2021年江苏省常州市武进区高考一模数学试卷

2021届XX中学高三第二学期一模适应性考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）1．设集合，则2．已知复数为z的共轭复数，则＝3．马林·梅森（MarinMersenne，1588—1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如（其中p是素数）的素数，称为梅森素数．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是4．已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在（552，651]的人数约为(附：，则A．36014B．72027C．108041D．1682225．明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以﹖所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值.《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数"问题：“今有物不知其数﹐三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何.”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件A.21 B.22 C.23 D.246．已知△ABC中，，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍，若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中的最大值是A．EQ\F(7,2)B．4C．EQ\F(49,2)D．237.已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是A．B．C．D．8.如图，在四面体中，,的重心为，则A.B.C.D.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9.下列命题为真命题的是A.若a>b,则 B.若a<b<0,则C.若c>a>b>0,则 D.若a>b>c>0,则10.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面｡下列说法正确的是A.若m⊥α,n⊥α,则m//n B.若α⊥β,m⊥β,m⊂α,则m//αC.若α⊥β,m⊂α,则 D.若m⊂α,n⊂α,m//β,n//β,则α//β11.二项展开式,则 12.已知函数,且对任意x∈R都有则A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)在上单调递增是f(x)的一个零点 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．已知双曲线的渐近线与圆相切,且双曲线的一个焦点与圆F的圆心重合,则双曲线C的方程为_____.已知函数，则x∈[-1,e]时,f(x)的最小值为_____,设若函数g(x)有6个零点,则实数a的取值范围是_____.(本题第一空2分,第二空3分)在△ABC中,点D在线段AC上,且满足AD=2CD,则sin∠CBD=_____16.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如[1.3]=1,[-1.5]=-2,[2]=2,当时,f(x)的值域为,记集合中元素的个数为则值为____.四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.（10分）已知正项数列的前项和为.若.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）在①，②，③三边成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，______________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．（12分）某土特产超市为预估2021年五一期间游客购买土特产的情况，对2020年五一期间的90位游客的购买情况进行统计，得到如下人数分布表．购买金额（元）人数101520152010（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关？不少于60元少于60元合计男40女18合计90（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，若购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望．参考公式及数据：，其中.附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.87920．（12分）如图所示，矩形和梯形所在平面互相垂直，，90°，，.（1）求证：平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为60°？21．（12分）已知为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.直线：与抛物线交于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）设为坐标原点，试问：轴上是否存在点，使得当变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.22．（12分）已知函数，为的导数.（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求的取值范围.2021届XX中学高三第二学期一模适应性考试数学试卷答案1．B2．D3．A4．B5．C6．C7.C8.C9.CD10.AB11ABC12.ACD1314-4，17．（10分）【解析】（1）由题意得，，则，∴，∴，由可得，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列.（5分）（2）由（1）可得，∴，∴，∴.（10分）18．（12分）【解析】选①，∵在中，，∴由正弦定理得，即，又，∴，（4分）∴，解得，（8分）∴，，．（12分）选②，∵在中，，∴由正弦定理得，即，∵，即，∴，（6分），∴，∴，．（12分）选③，∵在中，，∴由正弦定理得，又，∴，即，即，这与三边成等比数列矛盾，即问题中的三角形不存在．（12分）19．（12分）【解析】（1）列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090（2分）若的观测值，（4分）因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．（5分）（2）X的可能取值为65，70，75，80，且．（6分）由题意知：，，，，（10分）所以X的分布列为X65707580（11分）.（12分）20．（12分）【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，（2分）又平面，所以．（3分）又因为，，平面，所以平面．（4分）（2）如图所示，以点为坐标原点，，和所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系．（5分）过点作于点．在中，，，所以．因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以．（7分）设，则，，，．所以，.（8分）设平面的法向量为，则，即，令，得平面的一个法向量为．（10分）又因为平面，所以平面的一个法向量为，所以，解得，所以当时，二面角的大小为60°．（12分）21．（12分）【解析】（1）根据抛物线的定义，得，解得.（2分）∴抛物线的方程为.（3分）（2）在轴上存在点，使得当变化时，总有.（4分）理由如下：设，，.由消去，得，且恒成立.（6分）∴，，，.（8分）∵时，直线和直线的倾斜角互补，即其斜率互为相反数，∴，∴，即，（10分）∴，得，即点的坐标为（0，）.所以轴上存在点（0，），使得当变化时，总有.（12分）22．（12分）【解析】（1），（1分）令，，则.（2分）当时，，故时，，为增函数，故，即的最小值为1.（4分）（2）令，则，则本题即证当时，恒成立.（5分）当时，若，则由（1）可知