2026高考数学复习（湘教版）第七节 余弦定理和正弦定理

第七节余弦定理和正弦定理

【课程标准】通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦

定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

教材梳理夯实基础

1.正弦定理、余弦定理

在A48C中，若角4B,。所对的边分别是a,b,c,〃为△48。外接圆半径.

正弦

⑴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2R»inC.

定理

_变形1(2)a:6:c=sin4:sin&sinC.

(3)asinB=bsinA,bsinC=csinBfasinC=csinA.

rlWL。2=62+©2-2从COS4,]2=/+/-2<1=05B,

'"c2=fl2+62-2q^ccsC._______________

余弦

.b2+c2-a2/+。2_62

定理cos/1=——-----,cosini-

2bc

L变形

a2+62-c2

cosC=-----------

lab.

2.三角形解的判断

3.三角形中常用的面积公式

S=^aha（ha表示边a上的高）;

面

积1

公2-acsinfi=^6csinA;

式

S=^r（a^b+c）（r为三角形的内切圆半径）.

【常用结论】

(1)三角形中的边角关系

在A/18。中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，/>8=Q>b=sin4>sin

5<=>cosJ<cosB.

(2)三角形中的三角函数关系

(l)sin(J+5)=sinC.

(2)cos(J+5)=—cosC.

/r\.A+BC

(3)sin—乙=cos乙-.

力+8・C

(4)cos—=sin-.

(3)三角形中的射影定理

在△/IBC中，a=bcosC+ccosB；

b-acosC+ccosA；

c=Z?cosA+“cosB.

【自主检测】

L(多选)下列结论错误的是()

A.三角形中三边之比等于相应的三个内角之比

B.在△月6。中，若sin力〉sin6,贝!J/ON6

C.在△48c的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素

D.当〃+。2—标>0时，△力8C为锐角三角形；当〃+。2一次=0时，2BC为直

角三角形；当乂+C2—〃2Vo时，△4BC为钝角三角形

答案：ACD

2.已知中，角力，B,C所对的边分别为a,b,c,若N/gZ5=^,o=l,

则b=()

A.2B.1

C.V3D.V2

答案：D

解析：由,得b=驾三=务2=&.故选D.

sin/1sinBsin/1syn6-2

3.(用结论)(2023•全国乙卷)在中，内角4B,3的对边分别是mb,c,

若acosB-bcosA=c,SZC=^,贝！|N8=()

A.9B.

105

C.D.§

105

答案:c

解析：由题意结合正弦定理可得sin力cosB-sinBcos4=sinC,即sin力cosB-sin

8cos4=sin(4+8)=sin/cos8+sin8cos/，整理可得sin8cos4=0,由于8£(0,

7i),故sin8>0,据此可得cos4=0,ZJ=^,贝!JNBF—N4—NC=TT—g

故选c.

4.在△力8C中，已知N8=45。，b=2,c=V2,贝(]NC=.

答案：30°

解析：由正弦定理得sinC呼二争竺三，因为b*,3=45。，所以NC=30。.

DLL

5.8C中，角4,8,C的对边分别为a,6,c,且a=4,/)=5,c=6,则cos4=»

^ABC的面积为.

答案：2isB

解析：依题意得cos4="+；：”2吟所以sin/=J1—cos?%=[,所以。的面

2bc4\4

积为；bcsin4=耳^

24

学生用书，第110页

考点探究提升能力

考点一利用正、余弦定理解三角形自主练透

1.(2021•全国甲卷文)在△J8C中，已知N8=12()o,/C=g,48=2,贝I」8c=()

A.1B.V2

C.V5D.3

答案：D

解析：由余弦定理AC^AB^BC2-2ABBCcosB，得5（？+2^-15=0,解得BC=3

或8c=-5（舍去）.故选D.

2.^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA—bsm8=4csinC,cos

4=—%则g=()

A.6B.5

C.4D.3

答案：A

解析：由题意及正弦定理得〃一次=—4*,所以由余弦定理得cos4=

^U，解神=6.姓A.

