北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2026届高三考前自测数学试卷 （含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2026届高三考前自测数学试题一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知集合A=x1x≤1，则∁A.xx<1 B.x0<x<1

C.x0≤x<1 D.2.抛物线的准线方程是y=−1，则抛物线的标准方程是(

)A.x2=4y B.x2=−4y C.3.已知复数x+i1−i=yi，x∈R，y∈R，则复数x+yi的虚部是(

)A.−i B.−1 C.2 D.−24.以下函数既是偶函数又在0,+∞上单调递增的是(

)A.fx=−cosx B.fx=x5.从原点向圆x2+y2A.π B.2π C.4π D.6π6.设bn是公差为1的等差数列，且bn=an+1+aA.2026 B.2027 C.1013 D.10147.在平面直角坐标系中角θ的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，则“角θ终边在第二象限”是“sinθ>cosθ>tanA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是2%，那么一年后是(1+2%)365≈1377.4，如果每天的落后率都是2%，那么一年后是(1−2%)365≈0.0006，一年后“进步”是“落后”的1.023650.98365≈230万倍，现张三同学每天进步20%，李四同学每天落后10%，假设开始两人相当，则大约(A.7 B.17 C.27 D.379.已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足AG=λAB+15A.−725 B.365 C.7210.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数y=xx∈R称为高斯函数，其中x表示不超过x的最大整数，如1.1=1，−1.1=−2，则点集P=A.2 B.π C.4 D.6二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.若1−2x4=a0+a1x+a12.若双曲线C1：x24−y2213.已知函数f(x)=cosx+π4cosx−π4，则fx的最大值为

，将函数fx图象向右平移φ个单位(0<φ)得到函数14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90∘榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器(容器壁的厚度忽略不计)的体积的最小值为

．

15.已知函数f(x)=1−|2x−3|,1≤x≤212f①f(1024)=0②若函数y=fx−kx有4个零点，则实数k③当x∈2n−1,2nn∈④对于实数x∈1,+∞，不等式2xfx三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.在▵ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，已知3a(1)求A；(2)若a=7，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在，求▵ABC最长边上高线的长．条件①：sinC=5314；条件②：▵ABC的面积为1017.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，▵ABC为正三角形，点E在棱AB(1)求证：E为AB的中点；(2)若平面A1B1C1⊥平面A1ACC1，侧面A1ACC118.无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了80个不同的路段作为测试样本，数据如下表：测试结果真实路况传感器1传感器2传感器3有障碍无障碍无法识别有障碍无障碍无法识别有障碍无障碍无法识别无障碍415111548120有障碍4010104551045105假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立．(1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率；(2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设X为传感器1和传感器2判断正确的传感器个数，求X的分布列和数学期望；(3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于12？(结论不要求证明19.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为(1)求椭圆E的方程；(2)P为椭圆上一点，直线AC与直线PB交于点Q，直线PC与x轴交于点T，设直线PB,QT的斜率分别为k1,k220.已知函数fx=a(1)当a=0时，求fx在0,f(2)讨论fx(3)若fx有两个零点，求实数a的取值范围．21.已知n项数列An:a1,a2,⋯,ann≥3，满足∀i≠j有ai≠aj.若变换T满足∀i∈1,2,⋯,n，有Tai∈a1,a2,⋯,an(1)已知数列A4:1,2,3,4，数列TA(2)证明：对于4项数列A4，不存在3(3)若n项数列An存在3阶逆序变换，求n的最小值．

参考答案1.C

2.A

3.C

4.D

5.B

6.D

7.B

8.B

9.A

10.C

11.−40

12.313.12

；

；

；；14.2815.①②④

16.解：(1)∵∵根据辅助角公式可得2(2)选择条件①sinC=5314，∵a=7，由余弦定理a2=b2+c2∴b边最长，设其高线是h，所以12bcsinA=1选择条件②，由面积公式S=12bc由余弦定理a2=b2+联立得b=8c=5或b=5c=8，两种情况最长边均为8，面积均为故最长边上的高h=2S选条件③，由正弦定理asinA=不符合三角函数值域，故▵ABC不存在．

