专升本学习资料-高等数学专项讲义：第十章 无穷级数

第十章无穷级数

【考试要求】

1.理解级数收敛、发散的概念.掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质.

2.掌握正项级数的比值审敛法.会用正项级数的比较审敛法.

3.掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性.

4.了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法.

5.了解基级数的概念，收敛半径，收敛区间.

6.了解累级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）.

7.掌握求哥级数的收敛半径、收敛区间的方法.

【考试内容】

一、常数项级数的相关概念

I.常数项级数的定义

一般地，如果给定一个数列出,u2,•••,〃〃，・•・，则由这数列构成的表达式

%+〃2+〃3+•••+/+•••叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为

88

，即=%+〃2+能+,••+〃〃+•••，其中第〃项〃〃叫做级数的一般项•

〃=1"=1

2.常数项级数收敛、发散的概念

作常数项级数2%的前几项和5〃=%+〃2+•••+〃”=Z%，S〃称为级数

n=lf=1

g

的部分和，当几依次取1,2,3,・・•时，它们构成一个新的数列

«=i

S]=%,$2=U\+〃2'邑=+〃2+'•一，

5〃=%+〃2+•••+〃〃，••••

00co

如果级数的部分和数列｛s,J有极限s，即li少s〃=s，则称无穷级数£%

n=\

收敛，这时极限S叫做这级数的和，并写成S=〃1+%+/H-----+MH------或者

88

Z〃“二s；如果｛‘』没有极限，则称无穷级数z〃〃发散.

M=l"=1

3.收敛级数的基本性质

800

(1)如果级数y汉”收敛于和s,则级数也收敛，且其和为抬.一股地，级数

〃=1〃=1

的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变.

00008

(2)如果级数ZY匕分别收敛于和S、b,则级数〃土匕)也收敛，且

“=】n=l〃=1

其和为S±b.

8

(3)在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.

〃二1

8

(4)如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.

n=\

8

(5)如果级数＞〃〃收敛，则它的一般项〃“趋于零，即lim”〃=0.

〃=1,n-r^

说明：此条件称为级数收敛的必要条件.由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim您

w-＞o)

不为零，则级数2一定发散.

n=\

4.儿个重要的常数项级数

(1)等比级数

008

级数=q+12+・・・+，'+・••或£q”=l+q+q2+・・・+1”+・・・

n=\〃=0

称为等比级数或几何级数，其中9叫做级数的公比.其收敛性为：当|同＜1时，级数收敛;

当@21时级数发散.

(2)调和级数

F,1111

级数立=1+一+―十・・・+一+・・・称为调和级数，此级数是一个发散级数.

念〃23n

(3)p级数

8]111

级数——=1H—~H—+••,+~,,•称为〃级数，其中常数〃>0.其

1

n=i2,3，n

收敛性为：当〃>1时，级数收敛；当〃<1时级数发散.

二、正项级数的审敛法

1.比较审敛法

0000

设X/和Z匕都是正项级数，且存在正数N，使当〃2N时有〃“〈匕成立.若

〃=171=1

8889

级数Z匕收敛，则级数X〃〃收敛：如果级数2%发散，则级数2口〃也发散.

”=1n=\〃=17?=1

2.比较审敛法的极限形式

设»>，，和Z匕都是正项级数.

M=l”=1

coco

(1)如果lim%-/,0</<-Ko,口级数2为收敛，则级数收敛;

〃T8p

ynn=\〃=1

•〃,88

(2)如果lim，■=/,0</<-KO,且级数z匕发散，则级数X%发散,

yn〃=1〃=1

说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它

们的一般项作为无穷小的阶.上述结论表明，当〃—8时，如果〃〃是与匕同阶或是二匕匕

O0O0

高阶的无穷小，而级数£匕收敛，则级数收敛；如果"〃是与匕同阶或是比匕低

阶的无穷小，而级数，匕发散，则级数发散.

〃=1〃=1

3.比值审敛法(达朗贝尔判别法)

co

「Un

设为正项级数，如果hm」=p,则当夕<1时级数收敛；夕〉1（或

〃

/»=1

]imj=+co）时级数发散；夕=1时级数可能收敛也可能发散.

