苏科版八年级数学下册期中模拟卷（一）解析版

苏科版数学八年级下册期中仿真模拟卷（-）

一、选择题（每题3分，共24分）

1.“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）

A.必然事件B.随机事件C.确定事件D.不可能事件

【答案】B

【解析】【解答】抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反而朝上，故抛I枚均匀硬币，落地后正面

朝上是随机事件.

故答案为：B.

【分析】根据随机事件的定义“在一定条件下，有可能发生，也可能不发生的事件是随机事件''逐一判断即可.

2.某校从800名学生中随机抽取100名学生进行百米测试，下列说法正确的是（）

A.该调查方式是普查

B.每名学生的百米测试成绩是个体

C.样本容量是800

D.100名学生的百米测试成绩是总体

【答案】B

【解析】【解答】解：A.此调查方式为抽样调查，本选项不合题意，A错误；

B.每名学生的百米测试成绩是个体，根据定义，本选项符合题意，B正确；

C.样本是100名学生的测试成绩，本选项不合题意，C错误；

D.800名学生的百米测试成绩是总体，本选项不合题意，D错误.

故答案为：B.

【分析】本题考查抽样调查相关概念.根据抽样调查和普查的定义可判断A选项；根据个体的定义可判断B

选项；根据样本容量的定义可判断C选项；根据总体的定义可判断D选项.

3.要反应我区2019年12月份每天的最高气温的变化情况，宜采用（）

A.条形统计图B.扇形统计图C.折线统计图D.统计表

【答案】C

【解析】【解答】解：要反映每天的气温升高、降低的变化情况，因此选择折线统计图较好，

故答案为：C.

【分析】本题考查统计图的选择.根据题意：要反映经开区2023年5月份每天的最高气温的变化情况，因此符

合折线统计图的特点，因此选择折线统计图比较合适.

4.一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1〜4组的频数分别为10、10、12、13,则第5组

的频率是（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

第1页

【答案】A

【解析】【解答】解：5°T°飞-"-13=0],

故答案为：A.

【分析】本题考查频数与频率.先求出第5组的频数，再根据残本=等进行计算可求出第5组的频率.

5.袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的

可能性最大，则m的值不可能是（）

A.1B.3C.5D.10

【答案】D

【解析】【解答】解：袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，当m=l、3、5时，摸到红球的可能性最

大,所以A、B、C都不符合；当m=10时，摸到白球的可能性最大，所以D符合.

故答案为：D.

【分析】对m分别取1、3、5、10时,，找出摸到可能性最大的球的颜色，再作判断.

6.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一

结果的实验最有可能的是（）

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B.袋子中有1个红球和2个黄球，从中随机地取出一个球是黄球

C.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”

D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6

【答案】D

【解析】【解答】解：4、在“石头、剪刀、布''的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为卷故本选项错误；

B、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为左故本

选项错误；

C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是最故本选项错误；

D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为0.17,故本选项正确.

O

故选：D.

第2页

【分析】根据概率公式逐项进行判断即可求出答案.

7.如图，EP过团43C。对角线的交点O,交A0于E,交于F,若团A3C0的周长为18,0E=2,则四边形

D.10

【答案】B

【解析】【解答】解：TEF过匹48CD对角线的交点0,

:•乙EDO=(OBF,DO=BO,

在△EOO和48。尸中，

ZEDO=乙OBF

BO=DO,

Z-EOD=Z.BOF

：.△EOD=△BOF(ASA),

：.DE=BF,

•：0E=2,

：.0E=OF=2,

・•・四边形EFC。的周长为：ED+FC+EF+CD=AD+EF+CD,

•・・包4BCD的周长为18,

：.AD+DC=9,

・•・四边形EFCD的周长为:9+2+2=13,

故答案为：B.

【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出△EOD三4BOF.利用全等三角形的性质可得DE=8几再

利用平行四边形的周长公式及等量代换可得40+DC=9,最后求出四边形的周长即可.