3.(2024・全国甲卷理)在ZU8。中，内角4B,。所对的边分别为。，b,c,若/

〃=》c,则sin力+sinC=()

答案：C

解析：因为/乎C,贝（]由正弦定理得sin/sin0喙评8=今由余弦定理可

得b2=a2+c2—ac=]c,即a2+c2=^-ac,根据正弦定理得sin2/i+sin2C=^sin/sin

444

C=*所以（sinZ+sinG）2=sin24+sin2c+2sin4sinC=J因为NC为三角形

内角，则sin/+sinC>0,则sin4+sinC=^.故选C.

4.（2024・新课标0卷）记AJ8C的内角4B,C的对边分别为mb,c,已知sin

J+V3cosA=2.

⑴求/4；

⑵若。=2,V2Z?sinC=csin2B,求△48C的周长.

解：⑴法一：（辅助角公式）

由sinA+V3cosA=2可彳#1sinA+ycos4=1,即sin（4+；）=1,

由于4£（0,兀）nzJ+拒售,用，故4弋g解得N4哼

3J/J/o

法二：(同角三角函数的基本关系)

由sin4+>/5cos4=2,又sin~+cos2/=l,消去sin力得至I」,

4cos24—4>/3cos/1+3=0<=>(2COS?1—V3)2=0,解得cos4=个，

又/46(0,兀)，故

O

(2)由题意得sinC=csin24=&sinBsinC=2sinCsinBeusB,

又NBZC£(0,又则sinBsinC和,进而cos3=殍，得到

于是/。=兀—4—N8=

sinC=sin(7r—A—B)=sin(4+4)=sin4cosB+sinBcosA=V^v6

由正弦定理可得白=展=三，即口=-P

sin/lsinBsinCsin；sin-7sin—

64,“I12

解得力=2或，c=V6+V2,

故△NBC的周长为2+V6+3V2.

・规律方法・

应用正弦、余弦定理解题的技巧

1.求边:利用正弦定理变形公式。上器或余弦定理。2=〃+°2—26CCOSA等求解.

sinfi

2.求角：利用正弦定理变形公式sin力上嘤等或余弦定理变形公式cos4上等Q

b2bc

等求解.

3.利用式子的特点转化：如出现/+〃一。2=〃〃的形式用余弦定理，等式两边是

关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.

考点二判断三角形的形状师生共研

典例n⑴设△48C的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccos3=〃sin

%,则△43C的形状为()

A.直角三角形B.锐隹三角形

C.钝角三角形D.不确定

⑵在A4BC中，若c-acos8=(2〃f)cos4则△为3C的形状为.

答案：(I)A(2)直角三角形或等腰三角形

解析:⑴因为bcosC+ccosB=〃sinA,所以sinBcosC+sinCeos^=sin2J,即

sin(5+Q=sin2J,所以sin/=sin2/,又()<//<兀，故sin4=1,即N/竹，因此

△4BC是直角三角形.故选A.

(2)由正弦定理得sinC—sinAcos4=2sinAcosA—sinBcosA,所以sin(4+B)—sin

/fcos^=2sin/(cosA—sinBcosA,故cos4(sinB—sin/)=0,所以cos/=0或sin

4=sinB,即/力，或N'/=N8,故△NBC为直角三角形或等腰三角形.

［变式探究］

1.(变条件)若将本例⑴中的条件改为“2sin4cos8=sinC"，试判断△44C的形状

解：)4—:由已知得2sin4cos4=sinC=sin(4+8)=sin为cosB+cos力sin8,即sin(4

-3)=0,

因为一兀4NN—N8V冗,所以N4=NA,

故△/8C为等腰三角形.

法二：由正弦定理得24cosB=c,再由余弦定理得2QH+；2

2ac

故△力BC为等腰三角形.

2.(变条件偌将本例⑴中的条件改为,试判断AJ8C的形状.

cosffa

624c2一。2

解：法一：由余弦定理得，*=耳弄上，化简得(次—〃)(/—〃2—分)=(),所以

COSDa十c"CL

2ac

a=b或所以△力BC为等腰三角形或直角三角形.

