2025-2026学年高一数下学期学期中模拟卷【测试范围：北师大版必修第二册第一~三章】（全解全析）

高一数学下学期期中模拟卷（北师大版）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4=卜,《3x},集合8={My=cosx},则4（）

A.[0,3]B.[0,1]C.[-U]D.[-1,3]

【答案】B

【详解】•.•.丫2«3》=》（工-3）《0=>04工43,.•.4={x|0WxW3}=|0,3]；

•••函数y=cosx的值域为3-14”]},...8=3-13《1}=卜1』].

所以4c3=[0,l].

故选:B.

2.“sina>0且tana<0”是“a的终边在第二象限”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】C

【解析】在角。终边上任取点P（异于原点）其坐标为（XJ）,|。4=厂（〃>0），

若sina>0且tana<0,

所以sina=?：>0,且tana=—<0,

rx

可得x<0j>0,所以a的终边在第二象限，

所以“sina>0且tana<0”是七的终边在第二象限”的充分条件，

若。的终边在第二象限，则x<0j>0,

所以sina=2>0,H.tana=—<0,

rx

所以“sina>0且tana<0”是“a的终边在第二象限”的必要条件，

1/14

综上“sina>0且tana<0”是，a的终边在笫二象限”的充要条件.

故选:C.

3.已知在△4BC中，内角力，B,。所对的边分别为〃，b,c,且。2一/=必，C=f,则母的值为

3sinB

（）

A.gB.1C.2D.3

【答案】C

【解析】由余弦定理得/一〃=/+从一2abeosC-b2=a2-ab,

又c1-b，=ab,所以a2-ab=ab，所以a=2〃，

所以由正弦定理得驾=：=2.

sinBb

收选：C.

4.已知向量@二（1,加）,方二（2,-1）,若无〃（万十26），则实数，〃的值为（）

A.--B.vC.-2D.2

22

【答案】A

【解析】因为4=。,〃?）,方=（2,-1）,所以值+24=（5,加一2）,

因为3〃（M+2B）,所以56二m-2,解得m=_；.

故选:A.

5.函数/（力=5詈的图象大致为（）

C.D.

【答案】D

【解析】对任意的xwR,f+l>0,故函数/（x）的定义域为R,定义域关于原点对称,

/、-xsin（-2x）xsin2x，/、..

因为/（-x）=/1/=KF=/（x），故函数/（X）为偶函数，

（-XI+1，十I

2/14

函数/(x)的图象关于y轴对称，排除AC选项，

当xe(0,5)时，2xe(0,兀)，则sin2x>0,此时/。)=罢手>0,排除B选项，

选项D满足以上特点.

故选：D.

6.已知定义在R上的函数/")满足/(x+2)+/(x)=4,且/(0)=0,则/(2026)=()

A.0B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因为/(x+2)+/(x)=4,所以/(x+4)+/(x+2)=4,

所以/(》+4)+/(X+2)=/(X+2)+/(X),即/(X+4)=/(X).

所以/(x)是周期为4的周期函数,所以/(2026)=/(506x4+2)=〃2).

在/(x+2)+/(x)=4中，令x=0,则/(2)+/(0)=4,所以〃2)=4.

[i|Jit7(2026)=4.

故选:D.

7.在△ABC中，AB=4,JC=8,N为8C的中点，且△48C外接圆的圆心为则而•丽=()

A.10B.20C.—D.——

24

【答案】B

【解析】因为N为4。的中点，则丽=g(赤+K),

所以丽.丽二新《(衣+茄)=g(就.而+而.俞).

如图，分别取线段/出，4c的中点为E,F,因为“为△力8c的外接圆圆心，

则元.汨7;就•(/+丽”衣•#二;衣2=32,

3/14

AB.AM=48(4£+£A/)=ABAE=；力8=8,

因此而・就=；（正•疯+而.而)」x(32+8)=20.

2

故选：B.

8.已知点G是边长为3的正三角形ABC的重心，过点G的动直线分别交线段48,BC于点、E,F,则

△6石厂面积的最大值为（）

「4劣

B.6D.在

A・竽54

【答案】A

【解析】取力。的中点为M,

因为点G是正三角形44。的重心，则由+日豆+左=（）,即旃=五5+品=2两,

所以南=1而=|xgx+元）=；诙+；沅，①

设诟=/1或，^^[0,1],BF=pBC,访=加而，

则前=瓦+反=前+/而=阮+加回—阮）=（1一M）前+m丽=（1_沿）2加+m〃前，②

（J⑼吗

所以结合①和②可得•1‘整理得人M

用4=7

又440』，0』，贝i」0M/万VI,得3M一1＞（）,且〃43〃—1,解得!工〃VI.

