常微分方程-解析方法与数值方法 -习题答案 第4章

习题4参考答案

1.己知三个特解2x,e',x+2。考虑它们的差：eX-2x与(x+2)-2x=-x+

线性无关。设齐次方程的特征根为0,0,1(多项式部分对应零根，指数部分对应

1),特征多项式为户什一1)=丁3一户，故方程为y"1-/=0o

2

2.已知二阶非齐次线性方程的三个特解=1,丫2=x,y3=x0

2

任意两解之差为齐次解：y2-yi=x-l,y3-y1=x-l,它们线性无关，故

齐次通解为CI(X-1)+C2(X2-1)。取特解力=1,则原方程通解为

2

V=Ci(x-1)4-C2(x-1)+lo

设方程为y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)o代入y=1得f(x)=q(x)o代入

y=x得0+p(x)+q(x)x=q(x),即p(x)=q(x)(l-x)0代入y=x?得2+

2xp(x)+x2q(x)=q(x),即2+2xq(x)(l-x)+x2q(x)=q(x),解得q(x)=

涓声P(x)=一六。故方程为

222

-x-Iy+(x-l)2Y=(x-l)2,

或等价地(x-l)2y''-2(x-1)/+2y=2。

3.(1)通解x=qe。+2t对应特征根1,2,特征多项式(r-l)(r-2)=r2-

3r+2,方程为x"-3x'+2x=0。

(2)通解x=Cit+c2t2+C3et对应特征根0(二重)和1,特征多项式於(「一

l)=r3-r2,方程为x'”—x”=0。

⑶通解x=Jsint+c2cost对应特征根士i,特征多项式r2+1=0,方程为

x"+x=0。

222

4.(1)0(x)=cosx—1=—sinx,f2(x)=—cotx=—。

设c1(一siMx)+C2(-cot2x)=0,即Jsin?x+C2冷=0,乘siMx得

42

Jsinx4-c2cosx=0。

取x—0+得c2=0,进而J=0,线性无关。

x

⑵设J♦2x+c2e+c3(x+1)=0。令x=0得c2+c3=0；

xx

求导得2cl+c2e+C3=0,再令x=0得2ct4-c2+c3=0；二阶导c2e=

0o

得c2=0,从而C3=0,J=0,线性无关。

(3)设c/x|+c2x=0o取x>0得(J+c2)x=0=>Ci+c2=0；取xV0得

(—J+c2)x=0=—Ci+c2=0,解得J=c2=0,线性无关。

111

5.(l)W(e\e2\e4x)=ex+2x+4x124=e7x-(2•16+4•1+1-4-(1-

1416

2+4-4+16-l))=6e7x.

costsintcostsint1

l

(2)W(cost,sint©)=-sintcost=e—sintcost1=2e\

—cost—sinte,—cost—sint1

23Inx

(3)W(x2,x3Jnx)=2x3x21/x=-5x2+6x2Inx.

26x-1/x2

6.证：设n阶线性微分算子

d11cjn-1d

L=An。)而+an-i(t)dtn-i+…+al(0+a0(0-

(1)由导数的线性性：*(cx)=C黑，故

\",nd1V^nd'xd'x

L[cx]ai(t)(cx)=ai(t)c

=Zi=odFXi=odF=2曾⑴而r=CL[X].

⑵由导数可加性：奈(Xi+X2)=暮+奈，故

=L[xi]+Mx?].

7.验证解：代入e-t,te-t,t2e-t到x+3x+3x'+x=0。

对■于Xi—e-t：

x/=-e-t,xj=e—t,X1-=_e-t.

代入方程：

(-e-t)+3(e-t)+3(-e-t)4-e-t=-e-t+3e-t-3e-t+e-t=0.

对于X2=te-t：

-t-tu-t-t-t

x2'=e—tex2=-2e+teT,X2'"=3e-te.

代入方程：

(3e-t-te-t)+3(-2e-t+te-t)+3(e-t-te-t)+te-t=0.

对于X3=t2e-t：

-t2_n-t-t2-n-t

X3'=2te-teSx3=2e-4te+te；x3'=-6e+6te

t2e-t.

代入方程：

(-6e-t+6te-t-t2e-t)+3(2e-t-4te-t+t2e-t)+3(2te-t-t2e-t)+

t2e-t=0.

