射影、母子、飞鱼、三角形内接矩形相似模型-浙教版九（上）数学知识点训练（含答案）

射影、母子、飞鱼、三角形内接矩形相似模型一浙教版数学九（上）知识点训练

一、射影定理模型（双垂直模型）

1.如图，在中，^ACB=90°,。。，48于点0,正方形COEF的顶点E在线段力。上，G是边EF上一

点，连接4G,记△4EG面积为Si，AC8O面积为S2，若EG=BD,S〔+S2=16,则OE的长为（)

A.472B.8A/2C.4D.8

2.如图，RtAABC中，N48C=90。，BDLAC,垂足为D,AE平分N84C,分别交BD,BC于点F,

E.若A&8c=3：4,则需---------.

3.如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF_LDE于点F,已知DF=5EF=5,过C、D、F的。O与边

AD交于点G,则DG=

4.如图，在△A8C中，BC=3,D为AC延长线上一点，AC=3CD,2C80=乙4,过D作加7||4B,交BC

的延长线于点H.

（I）求证：2HCDFHDB.

（2）求0”长度.

5.如图，在中，AB=4,AC=6,以C为圆心，2及为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ

分别切圆C于点P、点Q,连结PQ,分别交AC和BC于点E、F,取PQ的中点M.

第1页

AA

1)1)

漳c二C

(2Q

(1)当4POQ=50。时，求劣弧PQ的度数；

(2)当CE=CF时，求AD的长；

(3)连结CM,BM.

①证明：ME-CA=CM-AD.

②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.

二、母子相似模型(公共边公共角)

6.如图，ZkABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD±AC交BC于点D,AD=3,贝ljBC二.

7.如图，在△ABC中，D是AC上一点，己知瑞=器.

(1)求证：ZABD=ZC；

(2)已知NA=20。，ZC=40°,求NCBD的度数.

8.如图，。为△ABC边AB上的一点，ZADC=ZACB,BD=2,AO=4,则AC=

9.如图，在△ABC中，D为边AB的中点，点E在边AC上，连结EO,并延长EO至点F,连结"，使力”||

BC,且4产=FDXFE.

第2页

FA

(1)求证：Z-FAD=/.FEA.

(2)若AB=20,AE=13,求EC的长.

10.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，ZDBC=ZA.

(1)求证：△BDC^AABC；

(2)如果BC=V6»AC=3,求CD的长.

11.如图，一次函数尸奴+仅厚0)的图象与反比例函数产歹(小翔)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x

轴交于C点，点4的坐标为(-3,4),点8的坐标为(6,〃).

(I)求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)连接03,求AAOB的面积；

(3)在不轴.上是否存在点P,使AAPC是直角三角形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理

由.

12.综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利

用上述结论进行探究.

提出问题：

如图I,在线段AC同侧有两点8,D,连接A。，AB,BC,CD,如果NB=NO,那么A,B,C,。四点

在同一个圆上.

第3页

探究展示：

如图2,作经过点A,C,。的O。，在劣弧AC上取一点£（不与A,。重合），连接CE,则

Z/1EC+Z£>=180°（依据1）

•：ZB=ZD

，Z4FC+ZB=180°

・••点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

工点B,。在点A,C,石所确定的。。上（依据2）

・••点A,B,C,。四点在同一个圆上

A

上述探究过程中的''依据1"、“依据2”分别是指什么？

依据I：;依据2：.

（2）如图3,在四边形A8C。中，Z1=Z2,Z3=45°,则N4的度数为.

（3）拓展探究：

如图4,已知△A8C是等腰三角形，A8=4C,点。在8c上（不与8c的中点重合），连接AD作点C

关于AD的对称点E,连接七8并延长交A。的延长线于E连接AE,DE.

①求证：A,D,B,E四点共圆；

②若48=2鱼，4。乂尸的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.

三、梅涅劳斯定理、飞鱼相似模型

13.如图，在圆内接△4BC中，4ABe>90。，弦BD>4C,延长/W至点E,延长B4至点F,连接EF,使

EF=BD,延长CO交E厂于点G,使4EG。+2048=180。，延长C8,04交于点H.

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E

H

(1)若"GO=75。，CO为直径，求ZB/1C的度数.

(2)求讦.EF_AE

(3)求证：AE=AC.

