2021年上海市嘉定区高考一模数学试卷

2021年上海市嘉定区高考一模数学试卷一、填空题已知集合A=0,2,4，B=0,+∞，则A∩B=抛物线y2=4x的焦点坐标为不等式x41x已知复数z满足1+i⋅z=2（i为虚数单位），则∣z∣=已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P3,4，则tanπ2设函数fx=ax+1−2a>1的反函数为y=设各项均为正数的无穷等比数列an满足：a1=1，a2+2在△ABC中，∠A=90∘，AB=3，AC=4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为在△ABC中，AB=1，AC=2，CE=16CB+甲和乙等五名志愿者参加进博会A，B，C，D四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有种不同的参加方法（结果用数值表示）．设等差数列an的前n项和为Sn，首项a1>0，公差d<0，若对任意的n∈N∗，总存在k∈N已知函数fx=x∣x−a∣+3x．若存在a∈−3,4，使得关于x的方程fx=tf二、选择题已知x≠0，n∈N∗，则“n=2”是“x+1 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件已知a,b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是   A．1a<1b B．lna>lnb 过双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A．若以C的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过 A．x23−y2=1 B．x2−y如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是该正方体棱上一点，若满足∣PB∣+∣PC A．22,4 B． C．4,42 D．2+2三、解答题如图，正四棱柱ABCD−A1B1C(1)求该正四棱柱的表面积和体积．(2)求异面直线A1D与已知函数fx=cos(1)求ω的值及函数gx=3(2)在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，C，若A∈0,π2，fA=−12，△ABC提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v(单位：千米/小时）和车流密度x(单位：辆/千米）满足关系式：v=50,研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．(1)若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；(2)隧道内的车流量y(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y=x⋅v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米)．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为6，且经过点Q32,3．A为左顶点，B(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若OB+2OC=(3)试问：四边形ABDC的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．若项数为k的有穷数列an满足：0≤a1<a2<a3<⋯<ak（k∈N∗，k≥3），且对任意(1)判断数列1，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；(2)设项数为k（k∈N∗，k≥3）的数列an具有性质P(3)若项数为k（k∈N∗，k≥3）的数列an具有性质P，写出一个当k=4时，an不是等差数列的例子，并证明当

答案一、填空题1.【答案】2,42.【答案】1,03.【答案】−2≤x≤24.【答案】25.【答案】−36.【答案】67.【答案】238.【答案】15π9.【答案】1210.【答案】21611.【答案】−8【解析】由题意得2k−1a则得2k−1⋅ak令n=2得ak=S2，即因为首项a1>0，公差d<0，则得k−2=a又因为k∈N∗，所以k=1，代入（∗）得当d=−a1时，由ak即k=n−1所以k−3n=1即k−3n=1因此当n=4或5时，k−3n的最小值为12.【答案】1,49【解析】由题意得fx=x2+（1）当−3≤a≤3时，−3−a2≤a≤可知fx在−∞,+∞上是增函数，此时关于x的方程f（2）当3<a≤4时，0<−3−a可知fx在区间−∞,a+32，a,+∞当且仅当3a<3at<a+324即1<t<a+3令ga=a+9a，则ga所以，所求实数t的取值范围是1,49二、选择题13.【答案】A14.【答案】D15.【答案】B16.【答案】B【解析】先计算正方体的8个顶点到B，C1则得：1当点P分别在棱BB1，BC，CC1，B12当点P分别在棱C1D1，AB上运动时，m3当点P分别在棱A1B1，CD上运动时，m4当点P分别在棱A1D1，DD1，AD，A由几何直观可知，点P在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m的值是一一对应的，则当∣PB∣+∣PC1∣=mm>0的点P的个数为4时，则三、解答题17.【答案】(1)由题意得AA则该正四棱柱的表面积为S全体积为V=2(2)连接A1C1，D所以直线A1D与A1C1在△A1DC1由余弦定理得cos∠D则得∠DA所以，异面直线A1D与AC所成的角的大小18.【答案】(1)因为函数fx=cos由T=2π∣ω∣又因为ω>0，所以ω=2．此时fx=cos即gx=3当x∈0,π2时，2x−所以所求函数的值域为−1,2．(2)由题意得cos2A=−因为A∈0,π2所以2A=2π3因为△ABC的面积为33，则得12bc即bc=12．又因为b−c=2，由余弦定理，得a=b所以a=4．19.【答案】(1)由题意知，当x=120（辆/千米）时，v=0（千米/时），代入v=60−k得0=60−k解得k=1200,所以v=50,当0<x≤20时，v=50≥40，符合题意；当20<x≤120时，令60−1200解得x≤80,所以20<x≤80.综上，0<x≤80.答：若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度x的取值范围是20,80．(2)由题意得，y=50x,当0<x≤20时，y=50x为增函数，所以y≤20×50=1000，等号当且仅当x=20成立；当20<x≤120时，y=60x−即y≤3250,等号当且仅当140−x=2800即x=140−207综上，y的最大值约为3250，此时x约为87．答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米．20.【答案】(1)由题意得2a=6,解得a=3.把点Q的坐标代入椭圆C的方程x2a2由于a=3,解得b=2.所以所求的椭圆的标准方程为x(2)因为OB+2OC=0,则得OC=−12OB=0,1,即C0,1.又因为A−3,0,所以直线(3)解法一：由题意知，直线PB的斜率存在，可设直线PB:y=kx−2k>令y=0,得D2k,0.由y=kx−2,x29+y24=1,得4k2+9x2−36kx=0,解得x=0舍去或x=36k4+9解法二：由题意知，设Px则直线PB的方程为y+2=y0+2x0x−0,即y=y0+2x0⋅x−2.令y=0,得D12因为点P在椭圆Γ上，则得x029+y024=1,21.【答案】(1)数列1，2，4，8不具有性质P．因为0≤1<2<4<8，但是4+1=5，4−1=3，它们均不是数列1，2，4，8中的项，所以数列1，2，4，8不具有性质P．(2)因为ak所以ak−a所以a1设2≤i≤k，因为ak所以ak则得0=a因为0≤a所以ak−ak=a1，ak−将上面的式子相加得：ka所以ka(3)数列0，1，4，5具有性质P，但该数列不是等差数列．（答案不惟一）下面证明当k>4,即k≥5时，数列an由（2）得a1①