第二十章 勾股定理 单元测试卷（含答案）2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理单元测试卷时间：90分钟 分值:120分 得分：一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1.在△ABC中,∠C=90°,若AC=8,AB=10,则BC的长是()A.7 B.6 C.5 D.22.在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是()A.3,4,7 B.1,1,2C.6,12,13 D.23.如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为4，5，20，则正方形B的面积为 ()A.8 B.9 C.10 D.114.一束光线从y轴上一点A(0，1)出发，经过x轴上的点C，然后反射经过点B(-3，3)，则光线从点A到点B经过的路线长是 ()A.4 B.5 C.13 D.65.如图,在四边形ABCD中,∠D=90°,AD=3,CD=1,AB=BC=5,A.5 B.4 C.10 D.86.如图，把一个含45°角的三角尺放入2×4的网格中，三角尺的三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示—1的点重合，则数轴上点A所表示的数为 ()A.22 B.1+22 C.−1+22 D.7.已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a−b(a2A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形8.如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为()A.3cm² B.4cm²C.6cm² D.12cm²9.一个长、宽、高分别是acm，bcm，ccm的长方体无盖盒子如图所示，已知一根木棒长为7cm，且DC⊥AC.通过计算发现，能放入此木棒的长方体无盖盒子的规格是 ()A.a=6cm,b=2cm,c=2cmB.a=5cm,b=3cm,c=3cmC.a=4cm,b=4cm,c=4cmD.a=5cm,b=5cm,c=1cm10.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,如图,连接AC,交BE于点P.若S△CPF-S△AEP=3.5,AE+EB=7,则正方形ABCD的面积为 ()A.28 B.25 C.30 D.24二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11.在△ABC中,若AB=AC=5,BC=6,则△ABC的面积为.12.如图，直线l上有三个正方形，若a，b的面积分别为6和16，则c的面积为.13.如图,点A,B,C,D均在正方形网格格点上,则∠DAC—∠BAC=°.14.如图,Rt△ABC的两直角边长分别为1,2,以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边长为1画第2个Rt△ACD；再以Rt△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第3个Rt△ADE；….依次类推，则第n个直角三角形的斜边长是.15.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD⊥BC.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值为.16.如图，已知在平面直角坐标系中，A−230三、解答题(本大题共8个小题，共72分)17.(8分)如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE=6cm；当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF=8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10cm,求钟摆AD的长度.18.(8分)如图，一根木杆在离地面3m的点B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端4m处.(1)如图1，求木杆折断之前的高度；(2)如图2，若此木杆在点D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端3m处,求AD的长.19.(8分)如图，某小区有一块三角形空地ABC，现计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD，DE隔开，且DE⊥AB.经测量,AB=15m,AC=13m,AD=12m,BD=9m.求：(1)CD的长;(2)BE的长.20.(8分)在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1.求:(1)△ABC的周长;(2)AB上的高CD的长.21.(8分)每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练.如图，云梯AC的长为25m，云梯顶端C靠在教学楼外墙OC上(墙与地面垂直)，云梯底端A与墙角O的距离为7m。(1)求云梯顶端C与墙角O的距离CO的长；(2)现云梯顶端C下方4m的D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离AB为多少米?22.(10分)随着“双碳”目标的提出，减少能源消耗和碳排放对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义.如图，某社区新建新能源汽车充电桩，CD为充电桩，BC和AC分别为两侧充电线伸出后的最长距离.已知在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D,AC=20,BC=15,CD=12.求证：△23.D(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,∠CBE=45°,BE分别交AC,AD于点E,F.(1)若AB=13,BC=10,求AF的长;(2)若AF=BC,BH=EF,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系并证明.24.新趋势综合与实践(12分)定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB.