人教版高中数学必修第二册第9周单元检测【原卷+答案】

第9周单元检测（必修第二册六、七、八章）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z=含（i是虚数单位），则2所对应的点所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.（2024广西柳州高一期中）已知a=（-31）,b=（l,l）,则向量a在向量b方向上的投影向量

为（）

A.（-2,-l）B.（2,l）C.（-Irl）D.gJ

OJLtz

3.已知。力,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,2sin。=csinB.acosB-c=lqABC的面积为

奈则。二（）

A.V3B.2C.V6D.A/7

4.已知圆锥的母线与底面所成角为T，侧面积为2兀，则该圆锥的体积为（）

A.代兀B.yTCC.y7lD.?兀

5.（2024河北邢台高一期中）在△A8C中，角A,3,C的对边分别是若

s\n2A+sin2B+cos2C<1,则>ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定的

6.如图，四面体ABCD中方0=2a,AC=2,M,N分别为BC.AD的中点,MN=1,则异面直线

AC与30所成的角是（）

4D；

7.若直线/与平面a所成的角为a直线I与平面。上的直线m所成的角为小则总有

（）

A.e<9夕C.0>（pD.Oes

8.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现

了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它日八个

正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2,则（）

A.8C_L平面ABE

B.该二十四等边体的体积为萼

C.ME与尸N所成的角为45°

D.ME与PN所成的角为60°

二、选择题:本题共3小题,每小题6分.共18分在每小题给出的选项中.有多项符合题

目要求，全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.若ZI,Z2为共规复数，则Z「Z2为实数

B.若i为虚数单位,〃为正整数，则产"3=i

C.复数-2-i在复平面内对应的点在第三象限

D.复数5的共规复数为-2-i

10.已知小，〃是两条不同的直线,是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若in//aj刀u£,anS=〃，则m//nB.若加〃〃，团〃。，则n//a

C.若_!_/?/_!_%则D.若mA.a,tnA.p,a//%则p//y

11.（2024云南高一期末）一块正方体木料如图所示，棱长为百，点尸在线段4。上，且

竽=V5-1,过点P将木料锯开，使得截面过8。,则（）

A.PC-LBD

B.截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台

C.截面的面积为2次

D.截面的面积为3g

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.如图，在“BC中，前=；前,P是用V的中点，若万=〃?荏+工北,则实数m的值

24

是.

13.如图，若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形,04=。3=2,则原图的

面积为.

14.已知在三棱锥A-BCD中,A8=ALAO=8C=3D=2V2侧棱AB与底面8c。所成的角

为45°,则该三棱锥外接球的体积为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数兀丫)=Y^sinxcosx+cos2

(1)求人工)的单调递增区间；

⑵设必4c分别为△48C内角的对边，已知兀4)g2a4+c,且而•前二9,求“BC

的周长.

16.(15分)在锐角三角形ABC中，内角4,B,C所对的边分别为已知cosA-gsin

B=COS(A+28),C=V5.

(1)求角C的大小；

⑵求2a-b的取值范围.

17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,△P4Q是边长为2的正三角形,

平面小。，平面48。。/为棱尸。的中点.

(1)求证:AE_L平面PCD;

(2)若直线尸C与平面A8CD所成角的正切值为斗,求侧而P4O与侧面P3C所成二面角

的大小.

18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中,PA_L平面A8CD,底面ABCD为直角梯形,8C〃

ADAD_LA反且PA=AB=BC=\.AD=2.

(1)若平面P3C与平面PAO相交于直线/,求证:直线8c〃直线/.

(2)求证:平面PACJ_平面PCD.

(3)棱P。上是否存在点E,使得CE〃平面PAB?若存在，求CE的长;若不存在，请说明理

由.

19.(17分)(2024四川南充三模)如图,在矩形ABCD中,48=2/。=26,将沿BD折

起，得到三棱锥M-BCD,其中AMB。是折叠前的△AB。,过点/作BD的垂线，垂足为

//,MC=VTO.

(1)求证:加”_18;

(2)过点〃作MB的垂线，垂足为N,求点N到平面MCD的距离.