8.如图，RsABC中，ZACB=90\AC=6,BC=8,。是A8上一个动点，过点。分别作。E_LAC于点

E,DF上CB于点F,连接E凡则线段E/的最小值是（）

第3页

A.5B.2.5C.2.4D.4.8

【答案】D

【解析】【解答】解：如图，连接CD,

=7AC2+BC2=10,

VDEIAC,DF1BC,ZC=90°,

・•・四边形CFDE是矩形，

・・・EF=CD,

由垂线段最短可得CD±AB时，线段EF的值最小，

此时S“8c=^BC-AC=-CD，

即鼻8乂6=鼻10CO，

解得CD=4.8,

・・・EF=4.8

故答案为：D.

【分析】连接CD,利用勾股定理列式求出AB,判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对珀线相等可得

EF=CD,再根据垂线段最短可得CD_LAB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解

即可.

二、填空题（每题3分，共24分）

9.在立行四边形4BCD中，如果44+乙。=200。，那么乙4的度数是度.

【答案】100

【解析】【解答】解：•・•四边形48CD是平行四边形，

Z.A=Z.C,

•・"A+乙C=200°,

：.2Z-A=200°,

：.Z.A=100°,

故答案为：100.

【分析】根据平行四边形的性质得24=4C,结合条件即可求出乙4的度数.

第4页

10.某市各类学校占该市学校总数的百分比如下:

幼儿园小学中学高等院校其他

40%30%20%5%5%

若根据这个统计表制作扇形统计到，则“中学”对应的扇形圆心角的度数为.

【答案】720

【解析】【解答】解：“中学”对应的扇形圆心角的度数为36()。'20%=72。；

故答案为：72°；

【分析】利用“中学”所占的百分比，乘以360。即得结论.

11.如图，在胤4BCD中，AD1BD,AC=10,80=6,点E,尸分别平分线段OD,04贝U"的长

为•

【答案】2

【解析】【解答】解：TAD_L，

：.Z.0DA=90°,

•••在平行四边形48co中，AC=10,BD=6,

AO=CO=5,BO=DO=3,

•*-AD=y/AO2-DO2=4，

•・•点分别平分线段OD,OA,

AE尸是△4。。的中位线，

-*-EFAD=2.

故答案为：2.

【分析】

先由勾股定理求出AD,再利用三角形中位线定理计算即可.

12.小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为400cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部

分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以

估计黑色部分的面积约为cm2.

第5页

【答案】160

【解析】【解答】解：•・•点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右,

・••估计点落入黑色部分的概率为40%,

・•・黑色部分的面积约为：400X40%=160cm2,

即黑色部分的面积约为160cm2,

故答案为：160.

【分析】根据落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，可估计黑色部分的面积占总面积的40%,进而用总面

积乘40%,即可得出答案。

13.在一个不透明的布袋中装有红色、蓝色、白色玻璃球共60个，除颜色外其他安全相同，小明通过多次

摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在0.15左右，则口袋中红色球可能有个.

【答案】9

【解析】【解答】解：红色球的频率稳定在0.15左右，所以红色球的个数可能是:

60x0.15=9（个）

故答案为：9

【分析】根据频率估算概率的知识可得摸到红色球的概率约为015,然后根据概率公式进行计算.

14.用两块全等的含30。角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是

【答案】3个

【解析】【解答】解：如图所示:

故答案为：3个.

【分析】分别以较长直角边为对角线、较短直角边为对角线及以斜边为对角线，根据两组对边分别相等的四

边形是平行四边形进行拼图即可得出答案.

15.如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取

了以下办法：用一个长为5m,宽为4m的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔

小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计

图.若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为

第6页

小球落在不规则图案内的频率

0.4

035

0.3

060120180240300360夕会次数

图②

【答案】7

【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为

由已知得：长方形面积为4X5=20^2,

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：赤，

当事件4试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件力发生的概率估计值，故由折线图可知，小球

落在不规则图案的概率大约为0.35,

综上有：克=。35，

解得％=7.

