2027届新高三数学热点复习三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式

2027届新高三数学热点复习三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式知识清单知识点1三角函数的概念1.终边相同的角(1)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=k·360°+α,k∈Z}或{β|

β=α+2kπ,k∈Z}.(2)角α,β的终边关于x轴对称⇔β=-α+2kπ,k∈Z.角α,β的终边关于y轴对称⇔β=π-α+2kπ,k∈Z.2.弧长与扇形面积公式(1)弧长公式:l=|α|r;(2)扇形面积公式:S=

lr=

|α|r2.(其中|α|为圆心角弧度数的绝对值,r为扇形半径)3.任意角的三角函数的定义(1)借助单位圆:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=

(x≠0).(2)借助终边上点的坐标:设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为(x,y),它与原点的

距离为r,则sinα=

,cosα=

,tanα=

(x≠0).(3)三角函数值在各象限内的符号

记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.知识点2同角三角函数的基本关系1.平方关系:sin2α+cos2α=1.2.商数关系:tanα=

.知识点3三角函数的诱导公式公式角正弦余弦正切口诀一2kπ+α(k∈Z)sinαcosαtanα函数名不变,符号

看象限二π+α-sinα-cosαtanα三-α-sinαcosα-tanα四π-αsinα-cosα-tanα五

-αcosαsinα

函数名改变,符号

看象限六

+αcosα-sinα

七

π+α-cosαsinα

八

π-α-cosα-sinα

即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)若α为锐角,则2α为钝角.

()(2)1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角.

()(3)若sinα=sinβ,则角α与角β的终边相同.()

✕

✕

✕

2.设点P从点(1,0)出发,沿着圆心在原点的单位圆按顺时针方向运动

π到达点Q,则劣弧

的长为_________.3.已知角α的终边过点P(-1,2),则

=_________.4.若sinα=-

,α为第三象限角,则sin

=_________.5.若点P(m,n)(n≠0)为角600°终边上一点,则

等于_________.考点清单考点1三角函数的概念和同角三角函数的基本关系角度1三角函数的定义及应用典例1设角θ的终边经过点P(-3,4),那么sinθ+2cosθ=

()A.

B.-

C.-

D.

C

解析根据三角函数的定义知sinθ=

=

,cosθ=

=-

,所以sinθ+2cos

θ=

+2×

=-

.解题技巧求角的终边经过某一点的三角函数值已知角α终边上任意一点P(x,y)(x≠0),当P在单位圆上时,直接由sinα=y,cosα=x,tanα=

求解;当P不在单位圆上时,则先求出r=

,再由sinα=

,cosα=

,tanα=

求解.当P的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.变式训练1.(情境模型变式)(2025届山东潍坊二模,6)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与

x轴非负半轴重合,其终边与圆O交于点A(3,4).若角α终边沿逆时针方向旋转角θ,交圆O

于点B

,则角θ可能为

()A.75°

B.105°

C.375°

D.405°

D

解析因为角α的终边与圆O交于点A(3,4),所以由三角函数的定义得cosα=

=

,sinα=

=

,设旋转后的角为β,因为旋转后角的终边交圆O于点B

,所以由三角函数的定义得cosβ=

=-

,sinβ=

=

,则sinθ=sin(β-α)=

×

-

×

=

=

,cosθ=cos(β-α)=

×

+

×

=

=

,故θ=45°+2k·180°,k∈Z,当k=1时,θ=405°.故选D.角度2同角三角函数基本关系的应用典例2

(多选)若

=1,则

(

)A.tanx=2

B.sinx=

C.

=

D.cos4x-sin4x=-

AD

解析由

=

=

=1,解得tanx=2,A正确;由tanx=

=2,sin2x+cos2x=1,解得sinx=±

,B错误;

=

,把tanx=2代入得

=-

,C错误;cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x=1-2sin2x,把sinx=±

代入得cos4x-sin4x=-

,D正确.故选AD.解题技巧

利用同角三角函数基本关系解题的技巧1.弦切互化:利用公式tanα=

(cosα≠0)实现角α的弦切互化.2.和(差)积转换:利用(sinα±cosα)2=1±2sinα·cosα进行变形、转化,可以解决sinα+cosα,

sinαcosα,sinα-cosα知一求二的问题,注意方程思想的应用.3.巧用“1”的变换:1=sin2α+cos2α=cos2α·(tan2α+1)

或1=sin2α

=tan

.变式训练2.(差积转换)(2025届湖北孝感三模,2)已知x∈

,sin4x+cos4x=

,则sinx-cosx=

()A.

B.-

C.

D.-

B

解析

sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x,又sin4x+cos4x=

,所以1-2sin2xcos2x=

,所以sin2xcos2x=

,又x∈

,所以sinx<0,cosx>0,则sinx-cosx<0,sinxcosx=-

,故sinx-cosx=-

=-

=-

=-

.故选B.3.(“1”的应用)(2025届湖南师大附中月考,3)若钝角α满足

=2,则cosα的值为()A.-

B.-

C.-

D.-

C

解析因为

=2,则1+sinα-cosα=2(1+sinα+cosα),所以sinα=-1-3cosα,两边平方得sin2α=(1+3cosα)2,则1-cos2α=9cos2α+6cosα+1,【利用sin2α+cos2α=1化简】即(5cosα+3)2cosα=0,所以cosα=0或cosα=-

,又因为α为钝角,所以cosα=-

.故选C.考点2诱导公式典例3

(2025届广东惠州光正实验学校月考,12)已知sin

=

,那么cosα=_______.

- 

解析

解法一因为sin

=sin

=sin

=sin

=-sin

=-cosα=

,所以cosα=-

.解法二因为sin

=sin

=sin

=-cosα,【利用诱导公式化简时将α当“锐角”】所以cosα=-

.解题技巧

利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤1.“负化正”:用公式一或公式三来转化.2.“大化小”:用公式一将角化为0°到360°间的角.3.“小化锐”:用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.4.“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值.变式训练4.(设问条件变式)(2025届大湾区二模,13)已知θ是第四象限角,且sin

=

,则tan

=_______.

- 

解析∵θ是第