U

4.根值审敛法（柯西判别法）

8——

设Z〃〃为正项级数，如果山1157=夕，则当0<1时级数收敛；2>1（或

/?=1

Hm如=-HX））时级数发散；p=1时级数可能收敛也可能发散.

三、交错级数及其审敛法

1.交错级数的概念

所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：

%―4）++••.=।U”,

n=\

8

或-4+%-〃3+“4-…二1），

〃=1

其中%,%，,••都是正数.

2.交错级数的审敛法一莱布尼茨定理

00

如果交错级数£（-1严〃〃满足条件：

“=]

⑴un>uH+i（〃=1,2,3,・・・）；

（2）lim〃〃=0.

8

则级数收敛.

四、绝对收敛与条件收敛

1.绝对收敛与条件收敛

对于一般的级数4+〃2+••・+〃〃+・・・，它的各项为任意实数•如果级数Z〃〃各

M=1

889

项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数Z〃〃绝对收敛；如果级数z〃〃收

n=\w=1

0000CO|

敛，而级数zi〃〃|发散，则称级数Z〃〃条件收敛.洌如，级数2(一1)”|”是绝对

”=i”=1«=i〃

81

收敛级数，而级数£(一I)”“一是条件收敛级数.

念n

88

对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数£〃〃绝对收敛，则级数必定

n=l

CO8

收敛.这说明，对手一般的级数，如果我们用正项级数的审敛法判定级数zi〃“|收

M=17:=!

敛，则此级数一定收敛.这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性

判定问题.

2.重要结论

000O

一般说来，如果级数发散，我们不能断定级数也发散.但是，如果我们

“=iw=i

用比值审敛法或根值审敛法根据lim%a=2>1或=夕>1判定级数

00U8V

80

发散，则我们可以断定级数Z〃〃必定发散(这是因为从。〉1可推知〃—30时

〃=1n=l

不趋于零，从而〃—8时/也不趋于零，因此级数发散).

M=1

五、累级数

(-)函数项级数

1.函数项级数的定义

如果给定一个定义在区间/上的函数列4(x),U2(x),…，・・・，则由

这函数列构成的表达式％(X)+%(x)+%(x)+…+〃〃(x)+…=(幻称

n=l

为定义在/上的函数项无穷级数，简称函数项级数.

2.收敛域、发散域、和函数

g

对于每一个确定的值X。£/，函数项级数Z"〃（X）成为常数项级数

«=|

%（毛）+〃2（/）+〃3（/）+…+〃〃（％）+••••

8

如果该常数项级数收敛，就称点X。是函数项级数2%（X）的收敛点；如果该常数顶级数

〃=1

发散，就称点七是发散点.函数项级数的收敛点的全体称为收敛域，发散点的

n=l

全体称为发散域.

对应于收敛域内的任意一个常数X,函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一

确定的和S.这样，在收敛域上，函数项级数的和是X的函数s（x）,通常称s（x）为函数

项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成

s（x）=（X）+U2（x）+（X）-----〃〃（X）+,••.

（二）幕级数及其收敛性

1.累级数的定义

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是基函数的函数项级数，即所谓嘉级

数，形式为

8

ax，12n

Zn=《）+qx+ci2x+—Fanx+•••,

n=0

其中常数。0，4，•••，。〃，・••叫做幕级数的系数.

2.阿贝尔定理

如果级数当X=X（）（毛工0）时收敛，则适合不等式|x|<|玉）］的一切X使

〃二0

8

这暴级数绝对收敛.反之，如果级数当X=Ko时发散，则适合不等式|x|>ko|

”=0

的一切X使这嘉级数发散.

由上述定理可以推出，如果幕级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个

n=0

数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得当时，暴级数绝对收敛；当

x>/?时，暴级数发散；当X=R或X=-R时，暴级数可能收敛也可能发散.正数R

叫做暴级数的收敛半径，升区间（-R,R）叫做哥级数的收敛区间.