故答案为：7.

【分析】

由大量重爱试验的频率在概率附近波动得，不规则图案的面积约等于矩形面积的0.35.

16.如图，矩形ABCD面积为40,点P在边CD上，PE±AC,PF±BD,足分别为E,F.若AC=10,贝U

【解析】【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O,连接PO,

.\AO=CO=5=BO=DO,

SADCO=^S矩形ABCD=10,

*.*SADCO=SADPO+SAPCO>

第7页

・•・10dxDOxPF+/xOCxPE

，20=5PF+5PE

，PE+PF=4

故答案为4

【分析】设AC与BD的交点为O,连接PO,根据矩形的性质得到AO=CO=5=BO=DO,则SADCO=|S也形

ABCD=10,再根据三角形的面积结合题意代入计算即可求解。

三、解答题（17-18题,每题5分,19-21题,每题6分,22-24题,每题8分,25-27题，每题10分，共82

分）

17.如图，在EMBCD中，为对角线，E、尸是8D上的点，且8E=DF.求证：四边形4ECF是平行四边

形.

・・•四边形力BCD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

•:BE=DF,

；.OB-BE=OD-DF,WOE=OF,

••MC与E尸互相平分,

・•・四边形4ECF是平行四边形.

【解析】【分析】连接AC,交BD于点。,根据平行四边形性质可得。4=。。,。8=。0,根据边之间的关系可

得OE=OF,再根据平行四边形判定定理即可求出答案.

18.某班4（）名同学一次数学测验成绩的频数表如下表（未完成）.

某班一次数学测验成绩的频数表

纽别（分）频数频率

49.5—59.510.025

第8页

59.5〜69.550.125

69.5〜79.58

79.5〜89.50.350

89.5〜99.5

1002

（I）填写频数表中未完成的部分.

（2）求该班这次数学测验的优秀率（80分及以上为优秀）.

【答案】（1）从上到下依次填0.2,14,10,0.25,0.05

（2）65%

【解析】【解答］解：（I）根据一：二一=频骅，频数=频率x样本容量,频数之和等于样本容量，频率之

样本谷量

和等于1,

69.5〜79.5的频率是毯=0.2;

79.5〜89.5的频数是0.350x40=14；

100的频率是上=0.05;

40

89.5〜99.5的频数是40-14-1-5-8-2=10；

89.5〜99.5的频率是瑞=0.25;

故依次为14,10,0.2,0.25,0.05.

（2）根据题意，得80分及其以上的频率和为0.35+0.25+0.05=0.65,

故优秀率为65%.

【分析】本题考查频数分布表，频率的计算.

（1）根据二弊以=频率，频数=频率乂样本容量,频数D和等干样本容量，频率夕和等干1,依次进行

样本容里

计算可求出频数表中未完成的部分.

（2）计算80分及以上的频率之和，据此可求出该班这次数学测验的优秀率.

19.如图，在△A8C中，点。是边BC的中点，点、F,G在边AB上，AG=ACfAE1CG交CG于E,EF||

BC.

第9页

A

G

BDC

(1)求证：四边形BOEF是平行四边形；

(2)若力B=10,AC=4,求BF的长.

【答案】(1)证明：-AG=AC,AE1CE,

GE=EC,

•・•。是边BC的中点，

.•.DE为ACGB的中位线,

:.DE\\AB,

vEF||BC,

四边形BDEF是平行四边形；

(2)解：由(1)得四边形BDE尸是平行四边形，DE为ACGB的立线，

BF=DE,DE=^BG,

乙

BF=/G,

'：AG=AC,AB=10,AC=4,

ill

BF=^乙(AB-A乙G)=^(AB-AC乙)=^x(10-4)=3.

