《二次根式的乘法与除法》-二次根式的除法 同步练习-2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.2《二次根式的乘法与除法》一二次根式的除法

一、单选题

1.计算卜［的结果为（）

A.V2B.2C.2^2D.—

2

2.下列各式从左到右的变形正确的有（）

①=②占=祟③近.V5=VS；=J|.

C.3个D.4个

B.-V5

V-12

C・V(-12)(-3)D.拈

4.计算：6夕的结果是()

A.-4B.-2V3C.40D.7

5.等式层=磊成立的条件是（

)

A.xW3且xW-1B.x>-1

C.-1VXW3D.xW3

6.在下列各式中，是-2a+b的有理化因式的是（

A.A2a+bB.V2a^bC.V2a+bD.V2a-b

7.已知xWy且x与y都是正数.下列各式中，不是逐一近的有理化因式的是（）

A.Vx+7yB.-Vx-^yc.Jx+yD.

8.已知a=&-1,b=W—,则a与b的关系（）

v2+l

A.a—bB.ab=1C.a=-bD.ab=-1

9.将（2-x）区根号外面的因式移到根式里面，正确的是（）

Nx-2

A.A2-xB.Vx^2C.—y/2—xD.-Vx—2

10.若a,b为正有理数，则有=(Va+Vb)(Va-Vb)=a-b,得到有理数结果,

我们把正称为“内的有理化因式”；声+VB与声-伤互称为“有理化因式”令F(x)=五,

利用有理化因式，可以得到如下结论，其中正确的有()

②若山\八一：=4百+4(其中b,c为有理数)，则b=3c；

F(4)-F(3)F(3)+F(4)

③若F(43-m)-F(11-m)=4,贝"F(43-m)+F(11-m)=8；

④一—+—1—+—i—+..•+______1______=2

2F(1)+F(2)3F(2)+2F(3)4F(3)+3F(4)100F(99)+99F(100)10

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

11,写出一个中的有理化因式.

12,计算3—>

4-V11V11-V7-------------------

13.一个长方形的面积为12,其中一边长为2百，则另一边长为(结果化为最简二

次根式).

14.若mn>0,m+n<0,则化简VFR+—=.

ym-------------

15.化简：-L+」,一+…T—―1—+、-1,■==.

1+V2V2+x/3V3+V4V98+V199\/99+-/100-----------------

三、解答题

(3)6+3同义(-5步);

17,已知底=翳，且x为偶数，求际•号的值・

18.先来看一个有趣的现象：6=Jl=J零=2米，这里根号里的因数2经过适当的演

变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有

许多，如：品=3鑫得=4器等等

(1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证：

(2)你能只用一个正整数n(n22)来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律.

19,创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以屹

立于世界民族之林.今年我国出现了令世界震惊的具有超强创新能力的智能机器人以及AI助

手DeepSeek,其创始人分别为王兴兴，梁文锋.在学习完实数的相关运算之后，小慧猜想出

了一个新的问题：两个数比值的算术平方根与这两个数的算术平方根的比值可能存在相等关系？

小慧用自己的方法进行了验证：因为］=|，而得=|，所以］=得

请你根据小慧的猜想，解答下列问题.

(1)比较大小：焉(填“>”“=”或"V").

⑵当心。，40时，直接写出点和黑间的关系.

(3)运用(2)的结论，计算：

①得

②已知一个长方形的面积为小，长为何，求这个长方形的宽.

(4)直接写出电+5+[+j看的值,

11-V2

20.阅读下面问题:=-1+V2,

1+>/2(1+四)(1-6)

1__叵,c

西^-(夜+代)(鱼-6)一一”十"3,

1V3—\,<4

=一万+2,

(v3+v'^)(,\,^3-y4)

【问题探究】

⑴根据以上信息，化简："

【应用结论】

⑵利用以上规律，计算：(号+武^+高5+…+嬴』)(1+.)•

【拓展应用】

(3)如果有理数a,b满足ab-2=+户，试求：小+:)、曲,+1)国I+

-------7=-F•••H,----------------'的值

^a+2)Vb+2+(b+2)Va+2-------------(a+2024)x/b+2024+(b+2024)Va+2024,

参考答案

一、单选题

1.B

【解答】解：原式=+：=x8=V4=2.

故选：B.

2.B

【解答】解：①=(a^O,b20),原变形错误；

②月、(40,b>0),原变形错误;

③=变形正确；

④得=&变形正确；

所以从左到右的变形正确的有2个，

故选：B.

3.A

【解答】解：后=J|=V4=2.

故选：A.

4.D

【解答】解：6V7x1V21^2V3

=6x-x-7x21x-

3273

=7.

故选：D.

5.C

【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得3-x20且l+x>0,

解得：-1VXW3.

故选：C.

6.A

【解答】解：根据有理化因式的概念逐项分析判断如下：

A.72a十b•12a+b=2a+b,结果不带根式，符合题意.

3.V2a+b-v2a—b=v4a2—b2,结果带根式，不符合题意.

C.V2aTb-(V2a+b)=V4a24-2ab+bV2aTb,结果带根式，不符合题意.

3.V2aTb•(V2a-b)=V4a2+2ab-bV2aTb,结果带根式，不符合题意.

故选：A.