法二：由喘=£可知cos4>0,cos5>0,即N4W(0,3NB£(0,沙

结合题意及正弦定理可得士二=警，即sin4cos4=sinBcosB,所以:sin2A=-^sin28,

cosBsin/l22

贝!12ZA=2ZB或2N4+2/3=兀，即N/=N8或//+N8=g.

所以△48。为等腰三角形或直角三角形.

・规律方法-

判断三角形形状的两种常用途径

时

断

M

学生用书,第111页

注意：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化

角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关

系.

对点练1.在Az/BC中，已知。2+小一/=疝且2cos4sin8=sinC,则该三角形的

形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

答案：C

解析：因为—/=成所以由余弦定理得COS。=史*4又NOW（0,n）,

所以NC4由2cos/sin5=sinC及正弦定理得，cos4不方=域='+：°，所

3zsinKLb2bc

以即Qq,又/C=全故该三角形为等边三角形.故选C.

对点练2.（2021・新高考n卷）在A46C中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,

b=a+l,c=a+2.

（1）若2sinC=3sin4,求△/BC的面积；

（2）是否存在正整数a,使得A48C为钝角三角形？若存在，求访若不存在，说

明理由.

解:⑴由2sinC=3sinA及正弦定理，得2c=3a.

又c=a+2,所以〃=4,。=6,

所以b=a+l=5.

由余弦定理，得cos4弋上卷然=*

又N/e(0,兀)，所以sin4亭，

所以Sac=如sin4=沁x6必=^~.

(2)存在.

由题意知c>6>a,要使△NBC为钝角三角形，需cos

。_。2+b2-c2_a2+(a+l)2—(a+2)2_a—3<0

2ab2xax(a+l)2a'

得0<"3.

因为a为正整数,所以。=1或〃=2.

当a=l时，b=2,c=3,此时不能构成三角形；

当。=2时，b=3,c=4,满足题意.

综上，存在正整数。=2,使得△48C为钝角三角形.

考点三与三角形面积有关的问题师生共研

典例日［答题规范］(13分)(2024・新课标/卷)记的内角4B,。的对边分

别为。，b,c,已知sinC=VZcos4,a2-\-b2—c2=y[2ab.

⑴求N8；

(2)若△4灰?的面积为3+8，求c.

［思路分析］

(1)(求COsC]-»(求/C)

:求cos8)*｛求N8)

[sinC=«^cosB

■*cs

答题模板满分细则

解：⑴因为a2+a-d=Jiab,

所以由余弦定理得CORC=翠土号［2分］

-①利用余弦定理求cosC.

又0<4C<ir,所以，。=手.【3分】咋……——

—②求C.

所以72cos8=sUnC=2,所以cos8=[5分]---------

22।…・③求cosB.

--④求8.

....⑤根据三角形内角和、诱导公式

及两角和的正弦公式求sinA.

•一-⑥根据正弦定理确定明c的关系.

--⑦根据三角形的面积公式求c

学生用书■第112页

・规律方法・

三角形面积问题的常见类型

1.求三角形面积：一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数

公式等，求出角与边，再求面积.

2.已知三角形面积解三角形：常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角

的两边间的关系.

3.已知与三角形面积有关的关系式：常选用关系式中的角作为面积公式中的角，

化为三角形的边角关系，再解三角形.

对点练3.(2024•河南开封第二次质量检测)记的内角4B,。的对边分别

为a,b,c,已知/>cosA=&〃sin4.

⑴求sinA；

(2)若方相,再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够

确定唯一的三角形，并求AJ8C的面积.

条件①：b=y［6c',条件②：条V5；条件③：sinC=1.

注：如果选择的条件不符合要求，第⑵问得0分；如果选择多个符合要求的条

件分别解答，按第一个解答计分.

解:(1)由bcos4=&asin8,

得sinBcos4=&sin4sin从而sin8#0,

贝(Jcos4=V^sin/>0,/力为锐角，又sin2力+cos2/=l,解得sin4=*

所以si"4且4为锐角.