【解析】【分析】(1)根据等腰三角形''三线合一”性质得到GE=EC,然后根据三角形中位线定理得到。Ell

AB,最后由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得证结论；

(2)根据平行四边形性质、三角形中位线定理证明B尸=Z)E=/BG,然后由AG=4C,可得到BF=

/G48-4C)的值.

(1)证明：•••4G=4C,AE1CEt

GE=EC.

又•••。是边BC的中点，

:・BD=CD,

OE为aCGB的中位线，

:.DE\\AB,

•••EF||BC,

.•・四边形BDEF是平行四边形.

(2)解：•.•四边形BOEF是平行四边形，

第10页

：,BF=DE,

VD.E分另|J足SC、GC的中点，

...BF=DE二BG，

VAG=AC,

BF=4048-AG)=*(48-AC)=1(10-4)=3.

20.如图，在口ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=BC,AE=AB,AE、DC相交于点O,连接DE.

(1)求证：四边形ACED是矩形；

(2)若NAOD=120。,AC=4,求对角线CD的长.

【答案】(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

AAD//BC,AD=BC,AB=DC,

VCE=BC,

Z.AD=CE,AD〃CE,

；・四边形ACED是平行四边形，

•:CE=BC,,AE=AB,

・•・ZACE=90°,

・•・四边形ACED是矩形；

(2)1•四边形ACED是矩形，

.\OA=1AE,OC=iCD,AE=CD,

AOA=OC,

ZAOC=180°-ZAOD=180°-120°=60°,

・•・△AOC是等边三角形，

?.OC=AC=4,

・・・CD=8.

【解析】【分析】(1)首先根据平i形四边形的性质证明AD=CE,AD/7CE,可得出四边形ACED是平行四

边形，再根据等腰三角形三线合一的性质证得NACE=90。，即可得出四边形ACED是矩形；

(2)首先根据矩形的性质可得OC=AC,再根据邻补角定义的出NAOC=60。，即可得出^AOC是等边三角

形，进而可得CD=2OC=2AC=8.

第11页

21.在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀

后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表足活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数n10015020050080()1000

摸到白球的次数m5996b295480601

摸到白球的频率与a0.640.580.590.600.601

（1）上表中的a=,b=；

⑵“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）：

（3）如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？

【答案】（1）0.59,116

（2）0.6

（3）解:18+0.6=30（个）,

30-18=12（个），

答：除白球外，还有大约12个其它颜色的小球.

【解析】【解答】解:（1）:59X00=0.59,200x0.58=116,

=0.59,b=116,

,故答案为：0.59,116；

（2）由图表可知，摸到白球的频率接近0.6,

则“摸到白球的”的概率的估计值是0.6.

故答案为：0.6.

【分析】（1）利用“频率二频数:样本容量”求解即可得出答案；

（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6,则“摸到白球的”的概率的估计值是就是此值；

（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6,先求出袋中的总球数，进而得出答案.

22.摩天轮己经成为各大城市明信片，己知某摩天轮最低点A离地面3m,最高点离地面19m,摩天轮旋转

一周需要18min,小凤从A点出发开始观光，摩天轮逆时针旋转3min后到达点B,求此时小凤离地面的高度

BC.

第12页

F

【答案】解：如图，过点B作BE_LOD于点E,延长D。，交。。于点心

由题意得：AD=3m,DF=19m,DF1CD,BC1CD,

J四边形8CDE是矩形,

：.BC=DE,

'：AD=3m,DF=19m,

AO。的直径4尸=DF-AD=16m,

1

：-OA=OB=^AF=8m,

•・•摩天轮旋转一周需要18min,小凤从4点出发开始观光，摩天轮逆时针旋转3min后到达点B,

3

：-z,AOB=360°x^=60%

lo

LOBE=90°-/-AOB=30°,

・••在RI△BOE中，OE=£oB=4m,

：.DE=04+/W-0E=8+3-4=7（m）,

:・BC=7m,

答：此时小凤离地面的高度8c为77n.

