2025年浙江省高考数学试题及答案

2025年浙江省高考数学真题及答案解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.(1+5步的虚部为()

A.-1B.0C.1D.6

2.设全集0=卜,为小于9的正整数},集合力=卜,3,5},则降力中元素个数为()

A.0B.3C.5D.8

3.若双曲线C的虚轴长为实轴长的V7倍，则C的离心率为()

A.V2B.2C.V7D.272

4.若点(%0)(a>0)是函数y=2tan(x的图象的一个对称中心，则a的最小值为

()

A.30°B.60°C.90°D.135°

5.设/⑺是定义在A上且周期为2的偶函数，当2«x43时，/(x)=5-2x,则/(一3二

()

1111

A.一一B.一一C.-I).-

2442

6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视

风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中

船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、

名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船

速对•应的向显如图2(风速的大小和向景的大小相同，单位：，〃/3)，则真风为()

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

等级风速大小名称

21.1-3.3轻风

33.4〜5.4微分

45.5〜7.9和风

58.0-10.1劲风

22

7.若圆/+（y+2）=r（r>0）上到直线y=Jlr+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的

取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,3）C.（3,-boo）【）.（0,+8）

8.若实数x,y,z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能是

（）

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有

选错的得0分.

9.在正三棱柱49C-44G中，D为BC中点、,则（）

A.AD_LA}CB.■平面

C.AD//D.CC,//平面AA}D

10.设抛物线C：V=6x的焦点为尸，过尸的直线交C于/、8两点，过4点作垂线交准

线于。点，过/且垂直于的直线交/：x=—之于E点，则（）

2

A.\AC\=\AF\B.\AE\=\AB\C.I>6I）.\AE\]BE\>\^

11.已知&44c的面积为L，若cos24+cos2B+2sinC=2,cosJcossinC=—,则

44

（）

A.sinC=sin2J+sin2^B.AC2+BC2=3

C.AB=41D.sin+sin5

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若直线y=2x+5是曲线y=/+x+。的切线，则a=.

13.若一个正项等比数列的前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比

为.

14.一个箱子里有5个球，分别以1〜5标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数

为X,贝|JE(X)=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.(13分)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机点调

查了1000人，得到如下的列联表:

正常不正常合计

患该疾病20180200

未患该疾病78020800

合计8002001000

(1)记超声波检查结果不正常者患有该疾病的概率为〃，求〃的估计值；

(2)根据小概率值0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

2

rz.,n(ad-bc)尸(/2A)0.0500.0100.001

bw；y*=---------------------------------------------------------

4s+b\c+d)m++d)k|3.8416.63510.828

16.(15分)设数列｛aj满足q=3,冬旦=4+7!~1.

nn4-1n(ti+1)

(1)证明：数列｛〃%｝为等差数列；

(2)给定正整数机，设/(工)=空+电/+…+4产，求/'(一2).

17.(15分)如图所示的四棱锥。一力8。。中，PA1Jg®ABCD,BC〃AD,ABIAD.

(1)证明：平面以B_L平面以。；

(2)若R4=4B=亚,力。=0+1,BC=2,P,8,C,。在同一个球面上，设该球

面的球心为。.

(i)证明：。在平面力8C。上；

(ii)求直线4C与直线PO所成角的余弦值.

222万

18.（17分）已知椭圆。：夕+a=1（。>6>0）的离心率为个一，椭圆下顶点为力，右顶

点为3,»叫=丽.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动点P不在丁轴上，点H在射线力尸上，且满足|/R|・|/P|=3.

（i）设点尸（〃7,〃），求点火的坐标（用〃7,“表示）；

（ii）设O为坐标原点，〃是椭圆。上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3

倍，求归闸的最大值.

19.（17分）设函数/（x）=5cosx—cos5x.

<1）求/（》）在0，；的最大值；

（2）给定。£（0,不），aeR,证明：存在y£,使得cosyWcosO：

（3）设若存在°£R使得5cosx-cos（5x+o）w6对火恒成立，求6的最小

值.

答案解析

一、选择题

1.C解析：。+5。/=一5+".・・(l+5i)z的虚部为1.

2.C解析：由题意可得｛1,2,34567,8｝,则口力二｛2,46,7,8｝中元素个数为5.

解析：由题知26="x2。，・・・2=0'，则双曲线离心率0二£=1+1二2后.

解析：y=tanx的对称中心为—,Oj,Z:eZ,/.^=2tan|^x的对称中心为

-----1---,()],攵£Z,Q=+工,左£Z,又。>0,Q的最小值为生.