又因为△48。是边长为3的正三角形，则|第卜|反卜3,8=]

则△8£/了的面积为S=；J砺[J瓦耳4118=；•以瓦比卜由8=竽4/=竽xjly

则〃=亨

令，=3〃-1,//€pl,zeP2，

"2(…I)]"

2+/+1),t€—,2,

3//-1919<2

根据对勾函数的性质,当一时取得最大值,且最大值呜,

所以ABEF面积的最大值为黑、=孚x"2+|

故选:A.

4/14

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.在△ABC中，。在48边上，而=2而，E是的中点，则（）

__——2—1—

A.BC=AB-ACB.CD=-CA+-CB

C.~AE=-AB+-ACD.AC=2CB-3CD

32

【答案】CD

【解析】如图：

GO10

对B：CD=CA+7D=CA+-AB=CA+-（CB-CA）=-CA+^CB,故B错误；

对c：衣=；（正+而）=；（z+g而）=；而+3充，故C正确；

对D：AC=AB+BC=3DF+BC=3（C§-CD）-CF=2CB-3CD,故D正确.

故选:CD.

10.函数/（》）=4^（3+。）（力＞0,3＞0,同＜?的部分图象如图所示，贝lj（）

B./（x）的图象关于点信（））对称

C.函数/（》）在区间—詈，一雪上单调递增

D.若/（X）在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则实数〃的取值范围为（普，¥

5/14

【答案】ABD

【解析】由图可得3,函数的最小正周期'=2传后卜小又…,所以“号=2,

则/'（X）=2cos（2x+>）,kwZ,

解得0=：+2AR,AeZ,又所以e=T，故A正确；

由上分析，得故f（x）=2cos2x+y,因为/（'^）=2cos（2xR+g）=0.

故函数/3的图象关于点:住,0）对称，故B正确；

4,^-kn-it<2x+—<2kn,kwZ,解得R兀——^<x<kn--tkwZ,

336

故函数/（X）的单调递增区间为-二~+收一^+阮kwZ,

.36

令2ATTW2x+工W2尿+兀，ZwZ,kn--<x<kn+—,ZwZ,

363

故函数/(x)的单调递减区间为［—,+k7r(+k7r］,AeZ,

则函数/(x)在区间卜当,-胃］上单调递减，在［-个,-白］上单调递增，故C错误；

当xj-gj时，则+外

.12JkyL63)

要使/(X)在区间-展,上恰有一个最大值2和一个最小值-2,

需使2兀<2。+93兀，解得多当故D正确.

363

故选：ABD.

11.已知向量瓶满足同=2忖=2,且对任意的实数/,忸+碓恒成立，则下列结论正确的是

（）

A.\a+b\=^7B.Q-L（4匕-Q）

D.当k3-/^+|2很-/1同取最小值时，2=1

C.G在B上的投影向量为涕

【答案】ABD

TT22J-2J72

【解析】由题可得也十匕=t2a+b-2ta-b>-a—b=77a+b-/力恒成立,

41O乙

_2一

即12a—2tab—

22TT

所以/=（2QE）T6（T+11）=4GE

—2a・b+1=4

6/14

（标-1）<0,

所以crb=1,

-»t2I/-♦-»\21212—»—♦

所以a+b=Ha+bj=[a4-b+2a-b=V44-14-2=V7,故A正确;

2

a（4b—a）=4a・b-a=4-4=0,则al（4b-a）,故B正确；

G在b上的投影向量为acos〈a力）俞=帝b=b,故C错误；

=q16b+X^d—SXci'b+yj4b+A^a—4Aa-b

=2J4+不一22+2J1+入2—2

电⑹关于x轴对称的点为41,-6）,则|M4|+|M8|=|MH|+|M8|,

所以由图可知当三点共线时•，动点M(AO)到两定点电@1g与距离和的2倍取得最小值,

.--1---4r=2r=>A,=2—

此时313，

2

所以当护-同+恢-同取最小值时，/l=|,D正确.

故选：ABD.

7/14

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.计算sin(—1560)cos(—930)—cos(—1380)sin1410=.