14.如图，在中，乙4cB=90。，点M,N分别在4C边上，连接MN,将AAMN沿MN翻折，点

99

CO=

力的对应点。恰好落在BC的延长线上，且N80M=4NDM,连接AO,若AD=2-V52-

BD_

AB=---------,

D

15.如图，在口48。0中，484c=45°,AE1BC于点E.8E=6,CE=4,则口/8。0的面积为()

4D

BEC

A.60B.120C.50D.100

四、三角形内接矩形相似

16.如图，△48C是一块锐角三角形余料，边BC=1.2m,高4。=0.8m,要把它加工成一个正方形零件，使

一边在8C上，其余两个顶点分别在边48、ACt.则该正方形的边长是m.

17.有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高线40=80mm要把它加工成矩形零件，使矩形的一边

第5页

在上，其余两个顶点分别在48,4C上.设MN=x(mm),PN=y(mm).

(I)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.

(2)当y=时，求加工成的矩形零件的周长.

第6页

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：・・・CDJ_AB,

/.ZADC=ZCDB=90°,

.,.ZCAD+ZACD=90°,

・•・ZACB=ZACD+ZBCD=90°,

・•・ZCAD=ZBCD,

△ADC^△CDB,

.AD_CD

••丽二技

/.CD2=BD•AD,

•・•四边形CDEF是正方形，

・・・CD=DE,ZDEF=90°,

/.NAEG=90。，

•••SMEG=*E・EG=SI，S“BD=%D・BD=S2,SI+S2=16,

•3E-EG+^CD-BD=^AE-EG+^DE-BD=16，

VEG=BD,

・FE.EG+"E.80=/80G4E+0E)=/80.A0=16,

:・BDAD=32,

：.CD2=32,

:,DE=CD=4vL

故答案为：A.

【分析】由“射影相似模型''证出〜△CDB，从而根据相似三角形对应边成比例的性质得罂=盥，即

CD2=BD-AD,然后根据正方形的性质求出CD=DE,ZAEG=90°,接下来利用三角形面积，进行等量代换

后得/BDTO=16,从而有。。2=8。・4。=32,即可求出DE=CD的长.

2.【答案】1

【解析】【解答】解：:AB：BC=3：4,

・••设AB=3x,BC=4x,

VZABC=90°,

ACKAB?+8c2=5x,

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VBD1AC,

ZADD=ZADC=90°,

VZBAD=ZCAB,

.*.△ABD^AACB,

.AB_AD

••衣=近，

.3x_AD

**5x一友’

9

_X

AAD5

TAE平分NBAC,

.\ZBAF=ZDAF,

AZAEB=ZAFD,

VZAFD=ZBFE,

.\ZBEF=ZBFE,

/.BE=BF,

VZABE=ZADF=90°,

ZBAE=ZDAF,

・•・△ABE^AADF,

.BE_AB

••丽f

3x_5

*,«DF-而一盟-W，

故答案为：

【分析】设AB=3x,BC=4x,则AC=y^7万理=5x,再证出△ABDs/\ACB,可得笨=瑞，将数据

apnApBFAB3x5

代入求出AD="再证出△ABEs-DF,可得器=翡再将数据代入求出而=而=声=4即可.

3.【答案】A/^0—V6

［解析］【解答】解：连接CF、GF,如图：

在正方形ARCD中，/F.AD=/ADC=90。，AFIDE.

.*.△AFD0°AEAD,

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.AD_DF

,•前二而'

又♦・，DF=5EF=5,

：.AD=y/EDDF=J5x(5+1)=V30=CD,

在RsAFD中，AF=〃02一。产=J3型一25=展,

VZCDF+ZADF=90°,ZDAF+ZADF=90°,

AZDAF=ZCDF,

•・•四边形GFCD是。O的内接四边形，

.-.ZFCD4-ZDGF=18O°,

VZFGA+ZDGF=I8O°,

:.ZFGA=ZFCD,

.*.△AFG^ADFC,

.AG_AF

••而一而‘

.AG_/5

..面"号‘

/.AG=V6»

/.DG=AD-AG=V30-V6,

故答案为：V30-V6.

【分析】连接CF、FG,由已知可得△A尸。〜AEAD,结合DF=5EF=5,可计算AD=历,4尸=遍,再证

明4月打7~40尸。,从而可知第=嘉,求出人6,即可由OG=4D-4G解题.

4.【答案】(1)证明：・.・DH||AB,

Az/1=乙HDC,

.:乙CBD=4力，

，乙HDC=“BD,

又,：乙CHD=乙DHB,

A△HCDHDB.