【解析】【分析】本题考查矩形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质，先作8EJ.00构造矩形

BCDE,利用矩形的对边相等得到8C=DE,再根据摩天轮的最低点和最高点高度求出圆的半径。4=。8,

结合旋转时间和旋转一周的时间求出旋转角乙4。9的度数，在RMB0E中利用含30。角的直角三角形中直角边

是斜边的•半求出。£的长，最后通过线段的和差关系计算DE的长度，即为BC的高度。

23.如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD,为求得它的面积，小明设计了一个如下方法：

①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆.

②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下:

掷小石子落在不规则图形内的总次数50150300500・..

小石子落在圆内（含圆上）的次数m2()59123203•••

小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n2991176293・・・

m:n0.6890.6940.6890.706

第13页

（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近_____________（结果精确

到0.1）.

（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n）,则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆

上）的频率值稳定在_____________附近（结果精确到0.1）.

（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留立）

【答案】（1）0.7

（2）0.4

（3）解：设封闭图形的面积为a,

根据题意得：萼二04

解得：a=10n,

答：封闭图形的面积为10兀平方米.

【解析】【解答】（1）解：20-29-0.69；

59+9匕0.65；

123-176-0.70,

当投掷的次数很大时，贝hmn的值越来越接近0.7；

故答案为：0.7；

（2）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4,

故答案为：04

【分析】（1）根据表格中的数据直接求出比值即可；

（2）利用频率估算概率的计算方法分析求解即可；

（3）设封闭图形的面积为a,利用概率公式列出方程萼=0.4,再求出a的值即可.

a

24.如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E、F.

（1）求证：四边形AECF是菱形;

第14页

（2）当BE=3,AF=5时，求AC的长.

【答案】（1）证明：如图，连接AE,CF,

•・•四边形ABCD是矩形，

AAD//BC,

.\ZDAC=ZACB,

•；EF星直平分AC,

.\AF=FC,AE=EC,

AZFAC=ZFCA,ZEAC=ZECA,

AZFCA=ZCAE,

r.AEZzCF

・•・四边形AECF是平行四边形，

又AF=CF,

・••四边形AECF是菱形；

（2）解：・・•四边形AECF是菱形,AF=5,

・・・CE=AF=AE=5,

由NB=90。，

・••在RSABE中，

2222

AB=V?1E-BE=A/5-3=4-

VBC=BE+EC=8,

-9-AC=山182+8C2=V42+82=4V5.

【解析】【分析】（1）连接AE、CF,由矩形的对边平行得AD〃BC,由二直线平行，内错角相等得

ZDAC=ZACB,由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AF=FC,AE=EC,由等边对等角

ZFAC=ZFCA,ZEAC=ZECA,则NFCA二/CAE,由内错角相等，两直线平行得AE〃CF,由两组对边分

别平行的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；（2）由菱形的四条边相等得

CE=AF=AE=5.在RlZkABE中，利用勾股定理可求得AB的长，在RtAABC中，利用勾股定理计算出AC

的长即可.

第15页

25.类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

图2图3备用图

（I）如图1,四边形48co的顶点4、B、C在网格格点上，请你在5x7的网格中分别画出3个不同形状的

等邻边四边形/1BCZ）要求顶点。在网格格点上.

（2）如图2,在平行四边形4BC。中，E是BC上一点,F是0E上一点，AD=DE,乙4FE=M,请说明四

边形48EF是“等邻边四边形”；

（3）如图3,在平行四边形48CD中，△8=60。，OE平分/4DC,交BC于点、E,48=2,BE=1,F是线

段OE上一点，当四边形48EF是“等邻边四边形”时，请直接写出DF的长度.