3.求收敛半径及收敛区间的方法

0000

（1）对于标准形式的辕级数或£。“尢〃，有如下方法：

〃=0〃=1

如果lim-n夕，其中。〃、。〃+1是基级数£。〃工”的相邻两项的系数，则这哥

F%|-o

*

—,P。。

P

级数的收敛半径R=（+8,p=o

0,p-+00

8882〃8（x_]]〃

（2）对于非标准形式的累级数或Z〃〃（X）（如£一一或Z'一：），

/i=0n=ln=0〃!〃=0"2

方法如下：令lim<1,得到x的范围，然后再求工的两个边界值所对应的常

…un（x）

数项级数的敛散性即可.

（三）鬲级数的和函数

1.幕级数和函数的性质

8

性质1累级数的和函数s（x）在其收敛域/上连续.

〃二0

8

性质2累级数Zqd"的和函数s（x）在其收敛域/上可积，并有逐项积分公式

〃=0

£'s{x}dx=£'dx=身]:aRdx=<XG/）,

逐项积分后所得到的某级数和原来的基级数有相同的收敛半径.

co

性质3鼎级数的和函数s（x）在其收敛区间（-R，R）内可导，并有逐项求导公

〃二0

式

s'(x)=

\/:=0)n=0n=l

逐项求导后所得到的幕级数和原来的塞级数有相同的收敛半径.

2.累级数和函数的求法一先导后积”或“先积后导”)

xn

当塞级数的一般项形如----------时，可用先求导后求积分的方法求其和困数；当塞级

〃(〃+1)

数的一般项形如(2〃+1)工2"、等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数.

3.常用的哥级数展开式

|8

n=2

(1)=):X14~X+%+•,,+X”+,••,—1<X<1；

1一X〃力

1②

(2)——=£(一心〃=~+工2—…+(-1)3+…，-1<X<1.

1+xn=0

【典型例题】

【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性.

001

2

〃=|\]4n-1

______

因理?18]

lim-----n-----=一，而调和级数＞一

=lim发散，故原级数发散.

〃一>00I〃一>814n2-12仁n

n

000

2.V----产.

一«

3

»1

解:因lim犬一品

=lim1J”?3,而级数>—是收敛的〃级数，故原级

〃->g|"TOOn7n

数收敛.

S3〃

3.〉----

£5〃-2n

3"

5”一2n3〃5〃

解：因lim=lim————=1,而级数是收敛的等比级数,

〃一>8

门丫…5〃一2〃3〃a«=il7

5；

故原级数收敛.

②1

4.Vsin—.

“=】几

.1

sin-s]

解：因lim--^=1,而调和级数£一发散，故原级数发散.

n

00

-Eo-

”=i

।1

1-C0S—

181

解：因lim——---一，而级数£二是收敛的P级数，故原级数收敛.

〃->8I2n=l犷

8c_

Z7T

6.),一tan—.

”=3〃几

271271

—tan------1

/?n

解：因lim==24，而级数Zr是收敛的〃级数,故原级数

勿―>81n-»oc|

收敛.

s〃+2

7.〉—--------

士“(7+1)

〃+2

〃+23।61

解：因limlvim----------n=1,而级数是收敛的p级数,

〃―>81+1)〃

故原级数收敛.

001

n

〃=1]+a

11

解：当。=1时,lim-------=rhm—=—wn0,故原级数发散;

，1

"T8]+a22

lim—-=lim」一=1工0,故原级数发散;

当0＜。＜1时,

“网1十"＞8］十0

1

81

«1•1+an―

当。>1时，因hm，「=hm1,而级数2七■是收敛的等比级数，故

〃->8]〃->8

1+优n=ia

原级数收敛.

【例10-2］利用比值审敛法判别下列级数的敛散性.

Q5+1)!

n=l乙

(77+2)!

2"+i2〃〃+2

解：因limlim--------=00,故原级数发散.

〃一＞8(〃+1)!…2什|(〃+1)!2

~T~

2.

