特殊三角形（十三大考点）-2026中考数学总复习考点重难突破（含答案）

专题05特殊三角形（十三大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习-考点强化

讲与练

等

腰三角形的性质与判定

（1）性质

①等边对等角:两腰相等，底角相等，即AB=AC=NB=NC；

②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;

③对称性：等腰三角形是地对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在的直线就是对称轴.

（2）判定

①定义：有两边相笠的三角形是等腰三角形；

⑵等角对等边:即若NB=/C,则△ABC是等腰三角形.

注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.

失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30。，则另外两个

角的度数为30。、120。或75。、15。.

（二）等边三角形的性质与判定

（1）性质

①边角关系：三边相等,三角都相等且都等于飨.

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②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴.

<2）判定

①定义：三边都相笠的三角形是等边三角形；

⑵三个角都相等（均为60。）的三角形是等边三角形；

③任一内角为60。的等腰三角形是等边三角形.

即若AB=AC,且NB=60。，则△ABC是等边三角形.

注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一''的性质.

（2）等边三角形有一个特殊的角60。，所以当等边三角形出现高时.会结合直角三角形30。角的性质，即

BD=1AB.

（三）角平分线与垂直平分线的性质

（I）角平分线

①性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若

Z1=Z2,PA1OA,PBLOB,则以=?比

②判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上，即PA=PB。

<2）垂直平分线

①性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等.即若OP垂直且平分4B,则朋=PB.

②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

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A

（1）两锐角互余.即/A+NB=2^；

（2）30。角所对的直角边等于斜边的二坐.即若NB=3O。，则AC=：AB；

（3）斜边上的空线长等于斜边长的一半.即若CD是中线，则他=±AB.

（4）勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a2+b2=i.

（五）直角三角形的判定

（1）有一个角是直色的三角形是直角三角形.即若NC=2Q2，则AABC是直角三角形;

（2）如果三角形一条边的中线等于这条边的二那么这个三角形是直角三角形.

即若AD=BD=Q2，则△ABC是直角三角形

（3）勾股定理的逆定理：若a2+b2=《2.则△ABC是直角三角形.

模块三考点一遍过

考点1等腰三角形的性质——等边对等角

典例1：

1.如图已知点。在AC上，点B在4E上，△ABC三AOBE.若44ZC=4:3,则zDBC=（)

A.12°B.24°C.20°D.36°

【变式1】

2.如图，在中，=40。,乙C=50。,通过观察尺规作图的痕迹，々ZX4E的度数是（)

C.50°D.90°

【变式2】

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3.如图，在中，乙4c8=90。，△4二50。，以点8为圆心，8c的长为半径画弧，交48于点。，连

接C。，则乙ACO=1

【变式3】

4.如图，点O是等边三角形48c内一点，乙408=110。，乙BOC=a.以。C为一边作等边三角形OCD,连

接40.当口=时，△40。是等腰三角形.

考点2等腰三角形的性质一三线合一

典例2：

5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,4D是BC边上的中线，，4E||BC,CE1AE,垂足为£

(2)若△4BD的面积是2,求四边形ABCE的面积.

【变式1】

6.如图，在△ABC中，AB=AC,LBAC=120°,AD工BC交BC于点、G,B.AD=AB,ZEDF=60°,其两边

分别交边AB,AC于点E,F.

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A

(1)求证：△4B0是等边三角形;

(2)若GD=3,DE=5,求四边形AEDF的周长.

【变式2】

7.如图，在△A8C中，AB=AC,。为BC的中点，AD=AE,/.BAD=32°,求乙EDC的度数.

8.如图，在△48C中，4B的垂直平分线EF交BC于点E,交于点F,0为线段CE的中点，BE=AC.

(1)求证：AD1BC；

(2)若48AC=75°,求28=

考点3等腰三角形判定与性质

典例3：

9.如图，在和中，Z-BAC=90°,点E在上，且CE=过点E作EFJ.80于点F,且£F二

AC.

(1)求证：DB=DE；

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(2)若乙DBC=105°,求20的度数.

【变式1】

10.在△48C中，AB=AC,0°<£BAC<90°,将线段AC绕点A逆时针旋转Q得到线段AD，连接

BD,CD.

图1图2

(1)如图1,当=Q时，则乙48D=；(用含有a的式子表示)

(2)如图2,当a=90。时，作NBA。的角平分线交8c的延长线于点F.交BD于点E,连接OF.