⑵若选条件①，由sin/=gN4为锐角，得cos/考，

OO

由余弦定理得a12=b2^-c2-26ccosA,又b=\［^c,贝U3=6c2+c2-4c2,

解得c=l,/)=V6,A4BC唯一确定，所以S5c=，csin4=¥.

若选条件②，由正弦定理得白=々，则疝8=尊=彳<1,

sin4sinB、33

由力=乃>4=75,彳导/B>/4因此角3有两解，分别对应两个三角形，不符合

题意.

若选条件③，由sin力磬，N力为锐角，得cos/磬，

又sin4=^>sinC=1,得Z^>ZC,

则cosC=半，

因此sinB=sin(/+C)=sin/cosC+cos/sinC=培，4ABe唯一确定，

由正弦定理得白=£，则。=「舁=1，

sinHsinCv3

3

所以SAj8c=；〃csinB粤.

2z

考教衔接

1.［真题再现］(2022・新高考n卷)记△/8C的内角4B,。的对边分别为4,b,

c,分别以c为边长的三个正三角形的面积依次为Si,S2,S3.已知S—S2+S3咚

sin8=1.

(1)求△48c的面积；

(2)若sin/sinC=^,求力.

解：(i)fiS|—S2+S3=y,得f(排一〃2+°2)=冬即—%2+C2=2,

又a2—b2+c2=2accosB,所以accosB=1.

由sinB=1,得cos8=手或cos5=一笠舍去)，

所以ac=；B盘丫,则A/iHC的面积S=；〃csin4=白乎xg=条

2V2422438

(2)由sin/sin。乎，的=乎及正弦定理知一^=—^~7=去=1,BP^2=7x1=p彳导

34sin"sin4sinC34494

3

2.［真题再现］(2022•北京卷)在△44C中，sin2C=<3sinC.

⑴求NC；

⑵若8=6,且A48C的面积为675,求AJ8C的周长.

解：(1)因为$吊2。=7=。，

所以2sinCeosC=V3sinC.

因为NC£(0,7i),所以sinC#),所以coscT，

46

(2)因为△JBC的面积S=1〃bsinC=gx4x6xg=6>/5,所以tz=4\/3.

由余弦定理可得/=〃2+力2—2ahcosC=48+36-72=12,所以c=2V3,

所以△44C的周长为Q+6+C=4V3+6+26=6(75+1).

［教材呈现］(湘教版必修二P97Tl9)在锐角A48C中，已知〃?=(2sinC4+C),6),

〃=(cos2B,2cos2号一1),且〃7〃〃.

⑴求角8的大小；

(2)若AC=\,求△4BC面积的最大值.

点评：高考题和教材习题的考查角度、考查方式一样，都是给出含有三角形的边、

角关系的式子，结合三角知识求解，事实上这类问题是高考试题中解三角形问题

的典型的题型.

课时测评35余弦定理和正弦定理蠡慈

(时间：60分钟满分：100分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)

◎基础排查练(1-9,每小题5分共45分)

1.在中,sin2J=sin2^+sin2C+sin^sinC,则cos4=()

答案：B

解析：因为sin^nsirPH+sinP+sin8sinC,所以由正弦定理得。2=〃+，+6如则

cosA=-+;：—吸.故选B•

2.（2024•江西吉安模拟疮△"C中，a,b,c分别是角4B,C的对边，若VJosin

B=bcosA,且6=2百，c=2,则〃的值为（）

A.2V7B.2

C.2V3-2D.1

答案：B

解析：由已知及正弦定理得，V3sinJsin8=sin8cosA且sinB#0,可得tan

又0<N4v兀，所以N4=；,又6=2百，c=2,所以由余弦定理。2=人2+。2—2加©05

6

4=16—12=4,解得々=2.故选B.

3.在△J8C中，内角4,B,C所对的边分别为。，b,c,若C=2QCOS8,则△J8C

的形状一定是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰三角形

答案:D

解析：由余弦定理可得cosB=a+：—b,故c=2〃cos__—~a+c~b,即

2ac2acc

C2=a2+c2-h2f故/二H则方爪所以△/IBC为等腰三角形.故选D.