(2)解:,:DH||AB,

：.△CDHCAB,

.CD_CH

••加=前’

'：AC=3CD,BC=1,

.CD_CH

••Q=丁

：.CH=1,

第9页

••・8H=BC+CH=3+1=4,

由（1）如△HCDIIDB,

.DH_CHP[]DH_1

••丽=用'即丁=丽’

.\DH2=4xl=4,

：.DH=2（负值舍去）,

答：。，的长度为2.

【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得NA二/HDC,再结合NCBD=NA,可得上HDC=^CBD,即可

i正明AHCDs^HDB；

（2）根据。”||力8得到4。0"~4148,由相似三角形的性质可得C”=1,于是可计算出BH的长；再结合

△HCDHDB,根据相似三角形的性质即可求出DH的长.

（1）证明：•:DH||ABf

：./-A=乙HDC,

":（CBD=44，

：.Z-HDC=Z-CBD,

又.：乙H=乙H,

HCD*HDB：

（2）解：•:DH||AB,

：.LCDHCAB,

.CD_CH

••衣一品’

'：AC=3CD,

・1CH

,-3=1"，

：.CH=1,

・・・8H=BC+CH=3+1=4,

由（1〕知△“COHDBf

.DH_CH

,•丽二而‘

：.DH2=4x1=4.

:.DH=2（负值舍去）,

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答：。”的长度为2.

5.【答案】(1)解：如图，连结CP、CQ.

因为DP、DQ分别切圆C于点P、点Q,所以4CPO=^CQO=90。，

所以4PDQ=PCQ=180°,当匕PDQ=50。时，乙PCQ=130%则弧PQ为130°

(2)解：连结CD,显然/CPOW/CQO,当CE=CF时，显然4cpEwZJCQF,

则乙=即CD平分过点D作DG垂直BC于点G,则AD=AG,

111

则Sd48c=^AD-AC+^BCDG=^AB-AC,解得AO=AG=3713-9.

乙乙N

(3)解：①根据/CME相似于4&4D可得需=霸，即CM•C'O=CE•CA

②由(2)可得，C、D、M三点共线，且PQ_LC。，贝必CPM相似于/COP,可得Pf2=CM・c。，又由①

中CM-C0=CE・C4,得：PC2=CE<A,即(2鱼f=6CE，解得CE=5所以点M在以CE为直径的圆

上运动，取CE的中点H,当B、M、H三点共线时，BM最短，此时最小值为6.

【解析】【分析】(1)由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可；

(2)由切线长连接CD,结合对称性，即若CE=CF,此时点D在已知定△ABC中的NACB的角平分线上,

第11页

可以通过勾股定理算出斜边BC,并利用角平分线的性质作垂结合等积求出AD即可：

(3)①由切线长推出CD经过PQ中点M,此时PQ垂直平分CD,故而得证与目标线段相关的两二角形相

似，最后利用相似对应边成比例得证；

②利用①的结论即在RSCPD中典型的射影定理进行推理计算，找出动态变化中的不变量，即CE为定

值，NCME为定角，从而得出M的运动轨迹为圆，进而分析出其最值即可.

6.【答案】9

【解析】【解答】解：VAB=AC,ZBAC=120°

/.ZC=ZB=30°,

又・・・AD_LAC,AD=3

AZDAC=90°,CD=6,ZADC=60°

・•・ZDAB=ZADC-ZB=30°=ZB=ZC

勾股定理得AC=AB=3V3,

由图可知4ABD^ABCA,

.AB_AD_3

♦♦阮=丽"，仍=575

Z.BC=9

故答案为：9

【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得NC=30。，再根据含30。角的直角三角形性质可得CD=6,

由勾股定理可得AC=AB=3百，再根据相似三角形性质即可求出答案.

7.【答案】(1)证明：•.•需=笨，z>4=

•，・△4BC~△ADB

:.乙ABD=Z.C

(2)解：VZA=20°,ZC=40°,

・•・ZABC=180°—20°—40。=120。，

VZABD=ZC=40°,

ZCBD=ZABC-ZABD=120°-40°=80°.

【解析】【分析】(1)根据两边成比例且夹角相等证明△48C〜△408即可解题；

(2)根据三角形的内角和定理得到NABC=120。，然后根据NABD=NC=4()。即可解题.