①依题意在图2中补全图形，并求408C的度数；

②用等式表示线段4F,CF,OF之间的数量关系，并证明.

【变式2】

11.如图，在△ABC中，BA=BC,点。在边CB上，且DB==AC.

图1图2

(1)如图1,49=°,ZC=

(2)如图2,若M为线段BC上的点，过点M作直线MH140于点H,分别交直线AB、AC干点N、E.

①求证：AANE是等腰三角形.

②试猜想线段8N、CE、CO之间的数量关系，并加以证明.

【变式3】

12.如图，已知等腰△4BC中，AB=AC,D为△ABC外一点,&AD=AC,4CAD=a.

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ADAD

BCBEC

图1图2

(1)如图1,当。=70°,求乙OBC；

(2)如图2,作/EJL8C于E交BO于凡当a=60。，EF=1,AF=4,求B。；

(3)若匕BAC=40。，且△BCD是等腰三角形,求a的值.

考点4等边三角形性质

典例4：

13.已知：如图，在等边三角形48c的AC边上取中点0,8C的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:

(2)BE=3CE.

【变式1】

14.如图，a/BC为等边三角形,48=12；点。是直线8C上一点，连接AD,以40为边作等边△AOE,连

接CE.

E

B

C

图1图2

(1)如图1,当点。是线段BC的中点时，CE=，LDCE=

(2)如图2.当点。在BC的延长线上时，求证：△ABD三AACE；

(3)在(2)的条件卜探索AC,CD,CE三条线段的长度为何关系？并说明理由.

【变式2】

15.如图，在等边48c中，。、E分别是8C、CA上的点，且AE=CO,力。与BE交于点F.

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A

E

BDC

（1）求证：/-ABF=4c40；

（2）V\:BG±AD,垂足为G,求证：BF=2FG.

【变式3】

16.在等边△ABC中，将线段4B绕点A逆时针旋转a（0。＜。＜30。）得到线段40,线段与线段BC交于

点E,射线BD与射线4c交于点立

（1）①依题意补全图形；

②分别求乙4EC和乙BR4的大小（用含a的式子表示）；

（2）用等式表示线段AE,EC,A尸之间的数量关系，并证明.

考点5等边三角形判定

典例5：

17.如图，在△ABC中，8。是高，点。是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交48于点F,

且EFJ.4B,若乙£=30。.

（1）求证：△ABC是等边三角形；

【解答】证明：•••8。_L4C,点。是4c边的中点,

・・・BD垂直平分4C,

：.AB=CB.

9：EFLAB,

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，乙48C+JE=90°.

VzF=30°,

・••乙4BC=60°,

•••△4BC是等边三角形.

(2)若AF=2,求CE长.

【变式1】

18.如图，在△力8c中，/.A=30°,£是48的中点，OE148交AC于点。，点/在DE上，BF=CF,FG1

AC交AC于点G,若EF=2,DF=4.

(1)求£)G的长.

(2)求CD的长.

(3)求证：ABCF为等边三角形.

【变式2】

19.已知：如图，在四边形48co中，乙48c=90。,。。=7,4。=24,点E是AC中点，连接BE、DE、BD,

且BE=12.5.

(2)若4B4Z)=30。，求证：ABDE是等边三角形.

【变式3】

20.如图1,△48C和△4DE都是顶角为120。的等腰三角形，其口=120。，点。在8C上.

图1

(2)求证：如图2,当点£在84的延长线上，八/?。仁为等边二角形.

第9页

E

典例6：

21.如图，0是等边三角形ABC内一点，将线段4。绕点力顺时针旋转60°,得到线段AE,连接CD,BE.

(1)求证：AAEB^AADC

(2)连接DE,若NAOC=98°,求4BED的度数.

【变式1】

22.如图，在等边三角形力BC中，点D,E分别在边BC,4c上，且OE||48,过点E作EF1OE,交的延

长线于点F.

(I)求乙尸的度数:

(2)求证：△CE尸是等腰三角形；

(3)若CD=6,求DF的长.

【变式2】

23.如图1,已知在△4BC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,Z-ABC=Z.ADE,CE交BD于。息.