故三个函数均为该方程的解。

8.刘维尔公式：设(yi，…,yQ是方程的解，定义

yi%…%

yi〉2'…

W(x)=det••♦

弁7y”•••谭F

对W(x)求导，由行列式求导法则，只有最后一行的导数项贡献非零(因为其

他行求导后与下一行相同，行列式为0)。故

/y\丫2…%\

♦y♦-i…•♦

W'M=detr*八(二八，z*.

拜一2)y(n-2)…谭-2)

l弁)彦)…谭)/

将最后一行中的y,用方程替换#)=-an-](t)y，D——a0(t)yio代入后，

行列式可分解为n个行列式之和，其中除第一项外，其余各项均有两行成比例,

故为零。因此

yi72%

yi,yi

IV'(x)=-Q7LI(%)det=-an-i(x)lV(x).

，拜7片7

解此一阶微分方程得

W(%)=iy(%0)e%p(一J册_i.

9.方程%'+tx-%=0：已知x1=t,

设x=tu,则父=11+2',x"=2u'+tu"。

代入得2u'+tu"+t(u+tu')—tu=0=＞tu"+(2+t2)u'=Oo令v=if,则

v，+W~2v=O,解得v=Ci-2~2,积分得u=C22+C2。

通解x=Cit+C2tJ=dt(g,C2为任意常数)。

10.证明：

设n阶线性微分算子L=奈+a](t)瘾+…+*(*+aKt),

则n阶非齐次线性微分方程(47)和对应的齐次方程(4-2)可分别写为

L[x]=f(t),L[x]=0.

性质4.1若xi(t)是非齐次方程的解,即L[xi]=f(t)；x2(t)是齐次方程的解，

即L[X2]=0,则L[xt+x2]=L[xJ+L[X2]=f(t)+0=f(t),因此Xi(t)+x2。)也

是非齐次方程的解。

性质4.2若x(t)和文(t)都是非齐次方程的解,BPL[x]=f(t),L[x]=f(t),则

L[x-x]=L[x]-L[xl=f(t)-f(t)=0,因此x(t)-x(t)是齐次方程的解。

11.齐次通解x=Cicost4-C2sint。

非齐次项tsint,设特解Xp=t(At+B)cost+t(Ct+D)sint。代入方程比较系

数得A=-14,B=0,C=0,D=14o故

t2t

x=--cost+-sint.

Dp44

通解x=gcost+CzSint-：cost+：sint(Ci,C2为任意常数)。

12.对应齐次方程xu-2x'+x=0的特征方程於-2r+1=0,二重r=

t

1,齐次通解x=(Ci+C2t)e.非齐次项1+2t+1对=(t+1)2昧与齐次解中

的〃和£/相关，故设特解

22f

xp=t(At+Bt+C)e.

代入方程得

12A=1,24A+6B=0,2A+2B+2c=0.

解得A=A，B=-3,C=：＜＞故特解

JL4O乙

Xp=

r

通解为齐次通解与特解之和：X=xh+Xp=(Cl+C2t)e++gt2)e%

合并含心的项，可改写为x=(Ci+C2t+.t4+#+*)et,(J,C2为任意常

数)。

13.

设ai(t),i=l,2,...,n&u(t),v(t)都是实函数，若x=U(t)+iV(t)是方程富+

ai(t)崇吉+…+a「i(t)*+a*t)x=u(t)+iv(t)的复值解，那么它的实部

U(t)和虚部v(t)分别是方程器+小⑷今2+…+斯_i(t琮+%(g=

四)和亲+%(。焉+…+即一1(1琮+%。)%=〃⑷的解。

证明：定义n阶线性微分算子L=*+a]。)黑+…+a,.，!(t).+

an(t).由于系数aj(t)均为实函数,L将实值函数映为实值函数，且对复值函数满足

线性性：L[U+iV]=L[U]+iL[V].由假设，*=1；+^是方程(4一26)的解，即

L[U+iV]=u(t)+iv(t)o

因此，L[U]+iL[V]=u(t)+iv(t).比较等式两端的实部和虚部(因为L[U]和

L[V]都是实函数),得L[U]=u(t),L[V]=v(t).这意味着U(t)满足方程(4-

27),V(t)满足方程(4-28)。

14.常系数齐次方程通解

(1)x+2x—3x=0：特征方程r24-2r—3=0,根r=1,一3

3t

x=+C2e-(g,C2为任意常数)

