y=aex+1的切点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则

⇒lnx1=kx1=1.∴x1=e,k=

.同理

⇒a

=kx2=k.∴x2=1,∴k=ae=

,∴a=

.故选B.解题技巧利用导数的几何意义求两曲线的公切线

①切点为两曲线的公共点,即f(x0)=g(x0);②切线斜率相同,即f'(x0)=g'(x0)

分别写出两曲线的切线方程,由于重合,则对应系数相等,

解方程得结果变式训练5.(关键元素变式)(2026届安徽皖豫名校联盟调研,4)已知函数f(x)=x2+ax+2与g(x)=ex+

b的图象在x=1处的切线重合,则a+b=

()A.e-1

B.e

C.e+1

D.e+2

A

解析由题意得f

'(x)=2x