7.C

【解答】解：A、(次一行)(«+后)=x—y,结果不含根式，不符合题意；

3、(Vx-Vy)(-Vx-7y)=-(Vx-Vy)(V^+Vy)=_(x-y)=结果不含根式,

不符合题意；

C、(瓜-4)•Jx+y=Jx(x+y)-Jy(x+y),结果仍含根式，符合题意；

D、(五一近)・W^=1,结果不含根式，不符合题意・

故选：C.

8.A

【解答】解：=V5-1,，a=b.

x/2+l

故选：A.

9.D

【解答】M：V^->0,则x-2>0,

x-2

A(2-x)-(x-2)=_J(x_2产x*=―疡石

故选：D.

10.D

【解答】解：©^=

(3一遍)X(3+6)

3+6

9-5

竽，故该结论正确，符合题意;

4

F(4)-F(3)-F(3)+F(4)

_bc

V4-V3V3+x^4

=(V4+V3)b—(V5-V3)c

=V3(b+c)+2(b-c)

=4V34-4,

•[b+c=4

**tb-c=2，

解得｛?；,

・•・可有b=3c,故该结论正确，符合题意；

③「F(43-m)-F(11-m)=4,

[F(43-m)-F(11-m)][F(43-m)+F(11-m)]

=(V43—m—Vil—m)(V43—m+Vil-m)

=(43-m)-(11-m)

=32,

AF(43-m)+F(11-m)=8,故该结论正确，符合题意;

1+1-…+

2F(1)+F(2)---3F(2)+2F(3)---4F(3)+3F(4)100F(99)+99F(100)

---------1------------1------------h---H-----------------

2VT+X<23>/2+2>/346+38100>/99+99<100

2as_______j_______3®2^_______(_______46-3、5_______

(24+企)(2«-&)十(3&+2\⑶(3\5一28)十(4V3+3x/4)(4>/3-3V，4)十

___________100闻-9971^_________

(100%/99+99\/100)(100799-997100)

2-y[2,3V2-2x/3,4b-3a,100V99-99x^00

r+1-…十

1X2------2X3--------3X499x100

1y[2.>/2V3.V36、.V100

2233499100

100

1

10

=春故该结论正确，符合题意.

综上所述，结论正确的有4个.

故选：D.

二、填空题

11.V2aTb(答案不唯一)

【解答】解：*.*72a+b・12a+b=2a+b,

・•・V2aTb的有理化因式为72aTb,

故答案为：属不B(答案不唯一).

12.4-V7.

【解答】解：磊一百

_5x(4+VH)__________4X(VTI+V7)

一(4+Vll)(4-Vll)(x/Tl-y7)(>^ll+x/7)

_5x(4+VH)_4x(g+⑺

16-1111-7

=4+711-V11-V7

=4-V7.

故答案为：4-V7.

13.2V3.

【解答】解：设另一边长为a,由长方形面积公式得:

代。

2=玷12=❷6=6x两V3=丁6=27B3；

故答案为：2V3.

14.-in.

【解答】A?：Vmn>0,m+n<0,

n<0,

=Vm2

=-m,

故答案为:-m.

15.9.

V2-1,V3-V2,,V100-V99

【解答】解：原式=-4-•••-T-

(1+V2)(V2-1)(V2+V3)(V3-V2)(V99+A/100)(V100-V99)

—>/2—1+y/3—A/2+>/4—>/3+…+799—V98+V100—\!99

=-1+x<Too

=-1+10

故答案为：9.

三、解答题

16.(解：(1)^3<28x5Jz|

1_9116

=一x5~x—x—

374287

5

—•

7，

(2)<-|V>^y)彳《4)

=--x|x3^xy5xx3yx-

=一沁y

=-9x、晒.

(3)Jj^3V28x(-5器)

二(—1+3x5)J|-28x?

一叵

3749

S、，国

=-----X-------

37

5V10

5j(a+b)(a-b)ab

2J6a3(a+b)a-b

5V2b

=-X——

26

5圆

12

*,解：.「旧=隽，

.f9-x>0@

,%-6>0②，

由①得:xW9,

由②得：x>6,

・•・不等式组的解集为：6VxW9,

Vx为偶数，

x—8,

/.x+l>0,x-4>0,

.伉—:—lx2-5x+4

=由焉

=由・得

=Vx—4

=y/8—4

=V?

=2.

18.解：⑴

验证：厘=居=盾=5百；

（2）规律:（n为正整数,n22）,

=N

证明：=jn（^i+n=JST-

19.解：（1）由材料知，后=焉

故答案为：=

⑵当a>0,b>0时，。=强

②由题意列式得:5

3

则这个长方形的宽为去

(4)原式=/-X18x5x15=72025=45.

721851572

>/n+l-Vn

20.解：（1）原式=

(而+v'n+l'i(Vn+1-而)

Vn+l-v^

n+l-n

=Vn+1—Vn.

故答案为：VH：

(2)原式=(V2-1+V3-V2+V4-V3+-+V2026-V2025)x(1+V2026)

=(V2026-1)x(1+V2026)

=2026-1

=2025；

(3)Vab-2=Vb^T+Vl^b,

Ab-1^0且b-IWO,

解得b=1,

故a-2=0,

解得a=2.

--------1------:---------；---J------；---------