〃=i

5+1)2

(〃+1)23〃1।

解：因hm—2。=lim—=-<1,故原级数收敛.

〃f3〃一/r3

3"

8

-Z1-3.5・・・一(2/7-1)

n=l3〃•加

1-3-5......(2H-1)-(2M+1)

向・(〃+〃

r3l)!..2+121

解：因〃里1.3-5.....(2/?-l)lim---------=一＜1,故原级数收敛.

83(〃+1)3

3〃•加

4.)——.

£n\

5+1)!10n+I/?!

解：因limlim=0<1,故原级数收敛.

10〃ns(〃+1)!10〃

82/7-1

n=lT

2〃+1

2〃+12〃1।

解：因lim/~~-=lim-------=一＜1,故原级数收敛.

〃f82〃-1〃-＞82,,+l2n-12

X

00_

2.冗

nsin—.

En=\乙

2.兀71

nsin——

2”1yl

解：因lim=\im^—=7r,故原级数与级数敛散性相同.

…1〃=i

n2~

2"2"

5+1)2

oo2

2,,+1理答故级数穿收

对于级数＞—,因lim

J2〃〃*n2

2〃

敛，所以原级数也收敛.

【例10-3］利用根值审敛法判别下列级数的敛散性.

I22+(-1)〃

2n

n=l

1l|n|2+(-l)M]1।

解:=hm—e”=一<1,故原级数收敛.

n-xc22

«i

2.y-------------

——5------=lim—!—

解：lim《"=lim«=0<1,故原级数收敛.

〃>8、"n>oo\[[ln(l+〃)]〃〃"]”(1+n)

【例10-4］判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛.

X1

1.之(T尸了

n=\7n

81

解：因级数2（一1）"7发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足

〃=1y/n

11「1八

u=-^>.——=U.,且hm—7==0,所以原级数收敛且为条件收敛.

n4n+\…yjn

力।

2.

00181

解：因级数£（一1）’1七二£二收敛，所以原级数绝对收敛.

n

3.f(-1产

71=1/?4-1

解：因lim（-l）向一一不存在，故原级数发散.

7Z+1

白1.n7T

4.〉一sin——

92〃7

।«1

H7T<—,而级数>—是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级

解：—sin

~72〃0n

2"n=l乙

co.H7T

数sin——收敛，故原级数绝对收敛.

X2-"7

【例10-5]求下列幕级数的收敛半径和收敛域.

X

n

1

所以收敛半径R=」-=l,故收敛区间为

解:因夕=lim1t=lim=1,

n-»ocfiA->OC1

—P

n

（-1,1）.又当x=-l时.，原级数即为£（一一），发散；当x=l时，原级数即为

急n

8]

2（-1）"'一，收敛，故原级数的收敛域为（一UL

解：因==lim>^与上=lim」一二0,所以收敛半径R二+«,故

“feeI口”->«：1〃—>8〃+]

n\

级数的收敛域为（-8,+8）.

3.£〃!冗"

n=0

5+1）!n八

解：因夕二lim=lim------=+o）,所以收敛半径R=（）,即级数仅在点

〃一>8X，m

x=0处收敛.

002n

——X

〃=|+1

「2(r+1)c

解：因夕=lim=lim=lim——―=2,所以收敛半径

〃一>8

an2〃…(〃+1)~+1

/+1

11,11、iS（T）

Rn=-=-,故收敛区间为（一一,-）•又当x=一—时，原级数即为〉——，收

p2222

敛；当工=一1时，原级数即为8£二1一，收敛，故原级数的收敛域为［一1一1

2念〃~+122

【例10-6］求下列累级数的收敛域.

v(x-ir

〃=i〃,2

解：这是非标准形式的转级数，我们用比值审敛法.

d产

(〃+1)•2向X-1I।

令lim-----L<1,则x-l<2,故当一1cx<3时级数收敛,

n->oc(D"2

n-2n

00（―ly1

当x<-l或x>3时级数发散.当工二一1时，原级数即为""L,收敛；当x=3

91

时，原级数即为£一，发散.因此原级数的收敛域为［-1,3）.