8.【答案】2V3

【解析】【解答】解：•・・乙40。=44。8,小=

△ACDs&ABC,

.AC_AD

t'AB~AC，

第12页

^VAC2=AD-AB=AD-(AD+BD)=2x6=12,

­\AC=2b.

故答案为：2g.

【分析】由两角相等，可证明△4CD〜△48C,则%=兼，即得出计算求解即可.

9.【答案】(1)证明：VAF2=FDxFE,

.AF_FE

••丽二犷

VzF=ZF,

：.^AFDEFA.

：.Z-FAD=/.FEA.

(2)解：*：AF||BC,

：.Z.FAD=LB.

'：LFAD=4FEA.

：.AB=AFEA.

XVzMF=^CAB,

△ADE~XACB»

.AD_AE

••衣二宿

•・・D为边48的中点，AB=20,

：-AD=10.

*：AE=13,

・10_13

,,13+FC=20,

解得EC=患.

【解析】【分析】(1)利用两边成比例且夹角相等证明△AFO〜AEFA即可求解;

(2)根据两角相等的两个三角形相似得到△40E〜AACB,再根据对应边成比例得到余=需，代入数值计算

即可.

(1)证明：VAF2=FDxFE,

.AF_FE

••而一而

VZF=乙F,

AAFDEFA.

：,/FAD=AFEA.

(2)解：\'AF||BC,

第13页

：.LFAD=乙B.

'：^FAD=乙FEA.

：,Z-B=Z-FEA.

XVzD/lF=/.CAB,

△ADE-"△ACB♦

.AD_AE

••衣二宿

AD为边AB的中点,AB=20,

：-AD=10.

*：AE=13,

・10_13

,,13+FC-20,

解得EC=

10.【答案】证明:(1)VZDBC=ZA,ZC=ZC,

・•・△BDC^AABC；

(2)7△BDC^AABC,

.BC_CD

-AC=BC'

.>/6_CD

：.CD=2

【解析】【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可;

(2)根据相似三角形的对应边成比例得到器=叠解题.

11.【答案】(1)解：将A(-3,4)代入y=3，得m=-3x4=-12,

・••反比例函数的解析式为y二手

将B(6,n)代入y=1^,得6n=-12,

X

解得n=-2,

AB(6,-2),

将A(-3,4)和B(6,-2)分别代入丫=10^4)(k#0),得

(-3k+b=4

l6/c+b=-2'

解得k=J

l/)=2

・••所求的一次函数的解析式为y=-1x+2：

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(2)解：当产0时，A+2=0,

解得：x=3,

AC(3,0),

.\SAAOC=1X3X4=6,SABOC=ix3x2=3,

/.SAAOB=6+3=9；

(3)解：存在.

过A点作APi_Lx轴于Pi,AP2_LAC交x轴于P2,如图,

・•・ZAPiC=90°,

TA点坐标为(-3,4),

・・・Pi点的坐标为(-3,0)；

•・,ZP2AC=90°,

・•・ZP2API+ZPIAC=90°,而NAP2P1+NP2Api=90。,

・・・NAP2P产NPiAC,

RtAAPZPISRSCAPi,

••.PR4,

J

•••OPW+鸟耳，

・・・P2点的坐标为（学0）,

，满足条件的P点坐标为（-3,0）、（-学，0）.

【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求出C点坐标，将△AOB分成△AOC和△BOC,分别表示表示，即可求解；

（3）根据题意，若△人2?是直角三角形，则分别以A、P为直角顶点，分情况计算即可.过A点作APi_Lx

轴于Pi,AP2_LAC交x轴于P2,当P为直角顶点时，根据APIlx轴，即可得到点Pl坐标；当A为直角顶

第15页

点时，证明RtAAP2P1SRSCAPi,利用相似三角形的性质即可得到点P2坐标.

12.【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等

(2)45°

(3)解:(1)-：AB=AC,

•••乙ABC=Z-ACB,

••・E点与C点关于40对称，

:.Z.ACD=Z.AEDr

:.Z.AED=Z.ABD,

4D,8,E四点共圆；

(2)AD-AF=8,理由如下，

如图，

四点共圆,

乙FBD=Z-DAE,

•••4瓦4c关于力。对称,

:.Z.DAE=Z.DAC,

:.Z.DAC=乙DBF,

vZ.ADC=乙BDF,

•••Z.F=Z.ACD♦

-AB=AC,

•••Z.ABD=Z.ACD,

•••乙F=乙ABD,

又乙BAD=/.FAB,

•••△BAD〜匕FAB,

AB_AD

..丽一宿

AD-AF=AB2,

第16页

VAB=2或，

AD-AF=8.