【答案】1

【解析】sin(-l560)cos(-930)-cos(-l380)-sin1410

=-sin1560cos9303-cos1380sin1410

=-sin(4x360'+120J)cos(2x360+210)-cos(4x360-60)sin(4x3601-30)

=-sin120cos210-cos60•(一sin30)

=-sin(180°-60)cos(180+30)+cos6(Tsin30

=sin60cos30+cos60sin3()

2222

收答案为：1.

13.已知点力，B,C是函数/(x)=sin〃v,g(x)=cos/x图象相邻的三个交点，且△4BC是正三角形，则

正数①的值为.

［答案】显兀

2

【解析】在同一坐标系中，作出函数/(x)=sin5,g(x)=coss■的图象，如图所示:

其中D为AC的中点,

得tanfyx=l,cos«wx=±—,sin<vx=±-^，

由sincox=coscox,

22

则N="=-%=孝,\BD\=2yA=^,

又陷=7=沙斗

即场=&,解得。=逅兀,

co2

故答案为：凡.

2

14.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系xQy中，螺线与坐标轴

依次交于点4(7,0)，4(0,-2),4(3,0)，4(0,4),^(-5,0),4(0,-6),4(7,0),4(0,8),并按

8/14

这样的规律继续下去.给出下列四个结论：

①对于任意正整数〃，|彳7二卜4；

②不存在正整数〃，使得口石|为整数：

③不存在正整数”，使得三角形44.4,2的面积为2026；

①对于任意正整数〃，三角形为锐角三角形.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】依题意可得对于任意正整数〃，|而二|=4=|〃-(〃+4)卜4,故①正确；

当〃=3时，|而3+42=5eZ,故②不正确；

由于5&4出+4+2="n(+2l•Q4+1I=1(2n+2)(71+1)=(n+l)2,45<V2026<46,故不存在正整

数〃，使得三角形44.4.2的面积为2026,故③正确;

144+JM+(〃+1>=J2/J+2〃+1,

|4"局=J(〃+』+(“+2)2=J2/+6/7+5,

\4nAn+2\=n+n+2=2n+2=J」/+8〃+4,

因为|44/<|4+4[(团4』

所以在三角形4.24x4中，乙零24出为最大角，

2『+2〃+1+2〃2+6〃+5-(4〃2+8〃+4)

8s45=—2扬2+2〃+16/+6〃+5—

=-^------+------->0,

2,2〃~+2〃+1yjln"+6〃+5

则/4+24+/“为锐角，即三角形44川4,2为锐角三角形，故④正确；

故答案为：CD®®-

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知函数/(x)=2sin(x+e).

Z\

(1)若点P。,石)是角。终边L一点，求/+tana的值：

9/14

（2）若xw,求函数g（x）=sin。x+/x+§）+2的值域.

l_63」I6J

【解析】（1）若点P（l,6）在角。的终边上，

则sina=-^^=《，tana=—=V3»（4分）

Vl+32［

,/（a-e）+tana=2sina+tana=0+6=2＞/J.（6分）

,、—57rle.（TTTTA,.

（2）因为/卜+不）=2$111卜+不5+%卜-2$111%，

所以gCDusin'x—Zsinx+Z=（sinx-l）2+1,（9分）

因为xe［，斗，所以sinxe"1,

.63J\_2

所以函数g（x）的值域为［1（］.（13分）

16.（15分）

在△ABC中，角力，8,C的对边分别为。，b,c.已知Qsin8=&cos4,c=6,a=41b.

⑴求，的值：

（2）若。是AC边的中点，求力。的值.

【解析】（1）已知asin8=G/）cos力,由正弦定理—7=/；；,

sinJsin«

得asinB=6sin4=y/5bcosA，显然cos/w0,

得tanJ=JJ,由。＜月＜兀，得力=g,所以cos/l=；,（4分）

，乙

因为c=6,〃=,由余弦定理/=〃+（?一2%ccos4，

则（7^）2=b2+62-26x6x；=^+36-66,即〃+6一6=（/）+3）。-2）=0,解得6=2,5=—3（舍去）

故6=2.（8分）

（2）因为。是〃。边的中*,

所以2近=AB+JC,4|^S|2=|刀『+|^C|2+2ABAC,

40+24x1

所以43方『=36+4+2x6x2xcos4,

2=13'

~4

所以4。=布.（15分）

17.（15分）

10/14

如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心0距离水面的高度为2.5米.设筒车上

的某个盛水筒。到水面的高度为4（单位：m）（在水面下d为负数），若以盛水筒。刚浮出水面时开始

计算时间，则〃与时间，（单位：s）之间的关系为d=4sin（m+c）+K（4>0⑷.