123J233

6.A解析：由题意可得：真风风速二视风风速+船速，由题知，视风风速=(-3,-1),

丽二(1,3),:.真风风速=(-2,2),工真风风速=2五£(1.1,3.3),为轻风.

7.B解析：由题知圆心C(0,-2),半径为〃，圆心C到直线的距

离仁"卜2)+2|=2,.••要使圆。上到直线少

的距熟为1的点有且仅有2个，则1<尸<3.

8.B解析：令2+log2x=3+log3y=5+logsz=〃，则X=2"2,y=3A-3,z=5"’,

取特殊值，当k=5时，y>x>z；当左=4时，x>y>z,当〃=10时，z>y>x­,

当4=8时，y>z>x.

二、多项选择题

10.ACD解析：由题知：呜，0)，由抛物线的定义知力。二力/，A正确;

AB>2/?=6,C正确;

3

令=+/（芭，必）,8卜,外），

x=my+—,

联立｛2,整理得_/-6〃少-9=0,

,2=6%

，%+%=6团，%+必=-9,则芭+/="?(必+丁2)+3=6〃/+3,

332

/.AB=x1-^—+x2+—=6m+6,

当机=0时，AB=6,EF=3,此时£尸工48,・・.B错;

I2)

此时/E=BE=3后，|/同•忸目=18,

12/o\/

当〃2。0时，EF：x=----y+—，E——,3/7?,EF=,9+9〃尸，

m2v2)

2

SERB=；4E・BEsm/4EB=；(6m+639+9〃/>9,

1Q

AEBE>------------>18,综上，4EBEN18,D正确.

sinZ.AEB

11.ACD解析：由cos2A+cosIB+cos2C=2可得：

l-2sin2j4-l-2sin25+2sinC=2,，sin?Z+sin?8=sinC,A正确;

Vsin2J+sin25=sinC=sin(/4+^)=sinAcosB+cosAsinB，

:.sin^(sinA-cos4-sin^(sinB-cos^)=0,

A>--B

：cos/cosBsinC=2，I.4,3为锐角，若4+B>巴,贝人2

42

B>--A

2

1.A+B=-,：.B=--A,C=-

22

VcosAcos5sinC=-,/.sinAcosA=—:.sin24=—

442

jrjrj7FA/6—V2

不妨设24=巴,则4=二，B=—.^A

61212~1~b=c4

c=V2,AC正确:

sin4+sin8=^^+^^=・・.D正确;

442

AC2+BC2=2,・・・B错误.

三、填空题

ex0+1=2

12.4解析：设切点产自,。"+.q+Q),f\x)=ex+1,/.，解得

x

2x0+5=e°++a

x=0

n,：,a=4.

a=4

13.±2解析：由题意知qwl,则$4=疝二Q）=4,1=*-"）=68,

\-q\~q

两式相除得上M=竺，即丘戈普5=17,解得/=16,・••]=±2.

1-6/41-</

13.—解析：依题意，X的可能取值为1,2,3,总的选取可能数为9=125,

25

%=1：三次抽取同一球，选择求的编号有5种方式，故尸（X=l）="-=」-；

X=2：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），

选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，

其中选取出现一次球的位置有3种肯能，故事件X=2的可能情况有5x4x3=60种，

,...6012

故产（¥=2）=——=—；

12525

X=3：三种不同球被取出，由排列数可知事件X=3的可能情况有5x4x3=60种，

八/__6012

故尸（X=2）=——二一；

12525

.「人、11012cl261

•・E（X）=\x—+2x—+3x—=—.

725252525

四、解答题

15.解：（1）根据表格可知，检查结果不正常的20（）人中有180人患病，・・・p的估计值为

180_9

200"To'

（2）零假设为“0：差声波检查结果与患病无关,

1000x(20x20-780x180)2

根据表中数据可得:=765.625>10.828=x,

800x200x800x2000001

根据小概率值a=0.001的力2独立性检验，我们推断”。不成立，即认为超声波检查结果

与患该病有关，该判断犯错误的概率不超过0.001.

16.解：(1)・.・&±=气+/11V•••(〃+1,用+即(〃+1"+1一〃%=1，

nn4-1队〃+1;

••・{〃%}是以q=3为首项，1为公差的等差数列.