【答案】（1）解：如图，四边形48co即为所求；

图1

（2）证明：如图，连接4E,

图2

•.•四边形48CD是平行四边形,

:.AD||BC,

:.Z.DAE=/.AER,

'：AD=DE,

第16页

：•Z.DAE=Z.AED,

乙AEB=/-AED,

在△ABE和△AFE中，

乙B=Z.AFE

Z.AEB=z.AEDf

AE=AE

:AABE三△4FE(AAS),

BE=EF,

•••四边形ABE”是"等邻边四边形1

(3)解：OF=2b一1或书也或偲

【解析】【解答】解：(3)①如图，过点C作CHIDE于H,

RL-E~~女

•••四边形4BCD是平行四边形，=60°,AB=2,

...AD||BC,Z-ADC==60°,CD=AB=2,

：.Z-ADE=MED,

•••OE平分440C,

...Z-ADE=Z-CDE=30°,

・•・Z.CED=乙CDE=30。，CH=^CD=1,

・"E=CD,DH=>JCD2-CH2=V3，

:.DE=2DH=2⑰,

•.•四边形4BE尸是“等邻边四边形"，BE=1,

当EB=EF时，有DF=DE—EF=28-1;

②当45=48=2时，如图，过点力作4G10E于G,

由①得CE=CO=2,

，：BE=1,四边形4BC。是平行四边形,

：.AD=BC=BE+CE=1+2=3,

第17页

Z-ADE=30°,

­\AG=^AD

•**DG=y/AD2—AG2=^GF=>JAF2—AG2=孝,

,c3店一斤•

••DnF=DnGr-GrF=-----2------

③当=时，如图，连接4E,

-AB=2,BE=1,乙B=60°,

•••Z-AEB=90°,

•••AD||BC,

Z.EAD=90°,

vAF=FE,

...Z.FAE=乙AEF,

:.Z.ADF=Z.FAD,

:.AF=DF,

:・EF=DF,

:.DF=EF=*E=W，

综上所述，。尸=26一1或吗"或国.

【分析】(1)根据“等邻边四边形''的定义画出图形即可；

(2)连接AE,根据平行线以及等腰三角形”等边对等角”的性质推出乙4E8=〃E。，从而证明△ABEwa

4/E(AAS),进而得到8E=E凡即可证明结论；

(3)①当£8=EF时，过点C作CEJ.OE于“，根据平行四边形的以及平行线的性质得到乙ADC=乙8=

60°,CO=48=2,乙ADE=MED,根据角平分线的定义得到乙IDE=乙CDE=/CEO=30。，山等腰三角

形的判定以及含30。的直角三角形的性质得到CH=1,CE=CD,然后根据等腰三角形“三线合一''性质以及

勾股定理求出0H=g,DE=即可得到O尸的长度；②当/F=4B=2时，过点4作力G10E于G,结

合①的结论，根据平行四边形的性质得到A0=8C=3,利用含30。的直角三角形的性质得4G=会利用勾

股定理得到0G=挛，GF=%即可得到0尸的长度；③当4尸=FE时，连接AE,求出2“。=乙AEB=

乙乙

90°,结合等腰三角形的性质与判定得到4尸=DF,根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到。户的长度.

第18页

(1)解:如图，四边形48co即为所求;

图1

(2)连接AE,

图2

•••四边形力8C0是平行四边形，

AD||BC,

:.Z.DAE=Z.AEB,

:.AD=DE,

Z.DAE=Z.AED,

:.乙AEB=Z.AED,

•••Z-AFE=AE=AE,

ABE=△/IFE(AAS),

BE=EF,

四边形48EF是“等邻边四边形”；

(3)作C”1DE于H,

••・四边形4BCD平行四边形，

•••ADIIBC,乙BCD=180°一乙B=120°,CD=AB=2,

•••OE平分

:.AC.F.D=Z,r.DE=30°,

•••DE=2EH=2百，

第19页

•.,四边形A8EF是“等邻边四边形”，

当E3=EF时，DF=DE—EF=2^/3-1;

当月尸=43=2时，作AGJ.DE于G,

133

AG-,TzAD=5,DG=,

乙乙乙

在Rt△/GF中，由勾股定理得，%=归一住了一字

OF=DG-FG=|V5-冬

当力尸二FE时，•••48=2,BE=1,ZF=60°,

•••Z.AE8=90°,

-AD||BC,

:.Z.EAD=90°,

vAF=FE,

:.Z.FAE=乙AEF,

:.Z.ADF=Z.FAD,

:.AF=DF,

DF=EF=：DE=百，

综上：DF=2百-1或一或或、后.