(2)x"+x'+5x=0：特征方程於+=+5=0,根==^^,x=

e~t/2(gcos^^t+CzSin^^t)(JC?为任意常数)

2

(3)x+4x=0：特征方程r+4=0,根r=±24x=C^osZt+C2sin(2t)

(Ci，C2为任意常数)

(4)x"+6x"+12x4-8x=0：特征方程(r+2»=0,根r=-2(三重根)，x=

221

(Ci+C2t+C3t)e-(G，C2,C3为任意常数)

(5)x'—4x"4-5x—2x=0：特征方程(r—l)2(r—2)=0,根r=l(二重)

2t

x=get+C2e+C3圮2t(Ci，C2,C3为任意常数)

(6)x"—x4-x-x=0：特征方程(r-l)(r2+1)=0,根r=1,土i,

x=get+C2cost+C3sint(g,C2,C3为任意常数)

15.非齐次方程通解

(1)t2x"+2tx'_3x=0：令x=t「，得r(r—l)+2r—3=r2+r—3=

0,根r=g_14u-\/T,7x=Ci-t1+-VTk3+C2-1t-VT(3C1，C2为任意常数)

(2)t2x"+4x=0：r(r-l)+4=r2-r+4=0,根==^^^,x=

t1/2(Cicos(苧Int)+Czsin(半Int))(JC2为任意常数)

(3)t2x"4-tx'+5x=0：r(r-1)+r+5=r24-5=0,根r=±iGx=

Cxcos(V5Int)IC2sin(VSlnt)(g,Cz为任意常数)

(4)t2x+12tx+8x=0：r(r—1)+12r+8=r24-Hr+8=0,根「=

,f

芍—114迎->RQ,x=Citi1+-V89+C2「—11-V-89(C1，C2为任意常数)

16.高阶方程特解与通解

(1)x"-4x+4x=e2t：特解ye2t,通解x=(g+Czt)e2t+2t(好"?为

任意常数)

(2)x"+8x=(2t+Ije1：特解(9+/)et，通解x=ge-2t+

en2cos(V3t)+C3sin(V3t))+煌+/(C1,COC3为任意常数)

(3)x"+8x=e-2t：特解套e-2t,通解x=gef+e"2cos(V5t)+

C3sin(V3t))+卷e—2t(a，C2,C3为任意常数)

(4)x"+4x+4x=(t2+5)e2t：特解(京2—+段)e%,通解x=(g+

2t2t

C2t)e-+(浮一/t+措)e(Ci，C2为任意常数)

(5)x"+4x'+4x=(t2+5)e-2t：特解佶+^t2je-2t,通解x=(g+

2t

C2t)e-+佶+1t2)e-2t(Ci，C2为任意常数)

(6)x—2x+5x=e^osZt：特解±etsin23通解x=et(C1cos21+

4

C2sin2t)+"etsin2t(Cl，C2为任意常数)

(7)x"-2x+5x=(2t+2)cos2t：特解(-一^)cos21+；sin23通解x=

et(gcos21+C2sin21)+(一gt-：)cos21+[sin2t(C]，C2为任意常数)

(8)x"-2x'+5x=2t+2：特解|t+去通解x=e"icos21+Czsin21)+

+(Ci，C2为任意常数)

(9)x+x=sint+cost：特解g(sint-cost),通解x=g+CzeT+

|(sint—cost)(C],Cz为任意常数)

(10)x"-4x=e^t2+sin2t)：特解t2-t-4-cos21-sin21),

通解X=Ce2t+Ce_2t+el(-1t2--^+^cos21-^sin21)(CC2为

t2\J7Z/t»D03/lf

任意常数)

17.拉普拉斯变换解初值问题

(1)x—2x+x=t—l,x(O)=x(0)=0：

设X(s)=£{x(t)}c对方程取拉普拉斯变换：

£{x”}=s2X(s)-sx(0)-x<0)=s2X(s),

£{x'}=sX(s)-x(0)=sX(s),

£{x}=X(s),

£{tT}W

代入得：

11

s2X—2sX+X=-7—,

s2s

1—s

(S27-2S+1)X=］一,

s

s—1

(s-1)9X=------y-.

sz

故

1

X(s)=-^---------.

vJs2(s-1)

分解为部分分式：

1ABC

---------------=—I------1---------

s2(s-1)ss2s-1'

通分得一1=As(s-1)+B(S-1)+CS2O令s=0得-1=-B=>B=1；令

s=1得一1=CnC=-1：比较s2系数得0=A+CnA=l。所以

111

X(S)=~+-~-----7-

sss—1

反演得

x(t)=14-1—ec.