(1)求证：CE=BD；

(2)①如图1,当乙43。=60。时,求乙30c的度数；

②如图2,猜想：当=a时(0。＜。V90。)，/B0C的度数为多少(直接用a的式子表示)？

【变式3】

24.综合与实践

问题情境：

已知在等边△48C中，P是边AC上的一个定点.M是8C上的一个动点，以PM为边在PM的右侧作等边△

PMN,连接CN.

猜想证明：

图1图2图3

(1)如图1,当点M在BC边上时，过点P作PHII48交8C于点H,试猜想C尸，CN,CM之间的数量关

系.并说明理由.

(2)问题解决:

如图2,当点“在的延长线上时，已知C『=S,CM=12.求CN的长.

(3)如图3,当点M在BC的延长线上时，请直接写出CP,CN,CM之间的数量关系.

考点7垂直平分线的性质

典例7：

25.如图，已知等腰△力BC中，AB=AC,^BAC=120°,力。1^。于点。，点P是延长线上一点，点。是

线段上一点，OP=0C,下面的结论：①〃P0+/DC0=30°；②^OPC是等边三角形；(3)AC=A0+

AP：④SAXBC=S四边形40cp.其中正确的为()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【变式1】

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26.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交A8于点M交AC于点M,连接8M,若48=10cm,

△BCM的周长是17sl.

(1)BC的长是cm.

(2)若P是直线MN上一点，则△BCP周长的最小值是cm.

【变式2】

2

27.如图，在△48C中，AB=BC,S^ABC=3cm,边BC的垂直平分线为/，点。是边4c的中点，点P是/

上的动点，当△PCO的周长取最小值4时，则4C=.

典例8：

28.如图，在四边形4BCD中，AD=CD,AB=CB,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.已

知筝形/1BCD的对角线4C,BZ)相交于点。.

(1)请判断4c与80之间的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=6,80=8,求四边形A8C0的面积.

【变式1】

29.如图，在△A8C中，484c>90。，48的垂直平分线分别交力8,BC于点E,F,4C的垂直平分线分别交

AC,8C于点M,N,直线EF与直线MN交于点P.

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A

EM

BC

N

(1)求证：点P在线段8c的垂直平分线上.

(2)已知乙凡4N=52。，求NFP/V的度数.

【变式2】

30.如图，中，4D是484c的平分线，OF143于E,DFLAC^F.求证:

(1)Z-DEF=4DFE；

(2)40垂直平分EF.

【变式3】

31.如图，4。与8c相交于点O,0A=0C,LA=Z.C,BE=DE.

(1)求证OB=OD；

(2)求证：OE垂直平分BD.

考点9直角三角形——斜边中线

典例9：

32.如图，在△48C和△AOE中，AB=AC,AD=AE,N84C+4EAO=180。，△ABC不动，△4OE绕点A

旋转，连接BE、CD,尸为BE的中点，连接4F.

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EDE

D

图①图②

(1)如图①，当4BAE=90。时，求证：CD=2AFx

(2)当乙R4EH9O。时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由.

【变式1】

33.己知：如图，ABAC=/-BDC=90°,点E在BC上，点尸在4。上，BE=EC,AF=FD.求证：EF1

【变式2】

34.如图，在△ABC中，AO是BC边上的高线，CE是48边上的中线，G为CE中点，连接OG,CD=AE.

(1)求证：DG1CE；

(2)已知/4EC=69。，求乙ECE的度数.

【变式3】

35.已知：如图，在四边形4BC。中，乙48C=乙4DC=90。，点E是AC的中点.

(I)求证：八/?/?0是等腰二角形；

(2)当乙BCD=。时，ABED是等边三角形.

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(3)当/力0£+44?七=45。时，若80=5,取80中点凡求EF的长.

考点10

典例10：

36.我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨.如图，4城气象台测得台风中心在A城正西

方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60。的B尸方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台

风影响的区域.

(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？

(2)若4城受到这次台风影响，那么4城遭受这次台风影响有多长时间？

【变式1】

37.已知，如图，在△4BC中，AB=AC,Z-B=30°,ADLAB,交BC于点0,AD=1,求线段8c的长.

【变式2】

38.如图，已知：在△ABC中，乙4=30°,Z5=60°.

(1)作4口的平分线BD,交AC于点。，作BC的垂直平分线，分别交4B、BC于点、E、F.(要求：尺规作

图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；

(2)求证：点E是48中点；

(3)连接DE,求匕EOA的度数.