〃=|n

oo2〃+1

2.y(-ir--

£2/2+1

解：这是非标准形式的累级数，我们用比值审敛法.

2"+3

(-1严二

2〃+3

令lim=X2<1,则当一1<X<1时级数收敛，当X<-1或/>1

〃一>82〃+】

(-1)〃J

2/7+1

1I

时级数发散.当工二一1对，原级数即为-------,收敛；当X=1时，原级

2〃+1

8］

数即为£（一1）“-------，也收敛.因此原级数的收敛域为［—1,1］.

念2及+1

【例10-7］求下列界级数的和函数.

n=\

解：先求幕级数的收敛域.

人「5+1)工”

=|x|<L可得收敛区间为（-1,1）.当工二-1时，原级数即为

令lim------/-/—I-

“T817Y

88

Z（T）〃〃,发散；当尢=1时，原级数即为也发散.因此原级数的收敛域为

M=1n=\

(-1,1).

8

再求和函数.设和函数s(x)=,则

H=1

8"v-1

s(x)=£(x")'=(£x")'=(7^)'=/1_.，X£(-1,1).

〃=1”=i1—x(1—x)

82/J-1

3WFV

解：先求累级数的收敛域.

2〃+1

(-ir—

2〃+12

令lim=X<1，可得收敛区间为（一1,1）.当入一二一1时，原级数即

〃2/1

T8/J-14

(-1)

2n-1

为£(-1)〃181

-------，收敛;当X=1时，原级数即为£（一1）“7------,也收敛.因

«=i2/2-1n=\2/7-1

此原级数的收敛域为[-L1].

f/1一

厂

再求和函数.设和函数s（x）=Z（—l）J------,则

71=12/1-1

s'(JV)=£(_1)〃7工2»2=1_工2+])〃T*2〃-2+1

1+X2

n=l

1

故s(x)==[arctanxY=arctanJ:,

J。,—LL」U

K1

3.Y-------------Xn+{

解：先求幕级数的收敛域.

(〃+1)(〃+2：户

令lim=|^|<1,可得收敛区间为(一1,1).当x=-l时，原

nfe]尤加

n(n+l)

8[8]

级数即为>(-1)/,+,------，收敛；当X=1时，原级数即为>----------,也收敛.因

士n(n+\)£〃(〃+1)

此原级数的收敛域为

«1

再求和函数.设和函数s(x)=£-------£向，XG(-1,1),则

“口十1)

co000C1

11V—,

s'(X)=E------X,/J+l

〃(鹿+1)〃=1

8100181

"(幻=(£-xwy==(尸=

n=\〃n=\〃〃=11—%

故s'(x)=£—dx=[-\n(i-x)]；=-ln(l-x),

o1X

5(x)=£[-ln(l-x)]6tr=(l-x)ln(l-x)+x,XG[-1,1).

8]111

当x=l时，原级数即为，---------，令%=—+——+・・・+----------

71(/7+1)1-22-3〃(〃+1)

则与=1」+—.」，=1,

22334a/2+1〃+1

1

所以s(l)=lims“)=1,故原某级数的和函数为

〃一>8Af872+1

1,X=\

s(x)=

(1-x)ln(l-x)+x,-1<%<1

8

4.+-

n=\

解：先求哥级数的收敛域.

「（〃+1）（〃+2）£川1/一、1

令lim---------------=x<1,可得收敛区间为（-1,1）.当工=一1时，原级

“T8n（/2+l）x〃

88

数即为Z（T）=（〃+1）,发散；当冗=1时,原级数即为〉:几（几+1），也发散.因

n=l〃=1

此原级数的收敛域为（-1』）.

0

再求和函数.设和函数5（x）=£〃（〃+1）£'，则

n=\

5(X)=+D(X〃)'=X在(A："”)"二)"

n=\”=1M=1"=1

z『\n「2x—x-i，2x

=x(----)=x[-------]=-----r,^e(-U).

1-X(I)?(1-X)3

【例10・8】将下列函数展开成相应的幕级数.

