2027届新高三数学热点复习平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示

2027届新高三数学热点复习平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示知识清单知识点1平面向量的概念向量既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模零向量长度为0的向量,其方向是任意的单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量方向相同或相反的非零向量,任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此平行向量也叫共线向量.规定:0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量知识点2平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算

交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和

的运算

数乘求实数λ与向量a的积的运

算|λa|=|λ||a|;当λ>0时,λa与a的

方向相同;当λ<0时,λa与a的

方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb知识点3共线向量定理非零向量a与向量b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.知识点4平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有

一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量线性运算的坐标表示(1)向量坐标的求法若A(x1,y1),B(x2,y2),则

=(x2-x1,y2-y1).(2)向量加减法若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2).(3)向量的数乘运算若a=(x,y),则λa=λ(x,y)=(λx,λy).(4)向量共线的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1.知识拓展

1.相反向量的坐标表示已知a=(x,y),则-a=(-x,-y).2.与a共线的单位向量的坐标表示若a=(x,y),则其同向单位向量为

,

,反向单位向量为

.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)平行向量的方向相同.

()(2)若

=x

+y

,则P,M,A,B共面.()(3)基底向量中可以含有零向量,但至多一个.

()(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a与b共线,则

=

.

()

✕

✕

√

✕

2.(人教A版必修第二册P36习题T9改编)已知向量a=(2,t),b=(1,-1),若(a-b)∥b,则实数t=

_______.

-2

3.已知a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与b-3a共线,则λ的值为_______.

- 

4.已知向量a=(-4,1),则与向量a共线的单位向量的坐标为__________________________.

 或5.(人教A版必修第二册P40练习T3改编)如图所示,在▱ABCD中,E是对角线AC上靠近

点C的三等分点,F是线段BE的中点,若

=x

+

,则x=_________.

考点清单考点1平面向量的概念及线性运算角度1平面向量的概念典例1下列说法中正确的是

()A.若|a|=1,则a=±1B.若a=b,则a∥bC.若|a|=|b|,且a∥b,则a=bD.若a∥0,则|a|=0

B

解析对于A,显然a为向量,±1均为数量,所以a≠±1,故A错误;对于B,根据相等向量与平行向量的定义,可知若a=b,则a∥b,故B正确;对于C,当a=-b≠0时,满足|a|=|b|,且a∥b,但a≠b,故C错误;对于D,对任意a,均有a∥0,|a|=0不一定成立,故D错误.故选B.解题技巧

1.解决平面向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,还要

考虑向量的方向;二是注意零向量的特殊性.2.两个向量共线就是两个向量互相平行,它们的方向相同或相反.变式训练1.(设问条件变式)(2026届湖南益阳一中入学考,2)关于向量a,b,下列说法中,正确的

是()A.若|a|=|b|,则a=bB.若a∥b,b∥c,则a∥cC.若|a|>|b|,则a>bD.若a=-b,则a∥b

D

解析对于A,若|a|=|b|,则a,b的模相等,但方向不一定相同,A错误;对于B,当b=0时,a∥b,b∥c,此时a,c未必共线,B错误;对于C,向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,C错误;对于D,若a=-b,则向量a,b互为相反向量,则a∥b,D正确.故选D.角度2平面向量的线性运算典例2

(简单的线性运算)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则

=

()

A.

-

B.-

-

C.

+

D.-

+

D

解析由D为BC中点,得

=

(

+

),

=

-

=

-

=

-

(

+

)=

-

.故选D.变式训练2.(根据向量的线性运算求参)在△ABC中,点D是AB的中点,点P在CD上,若

=λ

+

,则λ=

()A.

B.

C.

D.

B

解析由题意,点D是AB的中点,所以

=

+

,又

=λ

+

,所以

+

=λ(

+

)+

,解得

=

+λ

,又因为点P在CD上,所以

=

,解得λ=

.故选B.考点2共线向量定理及其应用典例3如图,在△ABC中,点O是线段BC上靠近点B的三等分点,过点O的直线分别交直

线AB,AC于点M,N.设

=m

,

=n

,则2m+n的值为

()

A.1

B.2

C.3

D.4

C

解析连接AO,因为点O是线段BC上靠近点B的三等分点,则

=2

,

即

-

=2(

-

),所以

=

+

,又因为

=m

,

=n

,所以

=

+

,因为M,N,O三点共线,所以设

=k

,则

-

=k(

-

),所以

=(1-k)

+k

,且

,

不共线,所以

=1-k,

=k,故

+

=1-k+k=1,因此2m+n=3.故选C.解题技巧利用共线向量定理解题的策略1.共线向量定理是判断两个向量共线的主要依据.要注意应用待定系数法和方程思想

进行解题.2.三点共线的条件:三个不同的点A,B,C共线⇔

∥

⇔

=λ

(λ是实数)⇔

=(1-λ)

+λ

(λ是实数)⇔

=x

+y

,且x+y=1.变式训练3.(关键元素变式)(2026届北京牛栏山一中月考,6)P是△ABC所在平面内的一点,满

足

-

-

=

,则

()A.点P在线段BC上B.点P在线段BC的延长线上C.点P在线段AC上D.点P在线段AC的延长线上

D

解析因为

-

-

=

=

-

,所以

=2

,可知点C为线段PA的中点,所以点P在线段AC的延长线上.故选D.考点3平面向量基本定理及坐标表示角度1平面向量基本定理典例4如图所示,在△ABC中,M是AB的中点,点N在边AC上,且

=

,BN与CM交于点E,若

=λ

+μ

,则λ,μ满足

()

A.λ+μ=

B.

=2

C.λ-μ=

D.

=

B

解析由

=

,得

=

,因为M是AB的中点,所以

=

.由N,E,B三点共线知,存在实数m满足

=m

+(1-m)

=

m

+(1-m)

.由C,E,M三点共线知,存在实数n满足

=n

+(1-n)

=

n

+(1-n)

,【利用两个三点共线列向量等式,利用平面向量基本定理的唯一性知对应系数相等,列

方程组求解】又因为

,

为不共线的非零向量,所以

解得

所以

=

+

,则λ=

,μ=

.故λ+μ=

,

=2,λ-μ=

.故选B.方法总结

1.应用平面向量基本定理进行向量表示的实质是利用向量的线性运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底(共起点或首尾相接),

并运用线性运算将条件和结论用该基底表示,再通过向量的运算来解决问题.3.与两直线交点有关的向量表示,可用两次三点共线,结合平面向量基本定理进行向量

表示.变式训练4.(情境模型变式)(多选)如图所示,已知四边形ABCD为等腰梯形,CD∥AB,CD=

AB,E为DC的中点,F为AE的中点,若

=λ

+μ

,则

(

)

A.λ=

B.μ=2

C.λ=

D.μ=1

BC

解析因为CD∥AB,CD=

AB,E为DC的中点,所以

=

+

=

-

.因为F为AE的中点,所以

=2

=2(

+

)=2

+2

,所以

=2

+2

-

=

+2

,所以λ=

,μ=2.故选BC.角度2平面向量的坐标运算典例5已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设

=a,

=b,

=c,且

=3c,

=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;(3)求M,N的坐标及向量

的坐标.解析由题意可得a=

=(3,-1)-(-2,4)=(5,-5),b=

=(-3,-4)-(3,-1)=(-6,-3),c=

=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42).(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),∴

解得

(3)设O为坐标原点,则

=

-

=3c,∴

=3c+

=(