4.（2024・陕西咸阳模拟）已知〃，6,c分别为内角4,B,。的对边，sinC=^

c=4,4g则ZU8C的面积为（）

A.1B.2

C.1或7D.2或14

答案：C

解析：由可得分=乎，因为sinC=g,所以cosC=T或cosC=|,所以sin

sinesinn2555

A=sin（5+0=sirrcosC+cos^sinC,故sin彳=得或sinJ=^,所以

^=^X-^-X4X^=1或S98c=Tbcsin4弓又^?乂4乂*=7.故选C.

5.（多选）（2024・辽宁大连模拟）已知△ABC的内角4B,C的对边分别为。，b,c,

则下列说法正确的是（）

A.若七=上，则N4三

cos/ls\nB4

B.若sin24=sin28,则此三角形为等腰三角形

C.若。=1,b=2,4=30。，则此三角形必有两解

D.若△力BC是锐角三角形，贝（Jsin4+sin3>cos力+cos4

答案：AD

解析：由正弦定理可知‘又白=白，所以白=啖，可得tan4=1,因为

smAsin8cos/lsinZ?cos/lsinA

Z/ie（0,兀），所以//=：,故A正确；因为2N/£（0,2兀），2NB£（0,2K）,且

2N42N3最多有一个大于兀，所以由sin24=sin28可知，2NZ=2N4或2N

A+2ZB=nf即N4=NB或N4+N8、，所以△月3c为等腰三角形或直角三角形,

故B错误；由正弦定理可得sin4蛆叫=苧=1,因为NAW（0,冗），所以NEW，

a1I

故此三角形有唯一解，故C错误；因为△48。是锐角三角形，所以4+N5斗

即>N4>1—NB>0,又片sinx在（0,上单调递增，所以sin4>sin（］—8）=cos

B,同理sin5>sinQ—4）=cos4,所以sin4+sin5>cosJ+cos3,故D正确.故选

AD.

6.侈选）（2024・四川资阳模拟）在△/5C中,内角4B,6所对的边分别为小b,

c,且-^=tan/+tan8,下列结论中正确的是（）

acosB

A.

6

B.

3

c.当a=4时，44BC面积的最大值为2A/3

D.当人一0=学时，△43C为直角三角形

答案：BD

解析：由-^=tanA+tanB及正弦定理得=3A+tanB,即'

acosBsin/lcosBsxnAcosB

tan/+tan8=&^*3=tan4+tan8,即受吟吧.n4+tan区因为

sin/lcosHtan/1

在三角形中tan4+tan8/0,所以tan4=g,又力£（0,兀），所以//4，故A错

误，B正确；若。=4,由炉+（?一岸=bc得16=Z?2+c2—bc22bc-bc=bc,即bcW16,

当且仅当方=c=4时，等号成立，所以5k^二5山11/《916%。=4百，即△48C

乙乙乙

面积的最大值为4V3,故C错误;由b—0=争导—+苧，将其代入b^-a^=bc

中得3<?+遮收一2次=0,所以（V5c—〃）（V5c+2a）=0,因为a>0,c>0,所以百c

—n=0n〃=V5c,即力=2c,所以满足〃=解+。2,故△"C为直角三角形，故D止

确.故选BD.

7.(2025•江西赣州模拟疮△力BC中，AB=y/7,AC=2,ZC=120°,则sin/=

答案：察

解析：因为48=77,AC=2,C=120°,所以由余弦定理彳

。可得8G+28。-3=0,所以解得3C=1,或一3（舍去），所以由止弦定埋可得sin

,BCsinCV21

8.（2024•江西宜春模拟）A45C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin

C+csinB=4asinBs\nC,b2+c2—〃?=8,则△4BC的面积为

答案耆

解析：因为bsinC+csin4=4asinBsinC,sinBs\nC>0,结合正弦定理可得sinBsin

C+sinCsinB=4sin4sinBsinC,所以sin因为b2+c2—a2=8,结合余弦定理

a2=b2+c2—2ZJCCOSA,可得26ccos4=8,所以N/为锐角，且cos从而求

得防萼，所以△45C的面积为S="；i"竽弓=竽

9.（2024•广西梧州模拟於A43C中，角4B,C的对边分别为。，b,c,且S+/））cos

C=c（cosJ+cosB）,a=4,b=6,贝!]c=.