26.【知识运用】

(1)如图1,0E是△A8C的一条中位线，求证：0EII4C,DE=^AC.

乙

第20页

A

BEC

图1

【知识迁移】

(2)如图2,DE是△4BC的一条中位线，点尸是△48C内的一点，将点尸分别绕点。，E旋转180。得至lj点G

和H,连接G",求线段GH与4c的位置关系和数量关系，并给出证明过程.

(3)如图3,在RM4BC中,4B4c=90。，AB=5,AC=6,D,E分别是边AB,BC的中点，点尸在4

80E内，将点尸分别绕着点。，E旋转180°得到点G和H,分别连接AG,GB,BH,HA,利用(2)所得的结

论，求四边形AG8”的面积.

【答案】解：(1)证明：如图，延长ED至点E使O/=OE,连接4尸,

•••。5是4人鸟仁的中位线,

=BD,BE=EC,

,：Z-ADF=乙BDE,

：.^ADF"BDE(SAS),

：-AF=BE,乙F=^FEB，

第21页

^-AF||EC,AF=EC>

・••四边形力FEC为平行四边形，

：.EF\\AC,EF=AC,

:・DEIIAC,DE=^AC\

(2)猜测：AC||GH,AC=GH.

如图，连接GF,AG,BF,FH,CH.

・・•点F分别绕着点。旋转180。得到点G,

:.DG=DF,G,D,F三点共线.

•••Z-ADG=乙BDF.

•••DE是△ABC的中位线，

.%AD-DB.

:.&ADG三△BO/(SAS).

AG=BF,Z,GAD=乙FBD,

•••4G||BF.

同理可得BF=CH,BF||CH,

•••AG=CH,AG||CH.

.••四边形AGHC为平行四边形.

AC||GH,AC=GH.

(3)如图，连接GH.

-AC=6,^BAC=90°,

第22页

：,GH=6,GHLAB.

11

,e*S四边形4GB”=•GH=2X5X6=15

【解析】【分析】(1)延长£7)至点F,使。尸二oa连接4凡由DE是三角形中位线，得AD=BD,BE=

EC,则△4。尸三△BDE(SAS),得4F=8E,乙F=(FEB,则AF〃EC,AF=EC,则四边形A/EC为平行四

边形，则DE||AC,DE=^AC;

乙

(2)如图，连接GF,AG,BF,FH,CH.

由旋转的性质可得DG=。凡G,D.F三点共线.对顶角相等，则NADG=NBDF.DE是△48C的中位线，则

AD=DB,可证AAOG£2\BDF(S4S).得至l」AG=BF,Z-GAD=£FBD,则4G||BF.同理可得BF=CH,BF||

G7由一组对边平行且相等得四边形4GHe为平行四边形.则｛CIIG",AC=GH.

(3)如图，连接GH,

由(2)得GHJLAB,AC=GH=6,由图可知四边形AG8H的面积等于△ABG面积与△ABH面积的和，代入AB

与GH的值计算求出四边形AG8H的面积

27.已知点A是第二象限的一点，点P是x轴上一动点，以AP为边作正方形4BCP；

(I)如图I,当点A的坐标为(-1,1).点P的坐标为(1,0)时，则点C的坐标为:

(2)如图2,若点P与原点O重合，4B与y轴交于点E,连接力C,点F是线段力C上一点，连接EF,

第23页

OF,若Er=。凡①求证0E=或。尸：②设^E。尸的面积为Si，△AOE的面积为S2，若CF二九，求S1一S?