⑴在筒车转动的一周内，求点P距离水面高度d关于时间，的函数解析式;

（2）5分钟内，盛水筒P在水面下的时间累计为多少秒？

【解析】<1）由图可知，

d的最大值为5+2.5=7.5,d的最小值为-（5-2.5）=-2.5,

则4=75一,2.5)=5,K=7.5：2.5=25,g分)

因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故7=30s,所以&==(3分)

所以d=5sin]/+夕)+2.5,

当/=()时，d=o,所以5sinQ+2.5=0,则sin°=-g,

因为一所以0=

226

所以d=5sin(卷,-己)+2.5,/w[0,30).(7分)

/\

(2)由⑴得d=5sin白一+2.5,

1156J

.r■L.(n兀C"r.(R汽、I

令d<0,则5sm—t——+2.5<0,得sin—t——<一一，

(156)\\56)2

则乂+2%兀<乌/一四<生+2丘,kwZ,解得20+30女</<30+304#eZ,

61566

5分钟=300秒,则令0<20+30"<f<30+3(U4300,keZ,得04左49,

故5分钟内，盛水筒P在水面下的时间累计为10x（30-20）=100秒.（15分）

18.（17分）

如图所示，在△ABC中，P在线段8c上，满足2而=斤，。是线段力尸的中点.

11/14

⑴延长C。交,于点。(图I),求近的值；^

(2)过点。的直线与边力8,47分别交于点£,尸(图2),设而=2衣，~FC^/JAF.

(i)求证”+〃为定值；

(ii)设△力£尸的面积为B，的面积为S2,求率的最小值.

*

【解析】3)依题意，因为2而=无，

所以"=而+而=存+!而=而+」+次)=2而+，就,

3333

1I

+7C

因为O是线段/尸的中点，所以-36-

设)力则有血=：而+，配，

36

v15

因为。,。，0三点共线，所以>2=1,解得X=：,

^AQ=^-AB,所以08=>8,所以穿二j(6分)

55QB3

(2)(i)根据题意方=近+而=万+2就=(1+4)荏,

同理可得：衣=(1+4)箫,

由(1)可知，AO^-AP=-AB+-AC

236y

所以前=匕4赤+匕幺酢，

36

因为旦O,"三点共线，所以?+—=1,化简得2义+"=3,

36

即2/1+4为定值，且定值为3；(11分)

(ii)根据题意，£=；|力同力目sin4,

S?=1|/l^||JC|sinJ=l(l+2)pE|(l+//)|/lF|sinA,

-\AE^AF\s\nA

所以去=2]

1(l+2)pE|(l+//)pF|sinJ(14-2)(14-//)

由(i)可知24+4=3,则〃=3—2/1,

£11

所以1一(l+A)(l+3-2A)-—2万+2：+4

12/14

1ss,2

易知，当时，不有最小值，此时不=大.(17分)

19.(17分)

我们将满足下列条件的函数/(X)称为“L伴随函数”：存在一个正常数L,对于任意的x都有

/(2L+x)=f(-x)且/(3L+x)=-f(x).

(1)是否存在正常数L,使得/(M=cosx是"L伴随函数”？若存在，请求出一个L的值；若不是，请说

明理由：

(2)已知/(x)是“7伴随函数”，且当门生兀］时，/(.r)=-2sin(2x-^),

(i)求当工［-1,?］时，/(口的解析式；

(ii)若再,七,…,x”(〃cN)为方程/(x)=4(-2%<2)在［-*手］上的根，求用+々+•••+£的值.

【解析】(1)因为存在一个正常数L,对于任意的x都有/(3L+x)=-/(x),

所以/(3L+(3L+x))=-/(3L+x)=一(一/(幻)=f(x),即f(6L+x)=f(x).

所以函数的一个周期为6L.

又因为/(2L+x)=/(—x),令x=-2L,得/⑺=/(2L—/),

所以函数/(》)的图象关于x=L对称.

又因为fW=cosx的对称轴为x=kMkeZ),周期为2几，

所以令6L=2TT-m(meN.)且L=kjt(kGN*J,

取最简解：令m=3,k=l,得L=TT.

若L=兀，f(2n+x)=cos(2n+x)=cosx=f(x),f(3n+x)=cos(3H+A)=-cosx=-f(x)成立，

故存在L=TI(答案不唯一)，使得/(x)=cosx是"L伴随函数(5分)

(2)(i)因为/(x)是可伴随函数"，即L=:,且时，/(x)=-2s