(2)x"-x=sint,x(0)=x(0)=0：

取拉普拉斯变换：

S2X(S)-X(S)=-y—

sz+1

1

(s92-1)X=,

s'+1

v_1

X=(s2-l)(s2+l),

利用部分分式:

反演得

1

x=sinht——sint

(1)x"-3x+3x—x=t3eSx(0)=x(0)=xr(0)=0：

取拉普拉斯变换:

£{x'}=sX,£{x}=X,

6

=(s-l)41

于是

0c6

(S3-3S2+3S-1)X=-^-^.

而s3-3s2+3s—1=(s—l)3,故

飞6

(ST)3X=E,

6

X=(s-1)7,

反演:

6

(1)t6tt

所以

x(t)=6•——er=——e'

“720120

18.高阶微分方程

(1)箸一；£=。：令u=x"',则u*—ltu=。，解得u=

Cit,积分三次得X=*4+畀2+C3t+C4(C1，C2，C3，C4为任意常数)

(2)§+$=0：$+5=0：令u=x(4),则if+u=0,得u=C1eT,积

分四次得通解x=C+Ct++到3+ce-t(C1，C2,C3,C4,C5为任意常数)

12Zo5

(3)x+3x=0：特征方程产+3a=/。+3)=o,根口=0,屹3=-3。故

通解x=g+C2t+,-叫(g,c2,C3为任意常数)

(4)t2x"+2t2x"-2tx=0：该方程为变系数二阶线性方程。

观察得一个特解xi=t,代入验证：t2-0+2t2•1-2t-t=2t2-2t2=0o

用降阶法，设乂=",则x'=u+tu',x"=21+tu”。

代入原方程：t2(2u,+tu")+2t2(u+tu')-2t(tu)=0,化简得t3u"+(2t2+

2t3)u'=0,B|Jtu"+(2+2t)u'=0o

令v=if,则tv，+(2+2t)v=0,分离变量得?=-(：+2)dt,积分得

-2-2t

InIv|=-2Int—2t+InCj=v=C1te.

于是u'=gtr?e-2t,积分得u=CJ^-dt+C2c

通解x=C1tJ^dt+C2t(Ci，C2,C3为任意常数)

19.金级数法解方程K"，-5tx=0：

设基级数解为

4t)=Z^oantn,

则

n-1

x'(t)=Vnant,

*n=l

n-2

x"(t)=Sn(n—l)ant.

^^n=2

代入原方程：

n-2n

n(n—l)ant—5tant=0.

Zn=2.n=0

第二项化为

nn+1k

5tsant=5yant=5Vak_!t(k=n+1).

=n=0—n=0—k=]

第一一项令k=n-2,则n=k+2,k从0开始:

k

(k+2)(k+l)ak+2t.

J»k=0

于是方程变为

oo

wk=0(k+2)(k+l)3k-5W：M=o.

常数项k=0

2•1-a2=0=a2=0.

k21

(k4-2)(k+l)ak+2-5ak_i=0,

即

5_

—=(k+2)(k+l)k=1,23…

递推关系表明系数以步长3递推，且a2=0导致所有下标为3m+2的系数

为零。初始自由参数为a。和alo

计算前几项：

55

=a=a(J/

k=l：a3§T7o6

55

k=2：==

5

k=3：

%=寸2=。,

555255

k=4：&6=^^3=布・萨。=痂即=花沏，

55525

k=5：37=7^634=42,1231=504^

5

k=6:a8=—a5=0,

因此通解为

/575r25Q\/5A257\

x(t)=a0(l+-f+-f+—t+…)+a*+记t+而t+-),

其中a0,ai为任意常数。该级数在整个实轴上收敛(方程无奇点)。

2。方程%-％=0满足％(0)=0,%(0)=1:设X=£an俨，代入得2n+2=

Hn

初值a。=0,a1=1,