的值（用n表示”

（3）如图3,点若A的坐标为点D的坐标为（一1,0）,在点P的运动过程中，请直接写出C4+

CD的最小值______.

【答案】（1）（2,2）

；・四边形40NM是矩形，AM=MF：

：.AM=ON,

：.MF=ON,

〈△EM尸=乙ONF=90。,MF=ON,EF=OF,

；・△EM/三△/NO(HL),

：.LEFM=乙FON,

：.Z-EFM+Z-OFN=Z-FON+乙OFN=90°,

：.£.EFO=90°,

•••△E/。是等腰直角三角形，

：・OE=y/EF2+OF2=\f20F.

@V△EMF三△FNO,

:.FN=EM,

•・•四边形4GVM是矩形，

:.ON=AM,AO=MN,

11111

•••Si=S^OF=^OF2='(。/+＞尸2)=巧(“尸，+N尸2)=)M产产,

E乙乙乙乙乙

111

S?=S&AOE=jAO-AE=-^(MF+FN)(AM-EM)=5(MF+FN)(MF-FN)

乙乙乙

1

=2(例片一N/72)

乙乙

:.Si_S?=FN2.

•:乙FCN=45°,LFNC=90°,

:・CN=FN,

2222

•・•cr=CN十FN=2FN

VCF=n,

••FN2=icF2=in2»

4L

•・S]S2=劣42.

⑶V5

【解析】【解答】（1）解：过点A作/IM±x轴，过点C作GV±x轴,

=N4MP=ACNP=90°,

：.Z-APM=乙PCN=90°-乙CPN,

：.^APM三△PCN(AAS),

：・MP=CN,AM=PN,

•・•点A的坐标为点P的坐标为(1,0),

：.MP=CN=2,AM=PN=1,

：.ON=2,CN=2,

・••点C的坐标为(2,2).

(3)解：如图，连接4D,过点C作CN_Lx轴,

•・•点A的坐标为(一1,1),点D的坐标为(一1,0),

•\AD1x轴，AD=OD=1,

木艮据题意可得/IP=C.P,AAPC.=/ADP=ZC/VP=90°.

：.Z-APD=乙PCN=90°-乙CPN,

第25页

•••△4P0三△PCN(AAS),

：.AD=PN=1,CN=DP=OP+1,

•；0N=OP+PN=OP+1,

：.0N=CN,

•••△ONC是等腰直角三角形，

:.乙CON=45°,

故点C在直线y=无上运动，

作点D关于直线y=%的对称点。'，

则D’(0,-1)，

故。+。4=0+2,

当点4C,D'三点共线时，最小，即C0+C4最小,

过点A作AH1y轴于点H,

则4”=。0=1,HD'=HO+OD'=2,

-AD1=+H”=V12+22=V5，

即CO+CA的最小值为通.

【分析】本题考查正方形的性质、合等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及轴对称求最短路径，

解题需结合图形变换与几何定理逐步推导。

(1)过点A作4Mlx轴，过点C作CNJLx轴，正方形A8CP中,4P=CP,乙4PC=90°,因止二乙4PM+

4CPN=90°,又乙APM+/PAM=90°,故乙PAM=^CPN；在ZAPM和APCN中，^AMP=£CNP=90°,

乙PAM=LCPN,AP=CP,根据“AAS”可证全等，得MP=CN=1—(-1)=2,AM=PN=1,因此。N=

OP+PN=1+1=2,CN=2,点C坐标为(2,2)。

(2)①过点F作MN||4。交48于M、交。。于N,正方形中〃OC==90°,4。4c=45°,故四边形

40NM是矩形，Z.MAF=4MFA=45°,得4M=MF=ON：在RMEMF和Rt/FNO中，EF=OF,MF=

ON,根据“HL”可证全等，彳导乙EFM=^FON,进而NEF。=90°,4EF0是等腰直角三角形，由勾股定理得

22222

OE=>/EF+OF=V20Fo②由全等得FN=EM,Si=^OF=