北师大九年级数学下册-专项02 三角函数的实际应用

专项02三角函数的实际应用

类型一单直角三角形

1.（2023吉林乾安二模）台灯是生活中常见物品，图1是一个台灯的实物图，图2是其侧面示

意图.台灯的双轴灯臂AB=9cm,AC=37cm,通过调节灯臂AC的倾斜角度NCAC可以改变台

灯的照明位置，已知AB垂直于底座，4CAC=23。，求灯臂顶端C到底座的距离（结果精确到

1cm).(参考数据:sin23cM).39,cos23o^0.92,tan23吐0.42)

图1图2

类型一“背靠式”

2.（2023内蒙古通辽中考）如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东72。方向,距离灯塔100nmile

的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40。方向上的B处.这时,

B处距离灯塔P有多远（结果取整数）?（参考数据：sin72。砌.95,cos72°^0.31,tan72°~3.08,

sin40°~0.64,cos40°~0.77,tan40°~0.84)

3.（2023天津河东二模）某数学兴趣小组利用所学的锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河

流宽度.他们先在河岸设立A,B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点C.测得

AB=260m,zCAB=35°,«BA=75。.请你根据测得的数据，求出这段河流的宽度（结果取整

数）.参考数据：tan350yo.70,tan75%3.73.

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类型三“母抱子”型

4.（2023重庆渝中二模）超速行驶是引发交通事故的主要原因，如图所示,MN是一条直线路段，

限速60千米/时，交警在该路段附近设立了观测点P,这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶,

测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒，已知4PAB=30。，4PBN=53。，AP=180米.

（1）求A、B之间的路程；（参考数据：V3-1.7,sin53°~0.8,cos53°~0.6,tan53°^）

⑵此车是否超速了？请说明理由.

类型四“互拥抱”型

5.（2023河南许昌二模）如图所小，一梯子AC斜靠着墙0D,梯子与地面夹角为45。.若梯子底

端A向右水平移动1m至点B,梯子顶端随之向上移动至点D,此时z_DBO=a,0B=2m,

求CD的长度.（用含a的式子表示）

类型五“斜截”型

6.（2023山西阳泉二模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来

越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之•.如图所示的是•个新建的地下停车场的设计

示意图，已知坡道AB的坡比i=l：2.4,AC1CD,DH1AB,AC的长为7.2米，CD的长为0.4

米按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根

据所给数据，确定该停车场入口的限高，即DH的长为多少.

C.4

______

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类型六“其他”型

7.某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD,如图所示，一架水平飞行的无人机

在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为a,无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B

处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30。.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点

M、C、D在同一条直线上.其中tana=2,MC=50百米.则河流的宽度CD=米（结果精

确到1米，参考数据：V2-1.41,V3-1.73）.

至7、30°

8.（2023湖南常德中考）今年“五一”小长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在

如图1的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考

考同学小余.小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）.在图2中，已知四边

形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，AEBC是等腰三角形且BC=CE,

ZFBA=114.2°,靠背FC=57cn支架AN=43cm,扶手的一部分BE=16.4cm.这时她问小余同

学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结

果保留一位小数）.（参考数据：sin65.8%0.91,cos65.8o^0.41,tan65.8O~2.23）

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专项02三角函数的实际应用

答案全解全析

1.解析过点C作CE1BD于点E,过点C作CF1BC于点F,

••・AB垂直于底座，CE1BE,CF_LBC,.•・四边形FBEC是矩形,

・・・CE=FB,在RtZkACF中，-.AC=37cm,4CAF=23。，cos/CAF吟

AC

.•.AF=ACcosZ.CAF=37><cos230-37><0.92=34.04（cm）,

...CE=BF=AB+AF=9+34.04~43(cm).

答：灯臂顶端C到底座的距离约为46cm.

2.解析如图：

由题意得PCLAB,EFHAB,

.-.zA=zEPA=72°,ZB=ZBPF=4O°,

在RtZkAPC中，AP=100海里,

.-.PC=APsin72。力00x0.95=95（海里），

OS

在Rt^BCP中，BP』不"旋了148（海里），

・•.B处距离灯塔P约有148海里.

3.解析过点C作CD_LAB,垂足为D,在Rt^ACD、RtZkBCD中,

CD—ACDA、CDCDCDD~BCDCDCD

vtanZCAB^,tanZCBA=—•.・AD==加"^=MT73

CDCD

.，：AD+DB=AB,—+y^=260.

.,.CD-153(m).

答：这段河流的宽度约为153m.

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35c75；.

I）B

4.解析（1）如图，过点P作PCLMN于C,

在RtzXAPC中，AP=180米，4PAe=30。，

•••PCHAP=90（米），AC=^AP=90件153（米），

pr

在Rt^BPC中，PC=90米，/PBC=53。，.,.BC=^^67.5（米）,

••.AB=AC-BC=153-67.5=85.5（米）.

答：A、B之间的路程约为85.5米.

⑵超速了.理由：・「A、B之间的路程为85.5米，汽车所用的时间为5秒，.•・汽车经过AB的速

度为85.5+5=17.1（米/秒）=61.56（千米/时）,

由于61.56>60,因此超速了.

5.解析由题意得DCLLAO,AB=1m,

vOB=2m,.-.AO=AB+OB=3m,

在Rt^ACO中，zCAO-45°,

.-.OC=AOtan45°=3（m）,

在RtZkOBD中，zDBO=a,

.•.OD=OBtana=2tana（米），

•,.CD=OD-OC=（2tana-3）m,

.-.CD的长度为（2tana-3）m.

6.解析延长CD交AB于E,如图:

,・嗷道AB的坡比i=l：2.4,

•••AC=7.2米，.,.CE=3米，

•・・CD=0.4米,・・・DE=2.6米,

vDHlAB,AC1CD,

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•••△EDUIZ.DEII=Z.DE1IIzCAB=90°,•••△EDH=4CAB,

LZYEH1

.-.tanzEDH-=百

.­•DH=2.4EH.

在RQDEH中，DH2+EH2=DE2,

.-.(2.4EH)2+EH2=2.62,

・・・EH=1米(舍负)，；.DH=2.4米.

答：DH的长为2.4米.

7.264

解析如图，过点B作BNJLMD,垂足为N,

由题意可知NBDM=30。，AB=MN=50米，zACM=a,

在RtAACM中，tan/ACM=2妻,MC=50退米，

••.AM=2MC=100VJ米..•.BN=AM=100VJ米.

在RtZkBND中，•••tan/BDN蜷，

••・CD=DN+MN-MC=300+50-50庠264(米)

8.解析过点F作FQ_LCD,垂足为点Q,

•••四边形ABCD是平行四边形，ZFBA=114.2°,

.*.zABC=zFCQ=180°-zBCD=l80°-114.2°=65.8°,

.•.FQ=FCsinzFCQ=57sin65.8°(cm),

过点A作AP1MN于点P,

由题意知ABHCDHMN.FC||AN,

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贝IJNANP=NADC=4FCQ=65.8O

AP=AN-sinzAN