【变式3】

39.如图，△48C是等腰三角形，48=AC,点。是48上一点，过点。作。E18C交8c于点E,交C4的延长

线于点工

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(1)证明：△AOF是等腰三角形；

(2)若匕8=60。，BD=16,AD=5,求EC的长.

考点11直角三角形一含45。角

典例11：

40.如图，等腰直角三角尺△A8C与30。三角尺△A3。斜边AB重合，O为A8的中点，连接。C.

(1)判断△OCQ的形状；

(2)求NCOD的度数：

(3)若CO=2,求△OCO的面积.

【变式1】

41.如图所示，将等腰直角三角形/BC的直角顶点C置于直线Lt,I与48边交于点F,分别过4,B两点作直

线，的变线，垂足分别为D,E,请你仔细观察图形，找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.

B

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【变式2】

42.如图所不，等腰直角△4BC中，AB=AC,^BAC=90%平面内有两点D、凡连接AO,CD,CF,满

足CD=CF,乙DCF=90°.

AF=2,求△CDF的面积.

(2)如图2,连接0尸,若。尸恰好过BC的中点E,求证：DE=4iAD+EF.

【变式3】

43.生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获,

如图，三幅图都是由一副三角板拼凑得到的:

(2)图2中己知AE||C凡则ZZMO的度数为.

(3)若等腰直角三角板4DE的斜边4E与含30。角的直角三角权8”的长直角边8F相等.如图3,当两个

直角三角板的顶点A与尸重合，斜边4E、尸。重合在一起时，连接BE.

①求证：△OBE是等腰二角形;

②若BC=4,请直接写出线段EC的长.

考点12直角三角形一勾股定理

典例12：

44.【发现结论】

一元二次方程的几何解法最早可以追溯到古希腊，小聪同学在了解到英格兰著名文学家卡莱尔给出的几何

解法后，也有了他自己的新发现：如图1,在平面直角坐标系中，已知点A(0,Q)、8(-6,C),以48为直径作

0M.若O”与;i轴交丁点P(s,0)、QQ,0),则s、I为关丁/的方程/十"十QC=0的两个实数根.

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图3

由题意得：/-APB=90°,AP2=s2+a2,BP2=(-b-s')2+c2,AB2=b2+(a-c)2.

在Rt△力BP中，由4P2+Bp2=4^2得：s2+Q2+(—b—s)2+c?=d+(a—c)2.

化简得：.同理可得：

所以s、£为方程》?+bx+ac=0的两个实数根.

（2）【灵活运用】

如图2,不、刈为方程______________的两个实数根.

（3）在图3中所给网格图的不轴上画出以方程/-3%-2=0两根为横坐标的点P、Q.

（4）已知点力（0,-8）、8（8,-2）,以AB为直径作OC.根据小聪的发现判断。C与x轴的位置关系，并说

明理由.

【变式1】

45.在△48C中，4c=90。，AC=6,BC=8,。，E分别是斜边48和直角边CB上的点，把AOEB沿着直线

OE折叠，顶点8的对应点是8’.

①②

（1）如图①，如果点和顶点4重合，求CE的长；

（2）如图②，如果点8,落在AC的中点处，求CE的长.

【变式2】

46.如图，一个长为15m的梯子4B斜靠在墙上，梯子的顶端4距地面的距离为12m,

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(1)如果梯子的顶端4下滑了1m,那么梯子的底端B也向后滑动1m吗？请通过计算解答.

(2)梯子的顶端从4处沿墙4。F滑的距离与点8向外移动的距离有可能相等吗？若有可能，请求出这个

距离，没有可能请说明理由.

【变式3】

47.如图，在中，AB=3,BC=4,AC=5.动点P从点A出发沿4c向终点C运动，同时动点Q从点8

出发沿向点4运动，到达A点后立刻以原来的速度沿48返回.点P,Q运动速度均为每秒1个单位长度，当

点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止.连接PQ,设运动时间为＞0)秒.

(备用图1)(备用图2)

(1)判断△4BC的形状，并说明理由；

(2)记△C8Q的面积为S,请用含有t的代数式来表示S；

(3)伴随着P,Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线L当直线，经过点C时，求AQ的长.

