2027届新高三数学热点复习两曲线的公切线问题

2027届新高三数学热点复习两曲线的公切线问题

跟踪训练

(2026·石家庄模拟)若函数y＝ax2与y＝lnx＋1在公共点处存在公共的切线，则a＝________．

视角二不同切点的公切线问题例2：(新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝__________．ln2

真题探源

(源自人教B版选修三P91C组T3)已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，则a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程．

学霸笔记：求两曲线不同切点的公切线的一般思路：(1)分别设出两曲线的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)；(2)分别求两曲线在切点处的方程y＝h1(x)，y＝h2(x)；(3)由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程．1．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝ax2－x.若经过点A(1，0)存在一条直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，则a＝(

)A．－1 B．1C．2 D．3答案：B

答案：C

答案：B

答案：D

5．已知曲线y＝x2与y＝e2x＋a恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为(

)A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，－2)答案：D

当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，即在x＝1处f(x)取得极大值，也为最大值，且为ln1－2＝－2，由恰好存在两条公切线可得y＝a与y＝f(x)有两个交点，可得实数a的范围是(－∞，－2)．故选D.6．若直线y＝－x＋m是曲线y＝2x2＋3x＋4与y＝－ex＋n曲线的公切线，则(

)A．m＝－1 B．m＝2C．n＝3 D．n＝－3答案：BD解析：令f(x)＝2x2＋3x＋4，则f′(x)＝4x＋3，令f′(x)＝4x＋3＝－1，有x＝－1，则f(－1)＝2－3＋4＝3，即有y－3＝－(x＋1)，即y＝－x＋2，故m＝2，令g(x)＝－ex＋n，则g′(x)＝－ex＋n，令g′(x)＝－ex＋n＝－1，有x＝－n，则g(－n)＝－e0＝－1，即有y＋1＝－(x＋n)，即y＝－x－n－1，故有－n－1＝2，即n＝－3.故选BD.

答案：ABD解析：对于A，令φ(x)＝f(x)－g(x)＝ex＋x2－x－1，则φ′(x)＝ex＋2x－1，易知φ′(x)单调递增，且φ′(0)＝0，所以当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，所以φ(x)≥φ(0)＝0，所以方程φ(x)＝0有唯一解x＝0，所以曲线y＝f(x)与y＝g(x)有且只有一个公共点，故A正确；对于B，由A可知曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(0，1)，由f(x)＝ex，得f′(x)＝ex，则f′(0)＝1，所以曲线f(x)＝ex在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1.由g(x)＝－x2＋x＋1，得g′(x)＝－2x＋1，则g′(0)＝1，所以曲线g(x)＝－x2＋x＋1在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，故B正确；

对于D，由AB可知，曲线f(x)＝ex与g(x)＝－x2＋x＋1只有一个公共点(0，1)，且在该点处的公切线方程为y＝x＋1，结合图象可知，ex≥x＋1，而x＋1≥－x2＋x＋1，所以ex≥－x2＋x＋1，即f(x)≥g(x)，故D正确．故选ABD.8．(2026·厦门模拟)若曲线y＝tanx在坐标原点处的切线与曲线y＝x3－2x＋m(x>0)相切，则m＝__________．2

9．(2026·南宁模拟)若曲线y＝ex－a(a>0)在x＝0处的切线也是曲线y＝ln(x＋b)(b>0)的切线，则a＋b＝__________．2

10．(2026·潍坊模拟)若两曲线y＝x2－1与y＝alnx－1存在公切线，则a的取值范围是_________．(－∞，2e]

11．(13分)若函数y＝f(