若以AM,MN,NB为边的三角形是直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”.【数学思考】(1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB.若AM=4,MN=5,NB=6,则点M,N是线段AB的“勾股分割点”吗?封请说明理由.【深入探究】(2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”.①“善思小组”提出问题:若MN是以AM,MN,NB为边的三角形的最长边,且AM=BN=2,求AB的长;②“智慧小组”提出问题:若AM是以AM,MN,NB为边的三角形的直角边,且AM=8,AB=24,请直接写出BN的长.1.B在△ABC中,∵∠C=90°,AC=8,AB=10,∴根据勾股定理，得BC2.CA.32+72=符合题意.3.D∵5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，∴∵正方形A,C,D的面积依次为4,5,20,∴4.B如图,作点A关于x轴的对称点A',连接A'C,则A'(0,-1),AC=A'C,且B,C,A'三点共线.作BD∥AA',A'D∥OC,DB与A'D交于点D,∴光线从点A到点B经过的路线长是AC+BC=A'C+BC=5.B如图,连接AC.∵∠D=90°,AD=3,CD=1,∴又∵AB=BC=5∴∴∠B=∠D=90°,∴6.C 如图，设直角顶点C与数轴上表示-1的点重合.由题意，知CA∴数轴上点A所表示的数为−1+27.8.C∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED.∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE,∴BE=9-AE.根据勾股定理可知，A∴解得AE=4cm,∴9.D如图,连接AD.A.由勾股定理，得AC∴ADB.由勾股定理，得AC=a2C.由勾股定理，得AC=a2D.由勾股定理，得AC=a210.A11.12取BC的中点D,连接AD(图略).∵AB=AC=5,∴AD⊥BC,BD=3,∴12.10如图,A,B,C,D,E,F,G均为正方形的顶点,其中点E,B,C,D,G在直线l上.∵∠ABE=∠FDG=90°,∴∠ABC=∠CDF=90°.∵∠ACF=90°,∴∠ACB=∠CFD=90°-∠FCD.在△ABC和△CDF中,{∴△ABC≌△CDF(AAS),∴BC=FD.∵∵a,b的面积分别为6和16,∴∴c的面积为10.13.45如图,取格点E,连接AE,DE.∵∴∠BAC=∠EAC,∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=∠DAC-∠BAC.∵∴∴∠DAE=∠ADE=45°,∴∠DAC-∠BAC=45°.14.n+4第1个直角三角形的斜边长是5=1+4,第2个直角三角形的斜边长是∴依次可得，第n个直角三角形的斜边长是n15.485在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD⊥BC,∴BD=DC,∴BP=PC,∴PC+PQ=BP+PQ,∴当B,P,Q三点共线时,PC+PQ的值最小,∴当BQ⊥AC时,BQ的值最小.令AQ'=a,则CQ'=10-a.∵即102−∴∴PC+PQ的最小值为4816.(0,0)或233设点P的坐标为(m,0).当△PAC为直角三角形时，①当∠APC=90°时,易知点P在原点处,坐标为(0,0).②当∠ACP=90°时,如图所示.∵∠∴232∴点P的坐标为2当△PBC为直角三角形时，①当∠BPC=90°时,易知点P在原点处,坐标为(0,0).②当∠BCP=90°时,如图所示.∵∠BCP═90°,CO⊥PB,∴PO=BO=2,∴点P的坐标为(-2,0).综上所述，点P的坐标为(0，0)或2317.解:设AB=AD=xcm. 1分根据题意可知,BC∥EF,CE⊥EF,BF⊥EF,BF=8cm,∴CE=BF=8cm, 2分AC=AD+DE-CE=x+6-8=(x-2)cm. 4分在Rt△ABC中,∠∴解得x=26, 7分∴钟摆AD的长度是26cm. 8分18.解:(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3m,AC=4m.根据勾股定理，得BC=答：木杆折断之前的高度是8m. 4分(2)设AD的长是xm,则CD=(8-x)m.在Rt△ADC中,根据勾股定理,得x2+3解得x=55∴AD的长是5516m. 19.解:(1)∵AB=15m,AD=12m,BD=9m,∴AB2∴∴∠ADB=90°, 2分∴∠ADC=90°,∴答:CD的长为5m. 4分(2)由(1),知∠ADB=90°.∵DE⊥AB,∴∠BED=90°.设BE=xm,则AE=(15-x)m.∵∴122−答:BE的长为5.4m. 8分20.解:(1)由勾股定理,知AB=3AC=12BC=12∴△ABC的周长为5+17+(2)如图,S△ABC=S长方形CEPG—S△EBC—S△ACC—S△ABP=5×4−1∵∴CD=21.解:(1)∵∠AOC=90°,OA=7m,AC=25m,∴OC=A答:云梯顶端C与墙角O的距离CO的长为24m.(2)∵OD=OC-CD=24-4=20(m),∴OB=∴AB=OB-OA=15-7=8(m).答：云梯底端在水平方向上滑动的距离AB为8m.…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分22.证明:∵CD⊥AB,∴∠CDB=∠CDA=90°.∵在Rt△CDB中,BC=15,CD=12,∴BD=∵在Rt△ACD中,AC=20,CD=12,∴AD=∴AB=AD+DB=16+9=25.∵在△ABC中,AB=25,AC=20,BC=15,∴∴AB2∴△ABC是直角三角形. 10分23.解:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=在直角三角形ABD中,由勾股定理,得AD=AB∵∠∴DF=BD=5,∴AF=AD-DF=7. 3分2AE证明:如图,连接CF,CH.由(1)可得,∠CBH=∠DFB=∠AFE=45°.在△CHB和△AEF中,{∴△CHB≌△AEF(SAS),∴AE=CH,∠AEF=∠BHC,∴180∴CE=CH,∴CE=AE. 6分∵AD⊥BC,∴∠FDC=∠FDB=90°.在△CDF和△BDF中,{∴△CDF≌△BDF(SAS),∴∠CFD=∠BFD=45°,CF=BF,∴∠BFC=∠CFD+∠BFD=90°,∴∠CFE=90°. 9分在Rt△CEF中,由勾股定理,得C又∵AE=CE,CF=BF,∴AE24.解:(1)不是.理由如下:∵∴以AM，MN，NB为