答案:

.A3+i

l.Az=­：==竽=2-i,则2=2+i,5所对应的点为(2,1),在第一象限.故选A.

i+i

2.C因为a=(-3,l),b=(l,l),所以向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos<a,b>±=

1切

abh-2,_入

3.DV2sinC=csinB,/.2c=cb,b=2,Vacos6fcosB-c=-,MsinAcosB-sin

2

C=sinAcos/?-sin(A+B)=^y^,/.-cosAsin3=^^,又8£(0,兀)，则sinB^O,.*.cosA=-^,sin

A=—-hex—=—,/?c=2,.*.c=l,W,)a2=h2+c2-2bccosA=4+l+2x2x1xi=7,

22222

・・・〃二夕.故选D.

4.B因为圆锥的母线与底面所成角为上则该圆锥的粘截面是正三痢形，令圆锥底面圆邛

3

径为二则母线/=2r,圆锥侧面积S=兀〃=2兀3=2兀，解得尸1,圆锥■的高h=yJl2-r2=v^r=V3,

所以该圆锥的体积为V=-nrh=—Tt.故选B.

33

5.C因为si/A+si/B+cosZCvl,

所以sin2A+sin2Z?<1-cos2C,

Kpsin2A+sin2^<sin2C,

由正弦定理得/+〃</,

即故cos1二a+b-cV0

2ab

因为()VC<71,所以C是钝角抑△人8c是钝角三角形.

6.D如图所示，取C。的中点P,连接PM,PN,因为M,N分别为的中点，所以PM//

BD且PM=^BD=V2,PN//AC且PN《AC=1,则/MPN或其补角即为异面直线AC与8。

所成的角，因为PN'MNFMPM?,所以NPNMJ,所以/PMN=NMPN=2,即异面直线

24

AC与3。所成的角是二故选D.

4

7.B由直线/与平面1所成的角为。，根据直线与平面所成角的定义，可得直线/与平面

a内的直线机所成的最小角为。，又直线/与平面a上的直线机所成的角为8,所以9W(p.

8.D依题意，补齐正方体，如下图.

对于选项A,假设8CJ_平面ABE,

・・•BEu平面ABE,：.BELBC,

：.ZEBC=90°,

・.•二十四等边体就是一种半正多面体，由对称性可知,六边形EBCGQM为正六边形,

...NE5C=120°,这与NE8C=90°矛盾，所以假设不成立,A错误；

对于选项B/：BF=FN=2,

.♦•正方体的棱长为2企，

・・.该二十四等边体的体积为正方体体积去掉8个三棱锥体积，即(2&)3・8X2x乙x夜x

32

V2xV2=等.B错误；

对于选项C「・・BW〃〃凡・・・/N〃b为异面直线ME与PN所成甭(或补前),在等边三南形

NFP中，NNPF=60°,C错误,D正确.

9.AC"i殳zi=a+/?i(Q,/?£R),5Nzi=a-历，故zrz2=(Q+bi)(a-bi)=〃2+b2,故、正确；

因为j4〃+3n4,叼3=]x(-i)=-i,故B错误;

因为复数-2-i在复平面内对应点的坐标为(-2,-1),所以在第三象限，故C正确；

因为。=等W=i2,其共朝复数为-2+i,故D错误.

1-2(1-2)(1+2)

10.AD由线面平行的性质可得A正确;若m//〃，m〃a,则n//a或〃ua,故B错误;由

aCl/?=〃,a_L///_!_/推不出〃_!_/也可能有〃〃出故C错误;若m则a〃/?，又a〃7,

则故D正确.故选AD.

11.AC对于A,由正方体性质易知AC〃4G,

由CG_1_平面ABCD,BDu平面ABCD,得CCT上BD,而ACLBD,

ACnCG二C,AC,CGu平面ACG4,则BO_L平面ACGAi,

又尸Cu平面ACG4,因此PC_L8D,A正确；

Mc,

A

AB

对于B,过点P作直线平行于B\C\分别交于点N,M连接BN,CM,

显然MN〃8G〃8C,则四边形8CMN所在平面为过点尸及8C的正方体的截面,截得的

两个几何体分别是三棱柱和四棱柱,B错误；

对于C,由选项B得黑=念=声，则CiM=l,CM=J（⑸+12=2,因此截面矩形

BCMN的面枳S=BCCM=ZW、C正确,D错误.

12.1因为丽=［前，所以N为AC的中点，

因为P是BN的中点，所以而=［和=*四一前）=；（四一］前）=1荏一;左.

