高考数学复习二轮复习讲义：空间向量在立体几何中的应用（原卷版）

第二十一讲：空间向量在立体几何中的应用

【考点梳理】

1.法向量的求解

①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量〃是平面的法向量，向量小是

与平面平行或在平面内，则有而不=().

第一步：写出平面内两个不平行的向z=a,»,zj,6=(毛,.v,,z2)；

小一—―/fh1=1-/、田rna=0xr.+yy.+zz.=0

第一步：那么平面法向量〃=(x,z),满足_=>.

nb=O[xx2+)y2+zz2=O

第三步：化解方程组令x,y,z其中一个为1,求其它两个值.

2.判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线。，〃的方向向量分别为a,b.

若3〃/；,即，=4,贝!]a〃b；若，_1_匹，即力日=0,贝!|d_L〃.

②直线与平面的位置关系：直线/的方向向量为。，平面夕的法向量为万，且/J_a.

若不〃斤，即〃=力？，贝l"_La；若a_L〃，即a•〃=(),则ci〃a.

3.平面与平面的位置关系

平面a的法向量为力,平面夕的法向量为4.

若用〃叫，即4=妈,则a"/；若%上％，即”1•%=。，则a~L/.

4.空间角公式.

(1)异面直线所成角公式：设a,B分别为异面直线(，上的方向向量，。为异面直线所成角的大

小，贝！JcosO=

(2)线面角公式：设/为平面a的斜线，a为/的方向向量，〃为平面a的法向量，。为

/与a所成角的大小,

（3）二面角公式:

设力,%分别为平面a,/的法向量，二面角的大小为夕，则或乃-（晨叫（需要根据具

，11­/T

体情况判断相等或互补），其中|cos0|=5*

5•点到平面的距离

A为平面a外一点（如图），”为平面a的法向量，过A作平面a的斜线及垂线AH.

【典型题型讲解】

考点一：直线与平面所成的角

【典例例题】

例1.（2022•广东茂名•一模）如图，四棱锥P-A8C。中，力团底面A8C。，底面48CD为平行四边形，E为CD

的中点，AE=\CD.

2

（1）证明：PCLADx

⑵若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6,F为PB上一点，且PF=¥B,求直线EF与平面力E所成角的

正弦值.

【方法技巧与总结】

设/为平面a的斜线，［为/的方向向量，〃为平面a的法向量，0为/与a所成角的大小，则

/——\l\a-n\

sin，=cos(,a,〃4)|胴

【变式训练】

1.（2022•广东惠州•一模）如图1所示，梯形488中，AB=BC=CD=2,4。=4,E为4。的中点，连结8E,AC

交「F,将朋8£沿8E折叠，使得平面48E0平面8c（如图2）.

图2

（1）求证：AF^CD；

（2）求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.

2.（2022•广东广州•一模）如图，在五面体4BCDE中，AO_L平面A8C,ADHBE,AD=2BE,AB=BC.

D

B

(1)求证：平面COEJ■平面48；

⑵若44=6，AC=2,五面体A8CDE的体积为正,求直线CE与平面48£。所成角的正弦值.

3.12022•广东汕头•一模)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD,"BC

是底面的内接正三角形，且DO=6,P是线段。。上一点.

⑴是否存在点P，使得PA_L平面P8C,若存在，求出PO的值；若不存在，请说明理由;

⑵当。。为何值时，直线EP与面P8c所成的角的正弦值最大.

考点二：二面角

【典例例题】

例L（2021•广东佛山•一模）某商品的包装纸如图1,其中菱形A8CO的边长为3,且NA8C=60。，

AE=AF=6BE=。/=26,将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E,F,M,/V汇聚为一点P,

恰好形成如图2的四棱锥形的包裹.

⑴证明小_L底面A8CD：

⑵设点「为BC上的点、，且二面角3-丁的正弦值为等'试求吒与平面以『所成角的正弦值.

【方法技巧与总结】

设百，不是二面角〃的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧,

则二面角a-1-p的余弦值为型当.

InJInJ

【变式训练】

1.（2022•广东•一模）如图，A4CD为圆柱OO'的轴截面，环是圆柱上异于A。，3C的母线.

⑴证明：8E_L平面DEF；

(2)若48=80=2,当三棱锥8-。斯的体积最大时，求二面角歹-E的余弦值.

2.(2022•广东湛江•一模)如图，在三棱柱ABC-4用&中，平面4BCS平面人8人，^ABC=90,AB=BC,

四边形4CGA是菱形，ZA,AC=60,。是4c的中点.

(1)证明：8c工平面B0A：

(2)求二面角A-。用-G的余弦值.

3.(2022广东深圳•一模)如图，在四棱锥E-28CD中，AB//CD,AD=CD=BC=^-AB,£在以48为直径的

半圆上（不包括端点），平面ABE/平面A8CD,M,N分别为OE,8c的中点.

⑴求证：MN〃平面A8E：

⑵当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值.

4.（2022•广东广东•一模）如图，在四棱锥尸-488中，PD0平面八BCD,四边形ABC。是等腰梯形，AB//DC,

BC=CD=AD=2,A8=4,M,N分别是48,AD的中点.

J

⑴证明：平面PMN0平面小。；

（2）若一面角C—A3—产的大小为60。，求四极锥的体积.