考点13统直角三角形一两角互余

典例13：

48.如图，中，"=90。，斜边A8的垂直平分线交48于点E,交8c于点0,连接力。，若28=

C.30°D.35。

【变式1】

第19页

49.如图，△4BC的高线AD、CE相交于点F，连接BF,下列说法不一定正确的是（)

A.力E为△AFT的高线B.BF1AC

C.EF=DFD.LEAF=乙DCF

【变式2】

50.如图，将RtAABC绕点A顺时针旋转a得到△力B'C',点恰好落在43上，连接若，BB'C'=30。,

【变式3】

51.如图，MSIPS,MN1S/V,PQ1SN,垂足分别为S、N、Q,若MS=PS=5,MN=3,则

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答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】20

4.【答案】110。或125。或140。

5.【答案】(1)证明：・・・4B=4C,

Z.B=Z.ACD,

*：AEIIBC,

：,Z.EAC=2ACO,

:•乙B=Z.EAC,

,・N。是8c边上的中线，

：.AD1BC,

a：CE1AE,

：./-ADB=/-CEA=90°.

在△480和4CAE中，

乙B=Z.EAC

Z-ADB=Z.CEA

AB=CA

:.AABD=△CAE(AAS)；

(2)解：•・•AD是8c边上的中线,

•,^^ABD=SXACD•

V△ABDCAE,

•'•SA/IB。=S&CAE，

••,△ABO的面积是2,

••・四边形A8CE的面积为6.

6.【答案】(1)证明：-：AB=AC,ADIBC,

・"BAD=Z.DAC=^Z.BAC=60°.

又FD=AB,

•••△4BD是等边三角形.

(2)解：•••△ABD是等边三角形，

：.^ADB=^ABD=60°,

■:乙EDF=60°,

第21页

：./-ADE+乙BDE=Z-ADE+^ADF=60°,

・"BDE=^ADF,

在^BDEfUA40尸中，

Z-DBE=DAF=60°

BD=AD,

Z-BDE=Z.ADF

：・>BDE三△AOFQ4s4),

：.BE=AF,DE=0尸=5,

TAOJ.8C交8c于点G,△ABD是等边三角形,

：.AG=DG=3,WAB=AD=6

・•・四边形4EQF的周长为

4E+OE+DF+4F

=4E+OE+0/+BE

=(AE+BE)+DE+DF

=A8+OE+。?

=6+5+5

=16.

7.【答案】解：,.,4B=4C,。为BC的中点，

AD1BC,4。平分4B4C,

乙ADC=90°,Z-CAD=乙BAD=32°.

'：AD=AE,

-'-^ADE="ED=1x(180°-/-CAD)=74%

乙

：,Z.EDC=90°-/-ADE=16°.

8.【答案】(1)证明：如图，连接4E,

A

EDC

•・・EF垂直平分48,

：.AE=BE,

VBE=AC,

：.AE=AC,

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・・・0是EC的中点,

.\AD1BC；

(2)35°

9.【答案】(1)证明：9在Rt/kLCE和RtA—EB中,

(AC=EF

ICE=BE'

:・Rt△ACE三Rt△FEB(HL),

：.Z.AEC=乙FBE,

又・・ZEC=4DEB,

:•乙DBE=Z.DEB,

：.DB=DE；

(2)解:VCE=BE,

・•・设4EBC=乙ECB=a,由(1)可得4OBE=乙DEB=Z-EBC+乙ECB=2a,

■:乙DBC=105°,

・••乙OBC=乙DBE+乙EBC=105°,即2a+a=105°,

解得a=35。，

：.LDBE=乙DEB=2a=70°,

AzD=180°-LDBE-乙DEB=180°-70°-70°=40°.

10.【答案】(1)90-a

图2

AB=AC=AD,/.BAD=Z.BAC+Z.CAD=90°+乙BAC,

1(180°-^BAC)=90°-

180。一匕840180°-Z^C-90°,Z.BAC

M=-2—=--------2----------=45ro--h

:•乙DBC=乙ABC-Z.ABD=45°；

②DF=\P1AF-FC,理由如下:

第23页

如图2,过点。作CH14”于

=AD,”平分N8/0，

=DE,AF1BD.