所以而=前+而=*+：丽-河气通+河.因为而=〃,而+加,所以

13.4a由题可得SAa43=Zx2x2=2,所以原图的面积为2x272=4^2.

2

14.—设点A在底面BCD内的投影为点£连接BECEQE,

3

因为AEJ_平面BCD,BE,CE,DEu平面8co，所以AEJ_8E/E_LCE<

所以直线A8与平面3c。所成角为NA5E=45°.

因为48=2企，则AE=BE=?AB=2,

由勾股定理可得CE=A/AC2-4E2=2、DE=\AD2-AE2=2,所以，点、E1为三棱锥A-BCD外接

球的球心，且球E的半径为2,因此，该三棱锥外接球的体积为vAx23=—.

33

（）

15.解（1V（x）=V3sinxcosx+cos2x-1=——yV[3si.n2x+-1cos-2x=si.n'-2x+n-,，

226

令2E-衿2/衿2攵呜

解得〃兀」(火WZ),

36

・・.・/U)的单调递增区间为［加-②兀+父(&eZ).

36

⑵由兀4)=点得sin(2A+?)=△「・•()<4<兀,

6Z

・・/24+卜2吸,•••A4=~口,

AB•AC=9,bccosA=9,/.be-\8,

由余弦定理得a1=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=4a2-3x18,/.a=3V2,a+b+c=9y/2,

•••△ABC的周长为9A/2.

16.解⑴由cosA-V3sin3=cos(A+23)可得cosA-V3sinB=cosA-2cosAsiirZ?-2sinAsin

BcosB,

化简可得A/5=2COSAsin8+2sinAcos8=2sin(A+8)=2sinC,即sinC二当，又因为三角形为锐

角三角形，所以。二*

(2)根据正弦定理高=a=高=1=2,

2

可得o=2sinAg=2sinB=2sinU+-)=sinA+V5cosA,

3

故2a»=3sinA-V5cosA=2\/3sin(4」)，

6

又因为所以0<2。-〃<3.

62

17.(1)证明在△幺£)中,PA二ADE为P。的中点，

所以AE_LP。,因为平面PA£)_L平面A8CZ),

平面PAQCI平面A8CO=4。4力_LCO,COu平面ABCD,

所以CD_L平面PAD,因为AEu平面P4/),所以4E_LCD,

因为COu平面PCD,PDu平面PCD,PDCCD=D,

所以AE_L平面PCD.

(2)解如图，取4。的中点M连接PM.MC.

n

在△PA。中,PA=PO=2,所以PMIAD、PM用、

因为平面PAQJ_平面ABCQ,平面PAOn平面ABC。=ARPMu平面PAD,所以夕"_1_平

而ABCD,

所以NPCM为直线PC与平面A8C。所成的角.

在R3PMC中,tanNPCM=型=—,

MC2

所以MC=2,在RtAMCD中,MO=1,

所以DC=V22-12=V3,

因为AO〃3c3Cu平面PBCAOC平面PBC,

所以A。〃平面PBC,

设平面PAOCI平面PBOAAOu平面PADJ//AD,

所以PM_U,取BC的中点N,连接MN,PN.

在△PBC中,P8=PC,所以PN±BC,所以PNLL

所以NMPN为侧面P4。与侧面P8C所成的角，

在RSMNP中,MP=6,MN=DC=6,所以NMPN『.

4

所以侧面PAD与侧面PBC所成的角为】

4

18.⑴证明因为8C〃AD8CC平面24O,AOu平面PAD,故8。〃平面PAD.

又因为3Cu平面尸。C,且平面PBC与平面PAD相交于直线/，故BC//1.

⑵证明由题意,AC=jm=&,且ND4C=45°,

故CD?=AT^+ACZ.ZACAQcosdSC,

即CD2=4+2-272X&二2解得CD二也

故A》二AG。》,故ACLCD.

又因为PA_L平面ABCZXCQu平面ABCD,故PA_LCD,

又因为P4nAC=A,P4,4Cu平面PAC,故CD_L平面PAC,

又COu平面PC。,故平面PAC_L平面PCD.

(3)解存在E为。。中点，使得CE〃平面PAB.

证明:取PD中点E,PA中点F,连接EF,BF,CE,如图.

由中位线的性质可得FE//AD.JLFE=^AD=1,

又8