1.将函数/（X）=F-------展开成关于X的幕级数.

—3x+2

乙、1-(—-----—)=--------!—

解：/(%)=---------------

(X-DU-2)冗-1x-2\-x2(1_^)

18

而——=>x"(X<1),即|x|<2),

1-x勺

2

所以/（工）=£/一；2Jx"=£（l-点）"N<L

n=0乙n=0乙n=0乙

2.将函数/（x）=­—!---展开成关于（x+4）的幕级数.

x+3x+2

]_11_]]

解：fM=

(x+l)(x+2)x+1x+2—3+(x+4)—2+(x+4)

1-1-------1---1--1--------

31x+42]x+4

i------------1---------------------

18

因—=yy*(-i<x<i),

l-x占

11八〃.X+4.

故----------=y—(x+4)"(-1<----<1即-7<¥<-1),

1%+4占3“3

3

I1......x+4/_

----=2^—(x+4)1(-1<<1即-6<x<-2),

]_x+4,l=02"2

2

[8|[00]

从而(x+4r+-^—(%+4),,

J,7-0JL〃-oL

811

=£(宏7-前)(工+4)”,-6<x<-2.

n=Q乙3

【历年真题】

一、选择题

00

i.（2010年，1分）lim〃〃=（）是级数收敛的条件（）

〃一＞8

n=\

（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）不确定

8

解：根据收敛级数的性质，lim〃“=0是级数收敛的必要条件.选项（A）正确.

〃一＞8

〃二1

83+(—1)]

2.(2009年，1分）累级数z的收敛半径是（)

"=1

3

(A)6(B)—(O3(D)一

23

、xxX

解：原哥级数即为+,由一41及一一<1可得,,43,故

〃=i33

级数的收敛半径为3,选项（C）正确.

3.（2008年，3分）数项级数in（。为常数）是（）级数

〃=1

（A）发散的（B）条件收敛（C）绝对收敛<D）敛散性由。确定

同

=sin〃<

解：因y,而级数收敛，故原级数绝对收敛.选项（C）正确.

nn

8Q

4.（2007年，3分）数项级数£（-l）〃[l—COS-]（其中。为常数）是（）

〃=1n

（A）发散的（B）条件收敛（C）收敛性根据。确定（D）绝对收敛

解：级数Z（T）Tl—cos-]加绝对值后的级数为X（l—cos-）,对于此正项级数,

n=\〃n=l〃

,a1a2

1-COS-....7281

..77..2Z7~Cl1

由于hm——「Z=hm=—为常数，而级数〉」r收敛，故级数

…1-12官伍

£（1-COS—）也收敛，所以原级数绝对收敛.选项（D）正确.

”=]n

5.（2005年，3分）哥级数1（-1）1---二的收敛区间是（）

念n

（A）（0,2]（B）（-1,1]（C）[-2,0]（D）（-00,4-00）

zi(^-ir+,

IFlv+------

〃向(x)〃+1

解：令lim=lim=W-1]<1可得，0<x<2,

〃T8%(x)…d)〃

(T)------

n

81

故级数的收敛区间为（0,2）.又当x=0时，原级数即为£一，发散；当x=2时，原

n=\〃

.、1

级数即为2（一1）"一，收敛，故原级数的收敛域为（0,2].选项（A）正确.

二、填空题

1.（2010年，2分）基级数工一的收敛区间为________

〃=in\

1

故R=」-=+8,所以原

解：因夕=lim=lim---=0，

n-xx）|…+]

nP

nl

塞级数的收敛区间为（-8,+8）.

2.（2006年，2分）函数/（X）-------在X=1处展开的泰勒级数是

1+2x

1（八〃〃乙//、1111

解：因1-----=2（-1）X，故~_--=T------5--------

工_]）

1+xw=ol+2x3+2（x—1）3]+2（

]828/oy*o

=zZ（—l）”片（xT）r=ZM-（xT）〃・其中,-1<-（X-1）<L即

Jn=0Jn=0J3

81

3.（2006年，2分）'辕级数2（一1）〃——7（x