'：LDBC=45°,

工乙DBC=乙EFB=45°,

：.EB=EF=EO,

:.DF=五EF,

9：CHLAF,乙EFB=45。,

：.Z-HCF=乙EFB=45°,

：.CH=FH,

・

:HF乙

・・“4厂OAT900+Z.BAC,D“4U。匕BAC

・Z.CAF=Z.BAF-Z,BAC=-------乙-----------Z.BAC=45°--------乙—,

：.Z-CAF=乙ABD,

又〈々AEB=乙AHC=90。，AB=AC,

•MABE=^ACH(AAS),

:,CH=AE,

：.AE=HF,

-'-DF=V2EF=V2(4F-HF)=近(4/一孝FC)=\f2AF-FC.

IL【答案】(1)36：72

(2)解：①由(1)可知，Z,ADC=ZC=72°,/.BAD=Z.B=36°,

乙CAD=180°-^ADC一乙C=36°,

:.Z.BAD=Z.CAD,

在△AHN和△?!”£1中，

乙HAN=匕HAE

AH=AH,

乙AHN=Z.AHE=90°

：.bAHN三△AHE(ASA),

AN=AE.

.••△4NE是等腰三角形.

②G)=/?N+。?.证明如下：

由①可知，AN=AE,

第24页

VBA=BC,DB=AC,

BN=AB-AN=BC-AE,CE=AE-AC=AE-BD,

:.BN+CE=BC-AE+AE—BD=BC-BD=CD,

即CD=BN+CE.

12.【答案】（1）解：-AB=AC,

：•乙ABC=Z.ACB,

-AD=AC,

/-ACD—乙DC,AB—ADy

:.Z.ABD=Z.ADB,

设4b4c=p,

vZ.CAD=a,

iii

:.乙ABD=Z.ADB=i（180°-/7-a）=90°-i/?-

乙乙乙

11

・•・乙=义（。）。一”，

ABC=Z.ACB乙180-0=90乙

^ACD=乙40c=,（180。-a）=90。-另，

乙乙

乙DBC=乙ABC-/-ABD=90°（90°=1a,

•••a=70°,

N08C=^/.CAD=1x70°=35°:

（2）解：作4G_LB。于G,如图2所示：

图2

由（1）得：Z.DBC=^£CAD=30%

VAE1BC,LBFE=60°,

BF=2EF=2,乙AFG=乙BFE=60°,

二AFAG=30°,

1

FG=^AF=2,

.••4G=>JAF2-FG2=2百,

第25页

vAB=AC,AE1BC,

•••CE=BE=yj22-l2=遍，

vAE=AF+EF=5,

...AD=AC=y]AE2+CE2=J52+(⑹?=?回

vAG1BD,

22

DG=yjAD-AG=J(2⑺2_(2⑹？=4,

.•・B。=BF+FG+OG=2+2+4=8；

(3)解：分情况讨论：①CB=CD时，如图3所示：

图3

:.AB=AD,

在△ACD和△4C8中，

AD=AB

DC=BC,

AC=AC

•••△/CD三△4CB(SSS),

•••乙CAD=/-BAC=40°,

即a=40°：

②8C=80时•，如4图所示：

图4

同①得，△BADWABAC(SSS),

•••乙BAD=LBAC=40°,

.・.乙CAD=2Z-BAC=80°,即Q=80°；

③DR="时，如5图所示：

第26页

D'

图5

点。在BC的垂直平分线匕

:.Z.CAD=^Z-BAC=20°或NCA。'=180°-20°=160°,

即Q=20。或160。；

综上所述，若4c=40。，且△BCO是等腰三角形，则a为40。或20。或160。或80。.

13.【答案】(1)证明：•••△A8C是等边三角形，D是AC的中点,

：4BD=^ABC=30%^ACB=60°,

乙

VCD=CE,

•.Z.E=Z-CDE，

'：LACB=乙E+乙CDE,

・••乙E=乙CDE=30°,

・"E=Z.CBD,

:,BD=DE；

(2)证明：・••△ABC是等边三角形，。是4c的中点，

：.BC=AC=2CD,

*：CE=CD,

:・BC=2CE,

:・BE=BC+CE=3CE.

14.【答案】(1)6；120°

(2)证明：•.•△ABC和△?!/)£是等边三角形，

：.AB=ACtAD=AEt^BAC=^DAE=60°,

...乙BAC+Z-CAD=4DAE+/.CAD,即aBAD=4G4E,

在A/IBD和△4CE中，

第27页

AB=AC

LBAD=乙CAE,

AD=AE

:AABD三△4CE(SAS)；

(3)解：AC.CD、CE三条线段的长度关系为CE=4C+C。，理由如下:

由(2)可知，三△4CE

•••BD=CE,

48,是等边三角形，

i4C—BC»

vBD=BC+CD,

/.CE=AC+CD.