答案：2A/7

解析：由正弦定理得（sin/+sin8）cosC=sinC（cosJ+cosB）,所以sinAcosC+sin

5cosC=sinCeos/+sinCeosB,所以sin4cosC-sinCeos^=sinCeosB-sinSeos

C,即sin（力一C）=sin（C-3）.又N4/B,NC是三角形的内角，ZJ-ZC+ZC

-/B=N4—NB£（r兀），所以N/-NC=NC-N8,所以N/+N8=2/C,

所以/。带，由余弦趋里得/=〃2+力2-2"cosC=42+6?-2X4X6X；=28,所以

c=2夕.

10.（10分）（2023•全国乙卷）在△48C中,已知。分C=120。,AB=2,AC=\.

⑴求sinN/lBC；（4分）

（2）若。为8C上一点，且/8/。=90。，求△NDC的面积.（6分）

222

解：⑴由余弦定理可得BC=AB+AC-2AB-4CCGS/BAC

=4+1—2x2x1xcos120°=7,

a2+c2-b27+4-15V7

贝！JBC=V7,COSZABC^2ac-2xV7x2-14'

sinZABC=l—cos2/.ABC=

,_Ir/—八--/OSAaria-X/lfiX/IDXsin90°

⑵由二角形面积公式可得需WW30°=4,

贝（JS〃DcqSzBc=gx（Tx2x1xsinl20°）=^.

®综合运用练

11.（15分）（2025・重庆模拟）已知AJ5C的内角4B,C的对边分别为mb,c,

sin（月-6）lanC=sin//sinB.

（1）求今匕（6分）

⑵若cos求sin4（9分）

解：（1）因为sin（4—8）tanC=sin/sinB,

所以sinM-B）当:=sin/sinB,

所以sin（J—8）sinC=sin力sinBcosC,

即sinAcosBsinC-cos力sin5sinC=sin力sinBcosC,

由正弦定理可得accosB-bccosA=abcosC,

由余弦定理可得〃・咚卫_从警4="的萨，

22

222222222222

所以a+c—b—b-c+a=a-^b—c,即a+c=3bt所以。烹=3.

（2）由题意可知cosB="+；（/='又a2+c2=3b2,可得a2+c2—2ac=0,

即（a—c）2=0,

所以。=c,即ZU8C为等腰三角形，

B2

由Tcos^=2cos2--1=-,

23

曰B\/30—ixBx/30

解得；丁或

COS2=6cos2-=—6—,

因为N8£（u,3,所以：e（。，;）,

rrzplB>/30

所以cos-=—,

Zo

匚・A・/口BB

所U以I'IsinA=sinl---、l=cos-=—V30.

Z/zo

12.（20分）（2024福建福州模拟）记△/8c的内角/B,C的对边分别为a,b,c,

且3而灰+4前炭=?%函

⑴求;；（7分）

⑵已知N3=3NC,c=l,求△力3c的面积.（13分）

解：（1）已知3bccosA+4QCCOSB=abcosC,

代入余弦定理，3（b2+c2-a2）+4（a2+c2-b2）=a2+b2-c\化简得4c—ZA所以勺2.

（2）由正弦定理知当，即sin8=2sinC,

csmC

又/B=3/C,故sin8=sin3C=sin(2C+C)=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinC(1

—sin2Q+(l—2sin2QsinC=3sinC_4sin3C=2sinC,

即3-4sin2c=2,得sinC=1,故ZC=：=|n舍),此时N8=3NC=p

b=2c=2AB=2,BC=\[3f贝!的面积SAMCVXI、百=名

L2

@创新拓展练(每小题5分，共10分)

13.(2025•江苏徐州适应性测试)在中，已知//18C=2NA4C,3BC=2AB,

BDUC,。为垂足，CD=2同,则8。=()

A.3A/6