17.解：(1)连接AC1，交A1C于点因为三棱柱ABC−A1B故F是AC1的中点，又BC1//平面A且平面ABC1∩平面A在▵ABC1中，F是AC1的中点，BC故E为AB的中点，得证．(2)取A1C1中点为O，因为▵又平面A1B1C1⊥平面A1以O为原点，直线OC1为x轴，AA1方向为y轴，则A1由E是AB的中点，得E(−1BC=1,设平面A1EC的法向量为则：n⋅A1E=0n⋅设直线BC与平面A1EC所成角为θ，则设点B1到平面A1EC的距离为d则d=B

18.解：(1)由表格数据可知，传感器1判断正确的路段数为：真实无障碍时判断无障碍的15个，真实有障碍时判断有障碍的40个，共15+40=55个.∵总测试路段共80个，由古典概型得：P=55(2)由表格可知，有障碍的路段共40+10+10=60个.在有障碍路段中，传感器1判断正确的概率P1=40传感器2判断正确的概率P2=45由题意可知X的可能取值为0,1,2，且两传感器判断相互独立．∴P(X=0)=P(传感器1错且传感器2错)=1P(X=1)=P(传感器1对传感器2错)+P(传感器1错传感器2对)=2P(X=2)=P(传感器1对且传感器2对)=2故X的分布列为：

X

0

1

2

P

112

512

12数学期望E(X)=0×1(3)结论：可以．无障路段共4+15+1=20个，传感器1判断为无障的概率为1520=34，传感器小汽车不减速的条件为三个传感器都判断为无障，故减速的概率P=1−34×34×P3，其中P3为传感器3

19.解：(1)椭圆E:x2a设椭圆的焦距为2c，则ca又A(−a,0),C(0,b)，则AC=a解得a2故椭圆E的方程为x2(2)由(1)知A(−2,0),B(2,0),C(0,1)，直线AC的方程为y=1易知直线PB的斜率一定存在，设直线PB方程为y=k由y=12x+1y=k由y=k1(x−2)x2设点P(xP,yP)，则则点P(8直线PC的斜率为kPC直线PC的方程为y=−2k1+12(2k1则QT的斜率k2因此k1+12=2

20.解：(1)当a=0时，函数fx又f′x=−2e所以fx在点0,f0处的切线方程为(2)由题意知，fx的定义域为−∞,+∞f′(x)=2ae①若a⩽0，则f′x<0，此时fx②若a>0，令f′x=0，解得当x∈−∞,−lna时，f′x<0所以fx在−∞,−lna综上，当a≤0时，fx在−∞,+∞当a>0时，fx在−∞,−lna(3)若a⩽0，由(2)知，fx若a>0，由(2)知，当x=−lna时，fx设gx=1−1故gx=1−1x+(i)当a∈1,+∞时，f(−ln a)=1−(ii)当a∈0,1时，f又f−2故fx在−∞,−当x>ln3a，由ex>eln3故exaex则ae2x因此fx在−综上，若fx有两个零点，实数a的取值范围为0,1

21.(1)由于A4:1,2,3,4，TA4:3,1,4,2，故T1=3所以T2A4所以T3A4所以T4A4故T2A4(2)对数列A4的任意变换T①若存在i∈1,2,3,4，有Tai则T不是A4的3②若对i,j,s,t=1,2,3,4，由Tai=aj则T3ai=T2a所以，T3A4若T3A4是A4的逆序排列，则TA4也是③若i,j,s,t=1,2,3,4，有Tai=a则T3ai所以，T不是A4的3综上所述，对于4项数列A4，不存在3(3)由(2)知4阶数列A4不存在3对于3项数列A3:a1、(i)若Ta1=a1，则T3a(ii)若Ta当Ta2=a1时，有Ta3=a当Ta2=a3所以，变换T不是A3的3(iii)若Ta1=a3，同(ii)可知，变换T所以，3项数列A3不存在3对于5项数