【解析】【解答】解:（1）如图2,作经过点A,C,。的。。，在劣弧4c上取一点E（不与A,C重合），连接

AE,CE则乙4豳+4=180。（圆内接四边形对角互补）

图2

AAEC+=180。

.•.点4B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

.•.点B,。在点4C,E所确定的。0上（同圆中，同弧所对的圆周角相等）

二点4,B,C,E四点在同一个圆上

故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等

（2）•.•在线段CO同侧有两点4,B,zl=Z2

.•.48,C,0四点共圆，

•:At）=AD

/.z4=z3=45°

故答案为：45°；

【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；

（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；

（3）①根据（1）中的结论证明乙4ED=乙480即可得证；②证明ABAO〜△R48,根据相似三角形的性质

即可求解.

13.【答案】（1）解：连接CD,

•・•四边形48co内接于圆，

：.LDCB4-^DAB=180°,

'：LEGD+/.DAB=180°,

第17页

"DCB=乙EGD=75°,

•「CD为直径，

：.^DBC=90°,

：.Z.BAC=乙BDC=15°；

(2)证明：•・•四边形A8C0内接于圆,

：.^DCB+^DAB=180°,

VLEGD+Z-DAB=180°,

:•乙DCB=乙EGD,

:.EF||BH,

：.LAEF~AAHB,

.EF_AE

••而=而；

⑶证明「嚼=舞

.EF_HB

••南二丽

=乙CHA,乙HDB=乙HCA,

：.^HACHBD,

.HB_BD

••而二前’

.EF_BD

''AE~AC-

又「EF=BD,

：.AE=AC.

【解析】【分析】(1)根据圆内接四边形的对角互补得到乙皿方+功力8=180。，再根据“GZ)+/n4B=

180。可得4OCB=乙EGD=75°,然后利用直径所对圆周角是直角解得乙84c=乙BDC=15°；

(2)先得到乙DCB=4EGD,即可得到£T||8H,然后证明△AEFAH8,即可得到结论；

(3)先证明△/MCSAMBD,得到笠二缥，然后结合黑=光，即可得到结论.

AHACAEAh

(1)解：连接CD,

H

第18页

•・•四边形48co内接于圆，

:,乙DCB+乙DAB=180°,

'：Z.EGD+/.DAB=180°,

:.(DCB=Z.EGD=75°,

•••CD为直径，

"DBC=90°,

：.Z-BAC=乙BDC=15°：

(2)解：:四边形力8C0内接于圆,

J.LDCB+/-DAB=180°,

'：Z-EGD+Z.DAB=180°,

:,乙DCB=乙EGD,

：.EF||BH,

：.LAEF〜AAHB,

.EF_AE

⑶解:嚼=翁

.EF_HB

••k和

=乙CHA,乙HDB=乙HCA,

：,LHACHBD,

.HB_BD

••丽二衣’

.EF_BD

••而=葡

又•；EF=BD,

：.AE=AC.

14.【答案】陋

【解析】【解答】解：•・・NACB=90。，

?.ZACD=90°,

VCD=^,AD=3遍，

・••利用勾股定理，得AC=[AD口H=j）灼之一Gf=5

*//MDN是由/MAN折椁得到的，

.•・NMDN=NMAN,MA=MD,

第19页

VZBDM=ZNDM,

.,.ZDDM=ZMAN,

VZAMD=ZACD=90°,

AMD2+MA2=AD2,BP2MD2=AD2,

・・・MD=

9

2-

・••MD=?AD=^x|伍，

乙乙J*

VZBDM=ZBAC,ZDBM=ZABC,

・•・△BDM^ABAC,

AB=-AC=—=-

故答案为：挈.

4

【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理及等量代换可得MD二等AD,再求出MD—亨AD

=孝”逐卷同，再证出△BDMs^BAC,利用相似三角形的性质可得翅_处_迎一邈，从而得解.

244AB~AC~9-4

15.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，过点B作BF_LAC,交AC于点F,交AE于点G,

VBF1AC,ZBAC=45°,

・•・△ABF为等腰直角三角形，

/.AF;BF,

VAE1BC,

.\ZAEB=ZAFG=90o,

VZAGF=ZBGE,

AZFBC=ZFAG,

/.△AGF^A