15.【答案】(1)解：•.•△力BC是等边三角形，

Z-BAE=zC=60°,AB=AC,

在△48后和4C4O中

(AE=CD

\z-EAB=Z-C,

(CA=AB

ABESACAD(SAS),

•••Z.ABF"=Z.CAD；

(2)证明：:BG_L4D,垂足为G,

•••乙BGF=90°,

•••乙BFD=乙ABE+Z-BAD=4CAD+Z.BAF=^BAC=60°.

£FBG=30°,

FG=^BF^

：.BF=2FG.

16.【答案】(1)解：①补全图形，如图所示：

A

：.Z.ABC=Z.ACB=Z.BAC=60°,

第28页

;旋转,

^LBAD—a,AB—AD»

/.乙AEC=^ABC4-4BAE=60。+a，乙ABD=Z-ADB=1（180°-a）=90°

・"BFA=180°-/-ABF-^BAC=30°+1a；

（2）解：AF=AE+CE,证明如下：

延长EB至点G,使EG=AE,连接力G,则：LAGE=Z.EAG,

由（1）知：乙4EC=60°十a,Z-BFA=30°+1a>

'：Z-AEC=^AGE+^GAE=600+a,

^Z-AGE=LEAG=30°+1a,

J.^AGE=Z-BFA,

又,：（BAC=^ACG=60。，AB=AC,

△ACG=△BAF,

：,CG=AF,

*：CG=CE+EG,

：.AF=AE+CE.

17.【答案】（1）

（2）解：由（1）得，LA=60°,

・••在/^△AOF中，Z/1DF=900-600=300.

'：AF=2,

：.AD=2AF=2x2=4.

•・•在△ABC中，80是高，点。是4c边的中点，

：.CD=AD=4.

•・•乙COE=Z-ADF=30°,乙E=30°,

AzCD/?=ZE=30°,

：.CE=CD=4.

第29页

18.【答案】(I)解：*：DELAB,

：.^DEA=90°.

a：Z-BAC=30°,

：.Z.ADE=60°.

*：FGLAC,

:.乙DGF=90°,

:•乙DFG=30°.

'：DF=4,

：.DG=2.

(2)解:如图，连接力户.

C

：.DE=6.

'：^DEA=90°,/-BAC=30°,

：.AD=12,

：.AG=AD-DG=12-2=10.

,・，E是48的中点,DELAB,

：.AF=BF.

VCF=BF,

：.AF=CF,

a：FGLAC,

：.CG=AG=10,

：.AC=20,

：.CD=AC-AD=20-12=8.

(3)解：证明：由(2)得4"==

J.LFAC=/-FCA,/.FAB=Z-FBA.

,：Z-BAC=乙FAC+乙FAB=30°,

：.£.FCA+Z.FBA=30°,

：,Z.BCF+乙CBF=180°-(Z.FAC+Z-FAB+乙FCA+^FBA)=180°-60°=120°.

第30页

在48c厂中，乙BFC=180°-QBCF+ABF)=180°-120°=60°.

VZ?F=CF,

・•・ABC/为等边三角形.

19.【答案】(1)证明：・・・EB是斜边4c上的中线,

：.AC=2BE=2x12.5=25,

又•：CD=7,AD=24,

：.CD2^AD2=AC2,

：./-ADC=90。；

(2)证明：在RtzxABC和RtaAOC中，点E是?IC中点，

11

：.BE=^AC=AE,DE=^AC=AE,

J./-ABE=LBAE,乙=BE=ED,

'：/-ABE+乙BAE=乙BEC,乙ADE+乙DAE=乙DEC,

：・乙BED=乙BEC+乙DEC=2^BAE+乙DAE)=2iBAD,

*：LBAD=30°,

:.乙BED=2^BAD=60°,

♦：BE=ED,

•••△EBD是等边三角形.