5.12022•广东韶关•一模）如图，在四棱锥M-4BC。中，底面A8CQ是直角梯形，AB//CD.^ADC=90,

△朋8c是以8c为斜边的等腰直角三角形，£为A8中点，AB=2AD=2DC=2ME=2y/2.

AP=1

(2)点，为棱AM上一点，若而一5,求二面角尸—6D—A的余弦值.

6.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA，底面ABCD,AB=2,PA=BC=4,ZABC=60°,

点E是线段(包括端点)上的动点.

(1)探究点石位于何处时，平面平面P。：

(2)设二面角尸一ED-A的平面角的大小为a,直线AO与平面PEO所成角为6,求证：。+£=方

考点三：点到平面距离

【典例例题】

例L(2022•广东中山•高三期末)已知圆锥AO的底面半径为2,母线长为2河，点C为圆锥底面圆周上的

一点，。为圆心，。是A3的中点，且N8OC=工.

(1)求三棱锥。-。C3的表面积;

(2)求4到平面OCO的距离.

例2.在正方体ABC。-A4GR中，£为AA的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，尸

为棱cq上的动点.

⑴点”在棱“上'""=*8时’切〃平面小，试确定动点尸在棱CG上的位置，并说明理由,

（2）若48=2,求点。到平面人£尸的最大距离.

【方法技巧与总结】

如图所示，平面。的法向量为5,点Q是平面。内一点，点P是平面a外的任意一点，则点尸到平面

a的距离d,就等于向量在法向量6方向上的投影的绝对值，即”=|。。|=|83<2°">|或4=丝0

\PQM

【变式训练】

1.（2022•广东梅州•二模）如图①，在直角梯形48C。中，ABA.AD,AB//DC,AB=2,AD=CD=4,

E、尸分别是A。，8c的中点，将四边形ABEE沿EF折起，如图②，连结40，BC,AC.

图1①

⑴求证：EFYAD；

(2)当翻折至AC=2"时,设。是石尸的中点，尸是线段AC上的动点，求线段P。长的最小值.

2.如图，在三棱柱ABC-ABC中，△ABC为等边三角形,四边形8CCM是边长为2的正方形，。为48中

点，且人。=6.

(1)求证：CQ_L平面A84A：

(2)若点/＞在线段qc上，旦直线A”与平面AC。所成角的正弦值为半，求点尸到平面ACD的距离.

3.如图，矩形A8C。和梯形ABM,AF人AB,EF//AB,平面"E尸，平面ABC。，且

AB=AF=ZAD=EF=l,过QC的平面交平面ABEF于MN.

(1)求证：ON与CM相交；

(2)当M为8£中点时，求点E到平面OCMN的距离:

4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中•部分抽象出长方

体和圆台组合，如图所示，长方体A6CD—A心qq中，AB=4,AD=AAi=2,圆台卜底圆心。为48的中

点，直径为2,圆与直线AB交于反厂，圆台上底的圆心。|在4用上，直径为1.

5Ci

(1)求AC与平面4七。所成角的正弦值；

(2)圆台上底圆周上是否存在一点P使得尸尸若存在，求点?到直线A瓦的距离，若不存在则说明

理由.

【巩固练习】

一、单选题

1.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖脯，在鳖嚅A-BC。中，A3L平面BCD,

BCLCD,且A4=3C=a>,M为40的中点，则异面直线用M与。。夹角的余弦值为()

3*YD.与

2.如图，正方体A8CO-A8Ci。的棱长为a,E是棱。。的动点，则下列说法正确的()个.

①若E为。A的中点，则直线80/平面48。

②三棱锥C-8CE的体积为定值;

③E为DD、的中点时，直线"E与平面CDD£所成的角正切值为管

④过点4,C,E的截面的面积的范围是［4,同

A.IB.2C.3D.4

二、多选题

2.在空间直角坐标系。DZ中，已知点P（1J1）,41,0,1）,仇（）」,（）），则下列说法正确的是（）

A.点尸关于yOz平面对称的点的坐标为（-1』』）

B.若平面。的法向量7=（2,-2,2）,则直线拉;〃平面。

C.若用，而分别为平面。，£的法向量，则平面a_L平面力

。.点尸到直线/W的距离为迈

3

3.直三棱柱ABC-AAG，中，A8_LAC,AB=AC=M=1,点/）是线段BG上的动点（不含端点），

则（）

A.AC〃平面A/QB.C7）与AR不垂直

C.NAQC的取值范围为D.。的最小值为0

三、填空题

4.如图，在棱长为2的正方体AbCQ-ASG"中，点E为楂C。的中点，点尸为底面A8CO内一点，给出

下列三个论断：

①A/_L8E；②A?=3；③S△人"=2S△人*

以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

5.如图，在正方体中，£，”分别为棱44，8c的中点，则E"与平面A8G所成角的正弦

四、解答题

6.如图，在三楂柱ABC-A&C；中，A]C=AAy=2AI3=2AC=2BC,ZBA4,=60°.

(1)证明：平面ABC_L平面AAB3.

(2)设P是棱CG的中点，求4C与平面以心所成角的正弦值.

7.如图，4BCD是边长为6的正方形，已知AE=E/=2,且ME//MV/A。并与对角线OB交于G,H,

现以ME,N尸