2

(2)由(1)可得〃%=3+〃+2,/.a=1+—,

nn

在/(%)=+…+*d"'中，A(x)=3x4-2x2+•••+1+—,

则/<x)=3+4x+…+(〃?+2)x”i,

./'(x)=3+4x+…+(加+2&用

•'=3x+十•••十(〃？+2)xn,

当xwl且xwO时，

(1-x)r(x)=3+x+f+…+x"J(〃z+2)xm=3+W®+2)xn',

\-x

3x(l-xw,-1)(m+2)xm

-x(1—x)"1-x

3(〃?+2)(2了_7(3/»+7X-2)w

-r(x))

1-(-2+[l-(-2)]21-(-2)-99

17.解：(1)在四棱锥产一.43CZ)中，玄_L底面43c。，ABLAD,u平面力BCD,

/。(=平面488,AAPIAB,APIAD,

•••力尸u平面RIO,,4Qu平面为。，APC\AD=A,：.AB,

ABu平面以8,，平面PAB1平面PAD.

(2)(i)・・・P,8,C,0在同一个球面上，，球心到四个点的距离相等,

在\BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心,

作出8c和CO的垂直平分线，如图所示，

由几何知识得，

0}E=AB=V2,BE=CE=A0]=G0]=BC=1OQ=AD-AO]=6

⑻

BOi=CO]="+=A/3,

/.0{D=BO】=CO],点a是bBCD的外心，

在R/A4OP中，APIAD,AP=g,

由勾股定理得，

22

PO{=yjAP+AO^=V（V2）+『二6

・•・PO、=BO、=CO、=O、D=6,

/.点Q即为点P,B,C,D所在球的球心O,

此时点。在线段力。上，力。u平面4BCO,・・・。在平面48CQ上.

（ii）由几何知识得，PO=BVABVAD,BC//AD,:,ABIBC,

在用AJ8C中，AB=6,BC=2,由勾股定理得,

AC=ylAB2+BC2=4V2)2+22=娓，

过点。作AC的平行线，交的延长线于G，

连接力G，/则OG=/c=遥，

直线力。与直线PO所成角即为APOG中NPOG或其补角.

•••玄JL底面力8CO,力。1匚平面/8。。，PAC\AC}=A,/.PALAC.,

在R/AJ5G中，AB=4i,BC}=BC+CC,=2+1=3,

由勾股定理得，PC,=^PA2+BC^=J（⑻+（而=V13,

2

在△尸OG中，由余弦定理得PC；=PO+OC；-2PO-OC}cos/POCi，

2

即函]=（V3）+（逐J一26x遥cos4POG，解得cosZPOC1=--

・•・直线AC与直线P。所成角的余弦值为|cosNPOG|二t

yja2+h2=VTo

e=—=2®，解得a2=9,b2=\,c2=8,

18.解：（1）由题知，力（0,-力），夙。,0）,・・・・

a3

c2=a2-b2

故椭圆C的标准方程为：—+/=1.

9.

(2)(i)设R(Xo，%),易知小工0,故‘°.1=空^,且〃7%>0.

mx0m

•・•4(0,—1),,以力。|=3,・•・1焉+(儿+1)2.J〃J+(〃+l)2=3,

3〃?〃+2-"-n

解得/二

x()m=3,m2+(〃+1]‘°〃/+(〃+[/

I加；

n+2-m~-n~

••・点R的坐标为（―汗

〃厂+（〃+1）-m2+(〃+1)2

n+2-m2-n~

、7nr+1/7+1)2n+2-m2-n2

).k=-------4---------=-------------------k=—,由k=3kp,可得

nii3m3〃？OPin()Ro

nr+\n+1)2

3〃n+2-m2-n2

---=-------------------化简得：加2+〃2+8〃-2=0,即加2+（〃+4）2=18（加工0）,

m3m

・••点尸在以N(0,-4)为圆心，3人为半径的圆上(除去两个点)，

\PM\为M到圆心N的距离加上半径，

IImax

法一：设M(3cos夕,sin。)，

A|MJV|~=(3cos^)2+(sinO+4)2=9cos26+sin?6+8sin0+16,

=8cos2O+l+8sin9+16=-8sin26+8sin。+25=一8(sin8-g)+27W27,

当且仅当sine=g时取等号，,PMmax=a+3&=3(百+收).

法二：设M&WJM)，则率+yj=l,

2

|MV『=xj+(yw+4》=-8yj+8yM+25=-8y-；

M+27<27,

\2)

当且仅当=L时取等号，

故归“Lax=4+3五=3（73+V2）.

19.解：(1)f'(x)二一5sinx+5sin5x=-5sin(3x-2x)+5sin(3x+2x)=10cos3xsin2x.

xe0,—，故2x