20.【答案】(1)证明：二•△ABC和A4DE都是顶角为120。的等腰三角形,

：.AD=AEfAB=AC,

*：^BAC=/-DAE=120°,

：,^BAC-^DAC=4DAE-"AC,

：.Z-BAD=/.CAE,

：.^BAD三△G4E(S力S),

：.BD=EC；

(2)证明：当点E在84的延长线上时NE4C=180。一乙笈4。=60。，

：.^DAC=/-DAE一^EAC=120°-60°=60°=乙EAC,

*：AD=AE,AC=AC,

：.^CADGCAE(SAS),

：.CD=CE,/.ACE=LACD,

'：AB=ACfZ,BAC=4DAE=120',

Az/?=/LACR=30°.

：.Z-B=乙4CE=30°,

第31页

：./-ACE=/LACD=30°,

：.^ECD=60°,

•••△EDC为等边三角形.

2L【答案】(1)证明：・•・△4BC是等边三角形,

：.AB=AC,/-BAC=60°,

由旋转得到力E=AD.Z.EAD=60°,

故乙84E=Z.CAD=60°-

在△AE8和△40C中，

AB=AC

Z.BAE=Z.CAD»

AE=AD

AEBADC(SAS)；

(2)解：•••AE=AD,/-EAD=60°,

••.△AED是等边三角形，

•••^AED=60°,

•:2AEB三△4DC(S4S),

AEB=△ADC,

...乙AEB=Z.ADC=98°,

:.乙BED=4AEB-^AED=98°-60°=38°.

22.【答案】(1)解：•••△ABC是等边三角形，

・••乙A==/-ACB=60°.

*：DE||AB,

・・・/B=乙EDC=60°,

■:EF1ED,

：.Z.DEF=90°,

：.Z-F=90°-/-EDC=30°.

(2)证明：*：DE||AB,

・・・/A=Z.CED=60°,

:,乙EDC=乙ECD=乙DEC=60°,

VzF+乙FEC=乙ECD=60°,

AzFFC=30°=乙"，

：.CE=CF,

•••△CEF为等腰三角形.

第32页

(3)解：由(1)可知乙EOC=乙ECD=乙DEC=60°,

：.CE=DC=6,

又,：CE=CF,

：.CF=6,

：.DF=DC+CF=6+6=12.

23.【答案】(1)证明：'：AB=ACfAD=AE,

：-Z-ABC=^ACB,Z.AED=/-ADE,

*：^ABC=々ADE,

：.Z.ABC=Z-ACB=LAED=Z.ADE.

'：^ABC+2ACB+ABAC=180°,^AED+Z-ADE+^DAE=180°

J.LBAC=/.DAE,

：.Z-BAC+乙BAE=^DAE+乙BAE,^PACAE=^BADf

：.LCAE»BAD(SAS).

：.CE=BD.

(2)解：①如图1,'：z_ABC=60%AB=AC,

・•・△ABC是等边三角形，LBAC=60°,

'：LCAE=LBAD,

•••△ACE=4ABD,

•・•乙4MC=乙BMO,

：.Z.BOC=ABAC=60°；

②如图2,由⑴知：乙ABC=LACB,

当々4BC=a时，/-ACB=a,

：,^BAC=180°-2a,

由①同理得：乙BOC=LBAC=180°-2a.

24•【答案】(1)解：CM=CP+CN,理由如下，

•••△PMN是等边三角形,

Z.A=乙ABC=Z-ACB=60°,PM=PN,乙MPN=60°,

vPH1148,

:.乙/=乙CPH=60°,4ABC=Z-PHC=60°,

，乙PCH=Z.PHC=乙HPC=60°,

.•.△PHC是等边三角形，

PH=PC=CH.

第33页

乙CPH=乙MPN=60°.

乙MPH=乙NPC,

MPH三△NPC(SAS),

:.CN=MH,

:.CM=M"+CH=CN+CP；

(2)解：如图2,过点尸作PH||4B,交2C于

A

图2

LA=Z.ABC=Z.ACB=60°,PM=PN,乙MPN=60°.

vPH\\AB,

...LA=乙CPH=60°,乙ABC=Z-PHC=60°.

.•.△PHC是等边三角形，

PH=PC=CH=5.

•••Z.CPH=乙MPN=60°,

•••乙MPH=乙NPC,

MPH三△NPC(SAS),

...CN=MH.

：,CM=MH+CH=CN+5,

12=CN+5.

/.CN=7.

(3)解：CN=CM+CP.

如图，过点P作PHII48,交BC于H,

A